Ví dụ 9.18. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểmA(2; 1; 5)và có vector pháp tuyến~n= (2;−1; 3). Ví dụ 9.19. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểmA(2; 1; 5) và song song với mặt phẳng Oyz. Ví dụ 9.20. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểmA(3;−1; 5) và vuông góc với trục Oy. Ví dụ 9.21. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểmA(2; 3; 5); B(2; 4; 1) và C(4; 0;−2).
Ví dụ 9.22. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2; 3;−2) và song song với hai đường thẳng d1 : x−22 = y+11 = z−31 và d2 : x−−22 = y−+11 = z−+12 .
Ví dụ 9.23. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểmA(2; 3;−2), song song với đường thẳngd: x−2 2 =
y+1
1 = z−31 và vuông góc với mặt phẳng (α) :x−3y+ 2z+ 3 = 0.
Ví dụ 9.24. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểmA(2; 3;−2)và chứa đường thẳng d: x2 = y−11 =
z+2 3 .
Ví dụ 9.25. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : x−22 = y+11 = z−31 và vuông góc với mặt phẳng (α) :x−3y+ 2z+ 3 = 0.
Ví dụ 9.26. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 1), B(3;−2; 0) và song song với đường thẳng d: x+32 = y−−12 = z+23 .
Ví dụ 9.27. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (β) : 2x+y−3z+ 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu(S) :x2+y2+z2−2x+ 2y−2z−1 = 0.
Ví dụ 9.28. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d:
x= 1 +t y= −4 +t z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) :x2+y2+z2+ 2x+ 4y+ 2z+ 5 = 0
Ví dụ 9.29. Viết phương trình mặt phẳng qua điểmA(1; 4; 0)và tiếp xúc với hai mặt cầu (S1) :x2+y2+z2 = 1 và (S2) :x2+y2+z2−4x−4y+ 2z = 0
Ví dụ 9.30. Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(1; 1; 2); B(2; 1; 1) và tạo một góc 600 với mặt phẳng (β) :x+y+z = 0
Ví dụ 9.31. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳngd: x−1
2 = y−−11 = z−2
1 và tạo với mặt phẳng (α) :x−y+z−2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất.
Lời giải 9.1. Gọi(β) là mặt phẳng cần tìm có vector pháp tuyến ~n= (a;b;c)và φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Vector chỉ phương của d là ~u= (2;−1; 1) Ta có ~ n.~u= 0 ⇔2a−b+c= 0 Góc φ nhỏ nhất khi cosφ lớn nhất cosφ= |a−b+c| √ 3√ a2+b2+c2 = |a| √ 3pa2+c2+ (2a+c)2 cosφ = √ 1 3√ 2t2+ 4t+ 5 = 1 √ 3p2(t+ 1)2+ 3 ≤ 1 3 ; t = c a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c=−a;b =a. Suy ra n~0 = (1; 1;−1)là một vector pháp tuyến của mặt phẳng (β). Mặt khác M(1; 1; 2)∈d⊂(β)
Do đó phương trình mặt phẳng (β) là
(β) :x+y−z = 0