3 Quan hệ song song và vuông góc
3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chỉ ra
• Đường thẳng này song song với một đường thẳng trong mặt phẳng kia.
• Đường thẳng này nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.
Ví dụ 6.8. Cho tứ diện ABCD có GvàG0 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng GG0//(BCD).
Lời giải 6.8.
Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AE. Trong tam giác ABD kẻ trung tuyến AF.
Vì G và G0 lần lượt là là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên AG= 23AE và AG0 = 23AF Theo định lý TaLet ta có GG0//EF, suy ra GG0//(BCD).
A B C D E F G0 G
Ví dụ 6.9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 , M và N là hai điểm lần lượt thuộc đoạn thẳng AB và AC tương ứng. Chứng minh rằngM N//(A0B0C0D0).
A B D C D0 C0 B0 A0 M N
Lời giải 6.9.
Vì đây là hình hộp chữ nhật nên ta có hai mặt đối diện song song hay (ABCD)//(A0B0C0D0). Mặt khác M N ⊂(ABCD)⇒M N//(A0B0C0D0)
Ví dụ 6.10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EF GH , M và N là hai điểm lần lượt thuộc đoạn thẳng AF và HC tương ứng thỏa mãnAM = 13 vàHN = 13HC; K là trung điểm của BC; O và O0 lần lượt là trọng tâm của tứ diện AN KF và M DCGtương ứng. Chứng minh rằng
a) M N//(BCGF) b) OO0//(BCGF) A B D C H G F E N M K Lời giải 6.10.
a) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua N và song song với (BCGF), giả sử (α) cắt AF tại I. Theo dịnh lý TaLet trong không gian ta có
IA IF = N H N C suy ra IA= 1 2IF hay I ≡M. Do đó M N ∈(α), suy ra M N//(BCGF). b) VìO và O0 lần lượt là trọng tâm của tứ diện AN KF và M DCGnên ta có
4−−→ OO0 =−−→ N M+−−→ CK+−→ GF +−−→ DA Mặt khác ta có−−→N M ,−−→ CK,−→ GF ,−−→
DAcó giá song song hoặc nằm trên(BCGF)suy raOO0//(BCGF) Ví dụ 6.11. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và CD tương ứng thỏa mãn M A = 2M B và N C = 2N D.(α) là mặt phẳng di qua M, N và song song với BC. Chứng minh AD//(α). Lời giải 6.11. Chú ý rằng 3−−→ M N = 2−−→ BC+−−→ AD Từ đó suy ra AD//(α).
(α) A B C D M N
Ví dụ6.12. Cho tứ diện ABCD có M, N thuộc đoạn BC và CD tương ứng vàBM = 2CM,DN = 2CN. E và F lần lượt là hai trung điểm của DB và BC; H là giao điểm của EM và DC; G là giao điểm của NF và BD. Chứng minh rằng BC//(AHG) A B C D M E F N G H
Ví dụ 6.13. Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm trên cạnh AB và CD sao cho AM =CN. Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
3.2 Hai mặt phẳng song song
Để chứng minh hai mặt phẳng phân biệt song song ta cần chỉ ra
• Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng kia.
• Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ 3.
• Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng.
Ví dụ 6.14. Cho tứ diện ABCD, M , N và P lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, AC và AD tương ứng. Chứng minh rằng .
Ví dụ 6.15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (Q) di động cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại I, J, K, L và thỏa mãn IJKL là hình bình hành. Chứng minh rằng (Q)song song với một mặt phẳng cố định. (Q) A D B S I L J K C
3.3 Đường thẳng vuông góc đường thẳng và đường thẳng vuông góc mặt phẳng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chỉ ra nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta chỉ ra đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Ví dụ 6.16. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O và SA=SC, SB =SD a) Chứng minh rằng SO⊥(ABCD).
b) Kẻ SH vuông góc với AB vớiH ∈AB. Chứng minhAB ⊥OH. c) Kẻ OK ⊥SH, K ∈SH. Chứng minh OK ⊥(SAB).
Lời giải 6.12.
a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Mặt khác theo giả thiết ta có SA=SC, SB =SD, suy ra ∆SAC và ∆SDB là hai tam giác đều. Do đó SO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của AC và BD. Suy raSO ⊥AC và SO ⊥BD hay SO ⊥(ABCD).
b) Theo câu a) ta có SO⊥(ABCD)⇒SO ⊥AB (1). Mặt khác theo giả thiết SH ⊥AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB⊥(SOH)⇒AB⊥OH c) Theo câu b) ta có AB⊥(SOH)⇒AB⊥OK (3)
Mặt khác theo giả thiết ta có OK ⊥SH (4) Từ (3) và (4) ta suy raOK ⊥(SAB).
A B C D S H O K
Ví dụ6.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp đều là tam giác vuông.
Ví dụ 6.18. Cho tứ diện ABCD có AB=AC và DB =DC. Chứng minh AD⊥DC.
A B C D I Lời giải 6.13.
Gọi I là trung điểm của CB.
∆ABC là tam giác cân tai A nên ta có AI vừa là trung tuyến vừa là đường cao, hayAI ⊥BC (1). ∆DBC là tam giác cân tại D nên ta có AI vừa là trung tuyến vừa là đường cao, hayDI ⊥BC (2). Từ (1) và(2) suy ra BC ⊥ID do đó BC ⊥DC.
A B C D E F G H 3.4 Hai mặt phẳng vuông góc
• Ta cần chỉ ra một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
Ví dụ 6.20. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) và tam giác BCD vuông tại C. Chứng minh (ABC)⊥(ADC)
A
B C
D
Ví dụ 6.21. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥(BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng ADC vẽ DK ⊥AC tại K.
a) Chứng minh(ABE)⊥(ABE)và (ADC)⊥(DF K)
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh (OCH)vuông góc với mặt phẳng (ACD). Ví dụ 6.22. Cho hinh thoi S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và BC = a. Cạnh SD = a
√
6
4 Góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng
4.1 Góc giữa hai đường thẳng
• Ta tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng đã cho. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 6.23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA vuông góc với đáy và AC =SB. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và AC.
A B C D S O E 4.2 Góc giữa hai mặt phẳng
• Ta đi tính góc giữa hai đường thẳng cùng cắt và vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
Ví dụ 6.24. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC). Tính cosα.
Ví dụ 6.25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Tính cosα.
4.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Tính góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng kia.
• Tính góc giữa đường thẳng này với một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho.
• Tính góc giữa mặt phẳng này với một đường thẳng khác song song với đường thẳng đã cho.
• Tính góc αgiữa đường thẳng này với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, khi đó900−α là giá trị góc cần tìm.
Ví dụ 6.26. Cho tứ diện đều ABCD, tính góc giữa cạnh AB và mặt phẳng (ACD).
Ví dụ 6.27. Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a, M là trung điểm của EF. Tính sinα với α là góc giữa AM và (DBG).
A B C D E F G H L N M 5 Khoảng cách
5.1 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Ta tính đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho.
• Ta tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia. Ví dụ 6.28. Cho tứ diện đều ABCD cạnha. Tính khoảng cách giữa AB và DC.
Ví dụ 6.29. Cho hình chóp S.ABCD cạnh a, SA=avà vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa SB và DC; SC và DB; AB và SC. A B C D S O E G H I
5.2 Khoảng cách giữa điểm tới đường thẳng và mặt phẳng
• Tính khoảng cách từ một đường thẳng chứa điểm này và song song với mặt phẳng kia. Ví dụ 6.30. Cho tứ diện đều ABCD cạnha. Tính khoảng cách từ A đến BCD.
Ví dụ 6.31. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M và N lần lượt là hai trung điểm của AB và CD; I là trung diểm của MN. Tính khoảng cách từ I đến AB và khoảng cách từ I đến BCD.
5.3 Khoảng cách giữa đường thẳng tới mặt phẳng song song
• Ta tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng kia.
• Ta tính khoảng cách từ mặt phẳng song song chứa đường thẳng này tới mặt phẳng kia.
Ví dụ 6.32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn có đường kính AD = 2a, có cạnh SA ⊥ (ABCD) và SA = a√
6. Tính khoảng cách từ AB đến (SBC).
Ví dụ 6.33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnhAB =a. Đường cao SO ⊥(ABCD) và SO=a. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo SC và AB.
5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
• Tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng kia.
Ví dụ 6.34. Cho hình lăng trụ ABC.DEF có cạnh bên AF = a và góc giữa hai mặt phẳng (ACF D) và (DEF) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
6 Diện tích và thể tích (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6.1 Tính diện tích thiết diện
Ví dụ 6.35. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a√
3. Gọi (α)là mặt phẳng chứa AB và vuoong góc với mặt phẳng (SCD). a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởii mặt phẳng (α), thiết diện là hình gì ?
b) Tính diện tích thiết diện.
Ví dụ 6.36. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 2a. Cạnh SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB với AM = x, (0< x < a)và (α) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bỏi mặt phẳng (α), thiết diện là hình gì ? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
Ví dụ 6.37. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bỏi mặt phẳng (α). b) Tính diện tích thiết diện.
6.2 Tính thể tích khối đa diện
Ví dụ 6.38. Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp của tứ diện. c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện.
Ví dụ 6.39. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và SAB[ = 1200,BSC[ = 600,ASC[ = 900.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính thể tích tứ diện SABC.
c) Tính bán kính hình cầu nội tiếp của tứ diện SABC.
Ví dụ 6.40. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 đáy ABC có cạnh bằng 2√
6. Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC ,AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
6.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Ví dụ 6.41. Cho hình chóp tam giác SABC có SA=a, BC =b, các cạnh còn lại bằng 1. a) Tính thể tích hình chóp theoa, b.
b) Với giá trị nào của x, y thì thể tích hình chóp là lớn nhất.
A B S a C b D E
Ví dụ 6.42. Trong mặt phẳng(P)cho tam giác ABC vuông tạiA, AB =c, AC =b. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=h. M là một điểm trên cạnh SB. Gọi I, J lần lượt là các trung điểm của BC và AB.
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SI và AB.
b) Tính tỉ số thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA khi độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn nhất. A B S C I b c h J M
Ví dụ 6.43. Cho hai tia Ox, Oy trên mặt phẳng (α). Đoạn SO = a vuông góc với mặt phẳng (α). Các điểm M, N chuyển động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có OM +ON =a
a) Tìm giá trị lớn nhất thể tích tứ diện SOMN.
b) Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN. Chứng minh rằng khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất.
O x y x y O D M N M1 N1 I1 M2 N2 I2
Ví dụ 6.44. Cho tam giác đều OAB có cạnh AB=a. Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy một điểm M với OM =x. Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB. Đường thẳng EF cắt d tại N.
a) Chứng minhAN ⊥BM
b) Tìm x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
O B A M E F N
Ví dụ 6.45. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. a) Chứng minh rằng √3SABC ≥SSAB +SSBC +SSAC
b) Biết rằng SA = a, SB +SC = k không đổi. Đặt SB = x. Tính thể tích của tứ diện SABC theo a, x, k và xác định SB, SC để tứ diện SABC có thể tích lớn nhất.
A S a C c B E H
Ví dụ 6.46. Cho đường tròn tâm O bán kính R. Xét hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( S và A cố định ), SA=h cho trước, đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho. a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
b) Hỏi ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
D S A C B O E I Monday, June 17, 2013 at 17:31
Chương 7
Phương Trình Mũ Và Logarit
1 Phương trình mũ
1.1 Phương trình mũ cơ bản Ví dụ 7.1. Giải phương trình sau
2x+ 2x+1+ 3.2x+2+ 5.2x+3 = 110 Lời giải 7.1. Tập xác địnhD=R.
2x+ 2x+1+ 3.2x+2+ 5.2x+3 = 110⇔2x+ 2.2x+ 12.2x+ 40.2x = 110
⇔55.2x = 110⇔2x= 2 ⇔x= 1 Ví dụ 7.2. Giải phương trình sau
9x2+x+1 = 273x−1 Lời giải 7.2. Tập xác địnhD=R. 9x2+x+1 = 273x−1 ⇔32(x2+x+1) = 33(3x−1) ⇔2(x2+x+ 1) = 3(3x−1)⇔2x2−7x+ 5 = 0⇔ " x = 1 x = 5 2
Ví dụ 7.3. Giải phương trình sau
3x−3.3x+1+ 3x+2 = 7x+ 7x+3−48.7x+1 1.2 Phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 7.4. Giải phương trình sau
4x+ 2x+2−5 = 0
Lời giải 7.3. Tập xác địnhD=R. Đặt t = 2x, chú ý t >0, khi đó phương trình đã cho trở thành t2+ 4t−5 = 0⇔ " t = 1 t =−5 (loại) t = 1⇔2x = 1⇔x= 0