Bài tập về đồ thị đối xứng

Ví dụ

.

Lời giải 5.9. Gọi(C⁰) là ảnh của (C) qua I. Gọi M⁰(x⁰;y⁰) là ảnh của M(x;y)∈(C). Ta có công thức tọa độ ( x= 2−x⁰ y= 2−y⁰ Do dó ta có 2−y⁰ = (2−x⁰)³−(2−x⁰)²−5(2−x⁰) ⇔y⁰ =x⁰³ −5x⁰²+ 3x⁰+ 8 Suy ra phương trình của (C⁰)là

y=x³−5x²+ 3x+ 8 Phương trình hoành độ giao điểm của(C) và (C⁰)

⇔4x²−8x−8 = 0⇔ " x= 1−^√3 x= 1 +√ 3 • x= 1−^√3⇒y= 1 +√ 3 • x= 1 +√ 3⇒y= 1−^√3

Vậy có duy nhất cặp điểm trên (C)đối xứng với nhau qua I là A(1−^√3; 1 +√

3) & B(1 +√

3; 1−^√3)

Bài Tập

Bài Tập

.

Các em có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác đã được biên soạn để chuẩn bị cho kì thi đại học. Mọi thắc mắc các em có thể liên hệ theo địa chỉ Email: minhphuc.v@gmail.com Thân ái !

Chương 6

Hình Học Không Gian

1 Xác định giao tuyến và giao điểm

1.1 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

• Ta đi tìm giao điểm của đường thẳng này với một đường thẳng trong mặt phẳng kia !

Ví dụ

Lời giải 6.1. Ta thấy đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (M N H) và đồng phẳng với đường thẳng AD. Do đó ta kéo dài MH cắt đường thẳng AD tại G. Khi đó G là giao điểm của AD và (M N H).

A B C D N M G H

Ví dụ

Lời giải 6.2

.

A B _C D S O M I

1.2 Giao tuyến của hai mặt phẳng

• Ta đi tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta tìm hai đường thẳng thuộc vào hai mặt phẳng tương ứng và cắt nhau. Khi đó giao điểm của hai đường thẳng sẽ là điểm chung của hai mặt phẳng !

• Tìm một điểm chung và phương của giao tuyến !

Ví dụ

M B 6= ^AN_{N C}. Xác định giao tuyến của (DM N) với các mặt phẳng(ABD),(ACD),(BCD).

Lời giải 6.3. Dễ dàng thấy

• (DM N)∩(ABD) =DM

• (DM N)∩(ACD) = DN

• (DM N)∩(ABC) =M N

• Ta thấy D là một điểm chung của hai mặt phẳng (DM N) và (DBC). Kẻ AC cắt BC tại G khi đó G là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng này. Suy ra (DM N)∩(DBC) = DG

A B C D M N G

Ví dụ

Lời giải 6.4. Ta thấy E, F, G đều là những điểm chung của hai mặt phẳng (M N K) và (BCD) do đó chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này, suy ra chúng thẳng hàng.

A B C D M N K E F G

Ví dụ

Lời giải 6.5.

• S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng(SAC)và (SDB). Gọi O là giao điểm của AC và DB khi đó O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng này. Suy ra SO= (SAC)∩(SDB)

• S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ủa các cặp mặt phẳng sau: (SAB) và (SCD). Mặt khác vì AB//CD và chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (SAB)và(SBD)nên giao tuyến của hai mặt phẳng này phải sónnz song với AB và CD. Kẻ đường thẳng d đi qua S và song song với AB khi đó d là giao tuyến của (SAB) và(SBD).

A B C D S O d

Ví dụ

Lời giải 6.6.

• Điểm S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAD)và (SCB).

• Kẻ AC cắt DB tại H. Khi đó H là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng. Suy ra SI = (SAD)∩(SCB)

A B

C _D

S

H

Ví dụ

Lời giải 6.7

.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó SO và MN cùng thuộc mặt phẳng SAC. Gọi I là giao điểm của MN và SO. Ta có PI là giao tuyến của (P M N)và (SAC).

A B C D S M N P O I

2 Xác định thiết diện của hình không gian cắt bởi một mặt phẳng3 Quan hệ song song và vuông góc

3 Quan hệ song song và vuông góc

3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chỉ ra

• Đường thẳng này song song với một đường thẳng trong mặt phẳng kia.

• Đường thẳng này nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.

Ví dụ

Lời giải 6.8.

Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AE. Trong tam giác ABD kẻ trung tuyến AF.

Vì G và G⁰ lần lượt là là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên AG= ²₃AE và AG⁰ = ²₃AF Theo định lý TaLet ta có GG⁰//EF, suy ra GG⁰//(BCD).

A B C D E F G⁰ G

Ví dụ

.

A _B D C D⁰ C⁰ B0 A⁰ M N

Lời giải 6.9.

Vì đây là hình hộp chữ nhật nên ta có hai mặt đối diện song song hay (ABCD)//(A⁰B⁰C⁰D⁰). Mặt khác M N ⊂(ABCD)⇒M N//(A⁰B⁰C⁰D⁰)

Ví dụ

a) M N//(BCGF) b) OO⁰//(BCGF) A B D C H G F E N M K Lời giải 6.10.

a) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua N và song song với (BCGF), giả sử (α) cắt AF tại I. Theo dịnh lý TaLet trong không gian ta có

IA IF ⁼ N H N C suy ra IA= 1 2IF hay I ≡M. Do đó M N ∈(α), suy ra M N//(BCGF). b) VìO và O⁰ lần lượt là trọng tâm của tứ diện AN KF và M DCGnên ta có

4−−→ OO⁰ =−−→ N M+−−→ CK+−→ GF +−−→ DA Mặt khác ta có^−−→N M ,−−→ CK,−→ GF ,−−→

DAcó giá song song hoặc nằm trên(BCGF)suy raOO⁰//(BCGF)

Ví dụ

(α) A B C D M N

Ví dụ

Ví dụ

3.2 Hai mặt phẳng song song

Để chứng minh hai mặt phẳng phân biệt song song ta cần chỉ ra

• Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng kia.

• Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ 3.

• Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng.

Ví dụ

Ví dụ

3.3 Đường thẳng vuông góc đường thẳng và đường thẳng vuông góc mặt phẳng

• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chỉ ra nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta chỉ ra đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Ví dụ

.

b) Kẻ SH vuông góc với AB vớiH ∈AB. Chứng minhAB ⊥OH. c) Kẻ OK ⊥SH, K ∈SH. Chứng minh OK ⊥(SAB).

Lời giải 6.12.

a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Mặt khác theo giả thiết ta có SA=SC, SB =SD, suy ra ∆SAC và ∆SDB là hai tam giác đều. Do đó SO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của AC và BD. Suy raSO ⊥AC và SO ⊥BD hay SO ⊥(ABCD).

b) Theo câu a) ta có SO⊥(ABCD)⇒SO ⊥AB (1). Mặt khác theo giả thiết SH ⊥AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB⊥(SOH)⇒AB⊥OH c) Theo câu b) ta có AB⊥(SOH)⇒AB⊥OK (3)

Mặt khác theo giả thiết ta có OK ⊥SH (4) Từ (3) và (4) ta suy raOK ⊥(SAB).

A B C D S H O K

Ví dụ

Ví dụ

.

A B C D I Lời giải 6.13.

Gọi I là trung điểm của CB.

∆ABC là tam giác cân tai A nên ta có AI vừa là trung tuyến vừa là đường cao, hayAI ⊥BC (1). ∆DBC là tam giác cân tại D nên ta có AI vừa là trung tuyến vừa là đường cao, hayDI ⊥BC (2). Từ (1) và(2) suy ra BC ⊥ID do đó BC ⊥DC.

A B C D E F G H 3.4 Hai mặt phẳng vuông góc

• Ta cần chỉ ra một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ

A

B ^C

D

Ví dụ

.

a) Chứng minh(ABE)⊥(ABE)và (ADC)⊥(DF K)

b) Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh (OCH)vuông góc với mặt phẳng (ACD).

Ví dụ

√

6

4 Góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng

4.1 Góc giữa hai đường thẳng

• Ta tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng đã cho.

Ví dụ

A _B C D S O E 4.2 Góc giữa hai mặt phẳng

• Ta đi tính góc giữa hai đường thẳng cùng cắt và vuông góc với giao tuyến tại một điểm.

Ví dụ

Ví dụ

4.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Tính góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng kia.

• Tính góc giữa đường thẳng này với một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho.

• Tính góc giữa mặt phẳng này với một đường thẳng khác song song với đường thẳng đã cho.

• Tính góc αgiữa đường thẳng này với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, khi đó90⁰−α là giá trị góc cần tìm.

Ví dụ

.

Ví dụ

A B C D E F G H L N M

5 Khoảng cách

5.1 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

• Ta tính đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho.

• Ta tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia.

Ví dụ

.

Ví dụ

.

5.2 Khoảng cách giữa điểm tới đường thẳng và mặt phẳng

• Tính khoảng cách từ một đường thẳng chứa điểm này và song song với mặt phẳng kia.

Ví dụ

Ví dụ

.

5.3 Khoảng cách giữa đường thẳng tới mặt phẳng song song

• Ta tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng kia.

• Ta tính khoảng cách từ mặt phẳng song song chứa đường thẳng này tới mặt phẳng kia.

Ví dụ

6. Tính khoảng cách từ AB đến (SBC).

Ví dụ

5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

• Tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng kia.

Ví dụ

.

6 Diện tích và thể tích

6.1 Tính diện tích thiết diện

Ví dụ

.