6 Bất Đẳng Thứ cS và P
2.3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Ví dụ 3.25. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau tại điểm M(2; 1) (C) :x2+y2−2x+ 4y−5 = 0
Lời giải 3.24.
Gọi ∆là tiếp tuyến tại điểm M.
Đường tròn có tâm I(1;−2). Ta có M I−−→ = (−1;−3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại M. Do đó phương trình của tiếp tuyến là
∆ :−1(x−2)−3(y−1) = 0⇔x+ 3y−5 = 0
Ví dụ 3.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C) :x2+y2−2x+ 4y−4 = 0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x+ 3y+ 1 = 0
Lời giải 3.25.
Đường tròn có tâm I(1;−2) và bán kính R = 3 Gọi ∆ la tiếp tuyến cân tìm. Vì ∆//d nên nó có cùng vectơ pháp tuyến ~n = (2; 3) với đường thẳng d. Do đó phương trình đường thẳng ∆ có dạng ∆ : 2x+ 3y+c= 0
Vì ∆ là tiếp tuyến nên khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng R. Ta có d(I,∆) = |2.1 + 3.(−2) +c| √ 22+ 32 = 3⇔ |c√−4| 13 = 3⇔ " c = 4 + 3√ 13 c = 4−3√ 13 Vậy có hai tiếp tuyến
∆1 : 2x+ 3y+ 4 + 3√
13 = 0 ∆2 : 2x+ 3y+ 4−3√
13 = 0 Ví dụ 3.27. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C) :x2+y2−2x+ 4y−5 = 0 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2x+ 3y+ 1 = 0 Ví dụ 3.28. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C) :x2+y2−2x+ 4y−5 = 0 biết tiếp tuyến có hệ số góck = 3
Ví dụ 3.29. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C) :x2+y2−2x+ 4y−5 = 0 biết khoảng cách từ tiếp tuyến đến gốc tọa độ O(0; 0) là lớn nhất.
Ví dụ 3.30. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau biết tiếp tuyến đi qua điểmM(3;−2) (C) :x2+y2−2x+ 4y−4 = 0
Lời giải 3.26.
Đường tròn có tâm I(1;−2)và bán kính R= 3 Gọi ∆là tiếp tuyến qua điểm M.
Trường hợp 1: ∆là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Oy. Khi đó phương trình ∆ có dạng ∆ :x−3 = 0
khoảng cách từ M đến ∆
d(I,∆) = |1−3| √
12+ 02 = 26= 3 không thỏa mãn điều kiện là một tiếp tuyến.
Trường hợp 2: ∆là đường thẳng có hệ số góc k. Khi đó phương trình ∆ có dạng ∆ : y=k(x−3)−2⇔kx−y−3k−2 = 0
∆ là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến∆ bẳng R, nghĩa là d(I,∆) = | −2k|
⇔k =±√3 Vậy có hai tiếp tuyến qua M là
∆1 : y=√
3(x−3)−2 ∆2 : y=−√3(x−3)−2 Ví dụ 3.31. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau
(C1) : x2+y2−6x+ 8 = 0 (C2) : x2+y2+ 6x+ 5 = 0 Lời giải 3.27.
Ta có tâm I1(3; 0); I2(−3; 0) vàR1 = 1 ; R2 = 2
Giả sử ∆ :ax+by+c= 0 là phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Ta có hệ phương trình sau ( d(I1,∆) = 1 d(I2,∆) = 2 ⇔ ( √|3a+c| a2+b2 = 1 |−3a+c| √ a2+b2 = 2 Trường hợp 1 ∆đi qua tâm O. Khi đó c= 0. Ta có hệ
( |3a| √ a2+b2 = 1 |−3a| √ a2+b2 = 2 ⇔ ( |3a| =√ a2+b2 | −3a| = 2√ a2+b2 ⇔ ( a = 0 b = 0 Không thỏa mãn điều kiện a và b không đồng thời bằng 0
Trường hợp 2 ∆là một đường thẳng không đi qua O. Khi đó chọn c= 1 . Ta có hệ
( |3a+1| √ a2+b2 = 1 |−3a+1| √ a2+b2 = 2 ⇔ ( |3a+ 1| =√ a2+b2 |1−3a| = 2√ a2+b2 ⇔ ( 8a2+ 6a+ 1 =b2 5a2−6a+ 1 = 4b2 ⇔ a=−1 b =√ 3 a=−1 b =−√3 a=−1 9 b = √ 35 9 a=−1 9 b =− √ 35 9
Vậy có 4 phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ∆1 : −x+√ 3y+ 1 = 0 ∆2 : −x−√3y+ 1 = 0 ∆3 : −1 9x+ √ 35 9 y+ 1 = 0 ∆4 : −1 9x− √ 35 9 y+ 1 = 0 2.4 Phương trình Elip
Ví dụ 3.32. Tìm độ dài trục lớn, trục bé, tiêu cự, tiêu điểm và tâm sai của các Elip sau a) (E) : x252 +y162 = 1
b) (E) : 254x2+ 49y2 = 1 c) (E) : 4x2 + 25y2 = 1
Lời giải 3.28. Ta có
2a= 10 ⇒a= 5 2b= 6 ⇒b = 3 Vậy phương trình chính tắc của (E)là
(E) : x
2
25 +y2y2y2y2 y2
9 = 1
Ví dụ 3.34. Viết phương trình Elip (E) biết nó có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 6. Lời giải 3.29.
Ta có
2a= 10 ⇒ a= 5 2c= 6 ⇒ c= 3 b2 =a2−c2 = 52−32 = 16
Vậy phương trình chính tắc của (E)là
(E) : x
2
25+ y2
16 = 1
Ví dụ 3.35. Viết phương trình Elip (E) biết nó có độ dài trục lớn bằng 20 và tâm sai e= 45. Lời giải 3.30. Ta có 2a= 20 ⇒a = 10 e= 45 ⇒ c a = 45 ⇒c= 45a= 8 b2 =a2 −c2 = 102−82 = 36
Vậy phương trình chính tắc của (E)là
(E) : x
2
100 + y2
36 = 1
Ví dụ 3.36. Viết phương trình Elip (E) biết nó có độ dài trục lớn bằng 10 và tọa độ một tiêu điểm F1(−2; 0). Lời giải 3.31. Ta có 2a= 10 ⇒a= 5 F1(−2; 0) ⇒c= 2 b2 =a2−c2 = 52−22 = 21 Vậy phương trình chính tắc của (E)là
(E) : x
2
25+ y2
21 = 1
Ví dụ 3.37. Viết phương trình Elip (E) biết nó có đi qua hai điểm M(3; 0) và N√3
2;√
2.5 Phương trình tiếp tuyến của Elip
Ví dụ 3.38. Cho Elip có phương trình chính tắc sau (E) : x
2
25 + y2
16 = 1 Viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm M√5
2;√
8 Lời giải 3.32.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng ∆ : x.x0 a2 +y.y0 b2 = 1 ⇔ x. 5 √ 2 25 + y√ 8 16 = 1⇔ x 5√ 2+ y 4√ 2 = 1 Ví dụ 3.39. Cho Elip có phương trình chính tắc sau
(E) : x
2
25 + y2
16 = 1
Viết phương trình tiếp tuyến của Elip biết tiếp tuyến đi qua điểm M(10; 0) Lời giải 3.33.
Gọi tiếp tuyến cần tìm là d. Ta thấy d không thể song song hoặc trùng vói trục Ox. Mặt khác d đi qua điểm M(10; 0)nên nó có dạng
d:y=k(x−10)
Đường thẳng d là tiếp tuyến của Elip khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất
(
y=k(x−10) (1)
x2
25 + y162 = 1 (2) Thay y=k(x−10) vào phương trình (2) ta được
x2 25+ k2(x−10)2 16 = 1 ⇔ 1 25+ k2 16 x2− 5 4k 2.x+ 25 4 k 2−1 = 0 Phương trình này phải có nghiệm duy nhất nghĩa là
∆ = 0⇔16−75k2 = 0⇔ " k = √4 75 k =−√4 75
Vậy có hai tiếp tuyến
d1 : y= √4
75(x−10) d2 : y=−√4
75(x−10)
3 Các Dạng Toán Giải Tam Giác
3.1 Biết ba đỉnh của tam giác
1. Viết phương trình ba cạnh của tam giác 2. Viết phương trình đường cao AH
3. Viết phương trình đường trung tuyến AM 4. Viết phương trình đường phân giác AI
5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 6. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải 3.34.
Tam giác có a= 5; b = 4 ;c= 3. Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, CA tương ứng. Ta có AM = b+c2−a = 1 BN = a+2c−b = 3 CP = a+2b−c = 2 ⇔ −→ AB = 4−−→ AM −−→ BN = 35−−→ BC −→ AC = 3−→ AP ⇔ M(1; 2) N 45;135 P(0; 1) C A B O N P M
Đường tròn nội tiếp đi qua ba điểm M, N, P nên ta suy ra đường tròn có phương trình (C) :x2+y2−4y+ 3 = 0
3.2 Biết hai đỉnh của tam giác
Ví dụ 3.41. Cho tam giác ABC có A(3; 4)vàB(−1; 2). Điểm H 97;107 là trực tâm của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.42. Cho tam giác ABC có A(3; 4)vàB(−1; 2). ĐiểmG 4 3; 2
là trọng tâm của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.43. Cho tam giác ABC có A(3; 4) và B(−1; 2). Một phương trình đường cao của tam giác d: −3x+ 2y+ 1 = 0 và một phương trình đường trung tuyến d0 :y−2 = 0. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.44. Cho tam giác ABC cóA(3; 4)và B(−1; 2). GọiE vàF lần lượt là trung điểm của AC và AB. Hai đường thẳng d1 : 3x−y= 0 và d2 :−4x−3y+ 16 = 0lần lượt đi qua E và F. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.45. Cho tam giác ABC có A(3; 4) và B(−1; 2). Gọi Gtrọng tâm tam giác ABC. Hai đường thẳng d1 :x+ 3y−1 = 0 và d2 : 6x−y−6 = 0 lần lượt đi qua C và G. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.46. Cho tam giác ABC có A(2;−1) và B(1; 2). Đường thẳng d : 2x−y−2 = 0 là phương trình một đường phân giác trong của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
3.3 Biết một đỉnh của tam giác
Ví dụ 3.47. Cho tam giác ABC có A(−2; 4) và trọng tâm G(1; 2). Điểm B thuôc vào đường thẳng d có phương trình−4x+ 5y+ 7 = 0, điểmC thuôc vào đường thẳngd0 có phương trình 3x−4y = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Lời giải 3.35.
Điểm B thuộc vào đường thẳng có phương trình −4x + 5y + 7 = 0 suy ra tọa độ B có dạng B m;4m5−7
Điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình 3x−4y= 0 suy ra tọa độC có dạng C m;34m. Mặt khác G(1; 2) là trọng tâm tam giác nên ta có
( 1 = −2+3m+n 2 = 4+ 4m−7 5 +34m 3 ⇔ ( m = 4 n = 1 ⇔ ( B(4; 3) C(1;−1)
Ví dụ 3.48. Cho tam giác ABC có A(0; 3) và hai đường trung tuyến của tam giác có phương trình lần lượt là d1 : 3x+ 4y= 1 và d2 :−3x+ 7y+ 1 = 0. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.49. Cho tam giác ABC có A(0; 3) ; d1 :−3x+ 7y+ 1 = 0 là phương trình một đường trung tuyến và d2 :x+ 2y+ 1 = 0là phương trình một đường cao của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.50. Cho tam giác ABC cóA(0; 2)và d1 :−3x+ 4y−2 = 0, d2 :−5x+y−2 = 0là phương trình hai đường cao của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.51. Cho tam giác ABC cóA(0; 3), trọng tâmG 13; 0 và trực tâm H −7 11;−2
11
. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.52. Cho tam giác ABC cóA(0; 2), điểmM 0;−3 2
là trung điểmBC và trực tâmH −4 7;−2
7
. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ3.53. Cho tam giác ABC cóA(0; 2), điểmM −1 2;−2
là trung điểmBC vàd:−x+ 4y+ 6 = 0 là phương trình một đường cao trong tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 3.54. Cho tam giác ABC có A(0; 2) và d1 :−2x+ 2y+ 1 = 0; d2 :x+ 3y+ 1 = 0 là phương trình hai đường phân giác trong của tam giác. Viết phương trình 3 cạnh của tam giác.
3.4 Không biết đỉnh của tam giác
Ví dụ 3.55. Cho tam giác ABC cód1 :x+ 4y−14 = 0;d2 : 7x+y−8 = 0và d3 :−5x+ 7y−10 = 0 là phương trình ba đường trung tuyến của tam giác ứng vớicác đỉnh A, B, C và AB= 3√
2. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
A B C E F H Lời giải 3.36.
Điểm A thuộc vào đường thẳng d1 :x+ 4y−14 = 0 suy ra tọa độA có dạng A x;144−x Điểm B thuộc vào đường thẳng d2 : 7x+y−8 = 0 suy ra tọa độ B có dạng B(y; 8−7y) Điểm C thuộc vào đường thẳng d3 :−5x+ 7y−20 = 0 suy ra tọa độ C có dạng C z;5z+207 Tọa độ trung điểm của AB là H x+2y;−x−288y+46∈d3
Tọa độ trung điểm của BC là F y+2z;5z−4914y+76∈d1 Tọa độ trung điểm của CA là E z+2x;−7x+2056z+178
∈d2
Thay tọa độ các trung điểm trên vào phương trình đường trung tuyến tương ứng ta có hệ phương trình sau −5 x+2y + 7 −x−288y+46 −20 = 0 7 x+z 2 + −7x+20z+178 56 −8 = 0 z+y 2 + 4 5z−4914y+76−14 = 0 ⇔ −x−8y+ 6 = 0 7x+ 8z−10 = 0 z−7y+ 4 = 0 ⇒ ( x =−8y+ 6 z =−4 + 7y Mặt khác AB = 3√ 2⇔(x−y)2+ (28y−x−18)2 16 = 18 Ta giải được " (x;y;z) = (−2; 1; 3) (x;y;z) = 103 ;13;−5 3
Ví dụ 3.56. Cho tam giác ABC có d1 :−4x+ 5y−18 = 0; d2 :−6x+y−6 = 0 vàd3 :x+ 2y+ 6 = 0 là phương trình ba đường cao của tam giác ứng với ba đỉnh A, B, C và AB = 2√
5. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
A
Ví dụ 3.57. Cho tam giác ABC có d1 : x−√3y+ 2 = 0; d2 : x−√3y−6 = 0 và d3 : x = 2 là phương trình ba đường phân giác trong của tam giác ứng với các đỉnh A, B, C và AB= 8. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
A
B C
Ví dụ 3.58. Cho tam giác ABC có d1 :−x+y= 0;d2 :−x+ 3y = 0 là phương trình hai đường phân giác góc B và C của tam giác và M 1
2;−1
là tọa độ trung điểm của BC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Ví dụ 3.59. Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnhAB :−x+ 2y−5 = 0vàAC : 4x−y−8 = 0. Điểm H 97;107 là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác.
Để thi đại học có kết quả tốt nhất các em hãy tham khảo các chuyên đề Giải phương trình, Giải hệ phương trình, Bất đẳng thức và các chuyên đề tiếp theo !
Chương 4
Phương Trình Lượng Giác
1 Các công thức lượng giác cơ bản
Quan hệ giữa các hàm lượng giác
• sin2x+ cos2x= 1 • tanx.cotx= 1 ;∀x6=kπ 2, k∈Z • 1 + tan2x= cos12x ;∀x6= π2 +kπ, k ∈Z • 1 + cot2x= sin12x ;∀x6=kπ, k ∈Z Công thức cộng
sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny cosx+ sinx=√
2 cos x− π 4
=√
2 sin x+π4 sin(x−y) = sinxcosy−cosxsiny cosx−sinx=√
2 cos x+ π4=−√2 sin x− π 4
cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny tanx+ tany= cossin(xxcos+y)y cos(x−y) = cosxcosy+ sinxsiny tanx−tany= cossin(xxcos−y)y tan(x+y) = 1tan−tanx+tanxtanyy cotx+ coty = sinsin(xysin+x)y tan(x−y) = 1+tantanx−xtantanyy cotx−coty= sinsin(xysin−xy)
Công thức nhân đôi Công thức nhân 3 Công thức hạ bậc CT phân đôi sin 2x= 2 sinxcosx sin 3x= 3 sinx−4 sin3x cos2x= 1+cos 22 x Đặt t= tanx2 cos 2x= 2 cos2x−1 cos 3x= 4 cos3x−3 cosx sin2x= 1−cos 22 x sinx= 1+2tt2
cos 2x= 1−2 sin2x tan 3x= 3 tan1−3 tanx−tan2x3x tan2x= 11+cos 2−cos 2xx cosx= 11+−tt22
cos 2x= cos2x−sin2x sin3x= 34sinx− 1
4sin 3x tanx= 1−2tt2
tan 2x= 1−2 tantan2xx cos3x= 34cosx+14cos 3x
Công thức đối Công thức bù Công thức phụ Hơn kém π cos(−x) = cosx sin(π−x) = sinx cos π2 −x= sinx sin(x+π) =−sinx sin(−x) = −sinx cos(π−x) =−cosx sin π2 −x= cosx cos(x+π) =−cosx tan(−x) = −tanx tan(π−x) =−tanx tan π2 −x= cotx tan(x+π) = tanx
Công thức tổng thành tích Công thức tích thành tổng
cosx+ cosy= 2 cosx+2y cosx−2y cosxcosy= 12 (cos(x−y) + cos(x+y)) cosx−cosy=−2 sin x+2ysinx−2y sinxsiny= 12 (cos(x−y)−cos(x+y)) sinx+ siny= 2 sinx+2ycosx−2y sinxcosy= 12 (sin(x−y) + sin(x+y)) sinx−siny= 2 cosx+2ysinx−2y
2 Các dạng phương trình cơ bản
2.1 Phương trình dạng sinx=a Có 3 trường hợp xảy ra
• Nếu |a|>1thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a| ≤1 và a=sinα thì ta áp dụng công thức nghiệm sau