ChoClà một đường cong kiểu không gian chứa trong 2-phẳng span{e1, e3}với phương trình tham số
r(u) = (f(u),0, g(u),0), u∈I, (4.24) và Av = cosαv −sinαv 0 0 sinαv cosαv 0 0 0 0 coshβv sinhβv 0 0 sinhβv coshβv , v ∈R, thoả mãn α2f2(u)−β2g2(u)>0,
là một nhóm con của nhóm các phép biến đổi đẳng cự trong R4
1, trong đó u ∈J ⊂R và α, β là các hằng số dương.
Quỹ đạo của C dưới tác động của nhóm Av là một mặt [GR1] được xác định bởi phương trình tham số
X(u, v) = (f(u) cosαv, f(u) sinαv, g(u) coshβv, g(u) sinhβv). (4.25) Ta có
85
Xv = (−αfsinαv, αf cosαv, βgsinhβv, βgcoshβv). Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của [GR1] được xác định
g11 = (f0)2+ (g0)2 >0, g12= 0, g22=α2f2−β2g2 >0.
Vậy, [GR1] là một mặt kiểu không gian và nó được gọi là mặt tròn xoay kiểu I với kinh tuyến phẳng. Về phương diện hình học, mặt[GR1]nhận được bằng cách quay đường cong C đồng thời quanh hai mặt phẳng Oxy và Ozt với hai tốc độ quay là α và β.
Dễ dàng kiểm tra được, hệ{n1,n2} với
n1 = p 1
(f0)2+ (g0)2 (g0cosαv, g0sinαv,−f0coshβv,−f0sinhβv),
n2 = p 1
α2f2 −β2g2(−βgsinαv, βgcosαv, αf sinhβv, αfcoshβv),
là một trường mục tiêu trên phân thớ pháp của[GR1].Khi đó các hệ số của dạng cơ bản thứ hai lần lượt liên kết vớin1 và n2 được xác định
bn111 = f 00g0−f0g00 p (f0)2+ (g0)2, bn112 = 0, bn122 =−β 2f0g+α2f g0 p (f0)2+ (g0)2, bn211 = 0, bn212 = αβ(f 0g−f g0) p α2f2−β2g2, bn222 = 0. Với n là một trường vectơ pháp trên [GR1], ta có biểu diễn
n =λn1+µn2, trong đó λ, µlà các hàm trơn trên [GR1]. Khi đó ta có
(bnij) = λ(bn1ij ) +µ(bn2ij ) = λbn111 µbn212 µbn212 λbn122 . Vậy nên, Kn= λ 2bn111.bn122 −µ2(bn212)2 ((f0)2+ (g0)2) (α2f2 −β2g2).
Số lượng trường trùng pháp trên[GR1]phụ thuộc vào mối liên hệ giữa hàm f và hàm g.Chúng ta xét các trường hợp cụ thể sau:
(a) n2 là trường trùng pháp khi và chỉ khi f =cg, trong đó clà hằng số thoả mãn điều kiện α2 −cβ2 > 0. Khi đó bn1
22 = 0 nên n1 cũng là một trường trùng pháp, và dễ dàng kiểm tra được rằng mọi trường vectơ pháp trên [GR1] là trường trùng pháp. Điều này có nghĩa [GR1] là mặt hoàn toàn phẳng khi và chỉ khi C là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
(b) n1 là trường trùng pháp khi và chỉ khi
f =cg+c1 hoặc α2f g0+β2f0g = 0, (4.26) trong đó c, c1 là các hằng số. Trong trường hợp này nếu c1 6= 0 thì trên [GR1] có duy nhất một trường trùng pháp, nó làn1.Vậy nên,[GR1]chấp nhận duy nhất một trường trùng pháp khi và chỉ khi n1 là trường trùng pháp và n2 không là trường trùng pháp. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ta có (4.26) trong đó c1 6= 0. Một ví dụ về mặt [GR1] chấp nhận duy nhất một trường trùng pháp là
X(u, v) = ((u+ 1) cosv,(u+ 1) sinv, ucoshv, usinhv), u >1, v ∈[0,2π). (c) Trên [GR1] không tồn tại trường trùng pháp nào khi và chỉ khi
−(f00g0−f0g00)(β2f0g+α2f g0)<0 và αβ(f0g−g0f)6= 0. Một ví dụ về mặt [GR1] không tồn tại trường trùng pháp là
X(u, v) = u2cosv, u2sinv, ucoshv, usinhv
, u > 1, v ∈[0,2π).
Chứng minh chi tiết được giới thiệu trong Ví dụ 3.3.3.
(d) Điều kiện cần và đủ để trên [GR1] có đúng hai trường trùng pháp là −(f00g0−f0g00)(β2f0g+α2f g0)>0 và αβ(f0g−g0f)6= 0.
Một ví dụ về mặt [GR1] có đúng hai trường trùng pháp và không tồn tại trường vectơ pháp ν để mặtν-rốn được cho bởi phương trình tham số
X(u, v) = e2ucosv, e2usinv, e−ucoshv, e−usinhv,
với u > 1, v ∈ (0,2π). Chứng minh chi tiết của khẳng định này được trình bày trong Ví dụ 3.3.5.
Cho C là một đường cong kiểu không gian trong span{e1, e4}với tham số hóa r(u) = (f(u),0,0, g(u)), u∈I,
và Bv = cosαv −sinαv 0 0 sinαv cosαv 0 0 0 0 coshβv sinhβv 0 0 sinhβv coshβv , v∈R
87
là nhóm con của nhóm các phép biến đổi đẳng cự trong R41 sao cho α2f2(u) +β2g2(u)>0
u∈J ⊂R, v ∈Rvà α, β là các hằng số dương.
Quỹ đạo của C dưới tác động của nhóm Bv là mặt [GR2] được xác định bởi phương trình tham số
X(u, v) = (f(u)cosαv, f(u) sinαv, g(u) sinhβv, g(u) coshβv), (4.27) Ta có
Xu = (f0cosαv, f0sinαv, g0sinhβv, g0coshβv),
Xv = (−αfsinαv, αf cosαv, βgcoshβv, βgsinhβv). Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của [GR2] được xác định
g11 = (f0)2−(g0)2 >0, g12 = 0, g22 =α2f2+β2g2 >0.
Điều này có nghĩa [GR2] là một mặt kiểu không gian và nó được gọi là mặt tròn xoay kiểu 2 với kinh tuyến phẳng.
Hoàn toàn tương tự mặt [GR1], chúng ta cũng có thể đưa ra các điều kiện tương đương với số lượng trường trùng pháp của mặt[GR2].
Kết luận Chương 4
Trong chương này, chúng tôi giải quyết được những vấn đề sau:
(1) Giới thiệu khái niệm mặt kẻ kiểu không gian và mặt kẻ kiểu không gian khả triển, xác định được số lượng trường trùng pháp cũng như trường vectơ pháp ν trên mặt kẻ để nó ν-rốn và đưa ra được đặc trưng của mặt kẻ cực đại.
(2) Giới thiệu mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic, xác định được trường trùng pháp và trường vectơν để các mặt tròn xoay nàyν-rốn, xác định được phương trình tham số hóa của mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic cực đại cũng như khi chúng là mặt rốn.
(3) Giới thiệu khái niệm mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng trongR41,đưa ra các điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp trên các lớp mặt này.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Kết luận
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski, bao gồm: Cấu trúc của không gian Lorentz-Minkowski và các đối tượng cơ bản của nó; một số công cụ cơ bản để nghiên cứu mặt đối chiều cao; mặtν-rốn đối chiều hai; mặtν-phẳng đối chiều hai; mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong không gian R41.Các kết quả chính của luận án là:
1. Bằng cách giải một hệ phương trình đại số, chúng tôi xác định được cặp trường vectơ pháp, đồng thời kiểm soát được thuộc tính của nó trên phân thớ pháp của mặt đối chiều hai, sau đó sử dụng cặp trường vectơ pháp này khảo sát được một số tính chất hình học của mặt ν-rốn (Định lí 2.1.5, 2.1.12, 2.1.14, 2.1.15, 2.1.16, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9). Kết hợp các kết quả về mặt ν-rốn để đưa ra định lí thể hiện tính chất của mặt rốn (Định lí 2.3.2). Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ với các tính toán chi tiết nhằm làm rõ các kết quả đã đạt được. Các kết quả này được trình bày trong các bài báo [5], [6] và [9].
2. Đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trùng pháp (Mệnh đề 3.1.2). Xác định được số lượng trường trùng pháp trên một mặt ν-rốn, đồng thời tìm ra được mối quan hệ bao hàm giữa các lớp mặt ν-rốn và ν-phẳng (Định lí 3.1.3). Dựa vào tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc chúng tôi đưa ra được các điều kiện đủ để mặt ν-dẹt (Mệnh đề 3.2.5). Dựa vào điều kiện ràng buộc của các siêu phẳng ν-pháp, chúng tôi đưa ra được các điều kiện đủ để mặtν-phẳng (Mệnh đề 3.2.6). Nghiên cứu tính phẳng của mặt trong không gian4-chiều R4 từ đó đưa ra một số điều kiện đủ để chúng chứa trong siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7). Khi phát triển các kết đạt được về mặt ν-phẳng và điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong R4 lên mặt kiểu không gian trong R41, chúng tôi nhận thấy rằng các kết quả trong R4 nói chung cũng đúng trongR4
1.Sự khác biệt xuất hiện khiν là trường vectơ pháp kiểu ánh sáng. Với trường vectơ pháp kiểu ánh sáng ν,mặc dù giảm bớt các giả thiết trong Mệnh đề 3.2.7 chúng ta vẫn nhận được các điều kiện đủ để mặt chứa trong một siêu phẳng kiểu ánh sáng (Mệnh đề 3.2.13, 3.2.15). Các kết quả này
89
được trình bày trong các bài báo [2] và [8].
3. Đưa ra một khảo sát chi tiết về mặt kẻ trongR4
1 bao gồm: xác định số lượng phương trùng pháp tại mỗi điểm (Mệnh đề 4.1.3); xác định điều kiệnν-rốn và xác định tính chất hình học của mặt kẻ cực đại (Mệnh đề 4.1.5). Nghiên cứu được các tính chất hình học cơ bản của mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic trongR41 bao gồm: xác định được các trường trùng pháp trên mặt và xác định được trường vectơ pháp ν trên mặt để nó là mặtν-rốn (Mệnh đề 4.2.8, 4.2.14); xác định được phương trình tham số của mặt rốn và mặt cực đại (Định lí 4.2.4, 4.2.10, 4.2.6, 4.2.12); xác định được điều kiện để mặt có độ cong Gauss hằng (Định lí 4.2.16). Đưa ra được các điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp trên mặt tròn xoay trong R4 1
với kinh tuyến phẳng và cho các ví dụ tương ứng cho từng trường hợp. Các kết quả này được trình bày trong các bài báo [6], [7] và [8].
2 Kiến nghị
Trong thời gian tới, chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sau.
1. Tiếp tục nghiên cứu mặt đối chiều hai để làm rõ cấu trúc hình học của mặt ν-rốn đối chiều hai, ν-phẳng,. . . .
2. Tìm hiểu và xây dựng các công cụ hữu hiệu để nghiên cứu mặt kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đối chiều cao trong không gian Lorentz-Minkowski.
3. Xây dựng khái niệm mặt helicoid trong R4
1 và nghiên cứu các tính chất hình học của nó.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Binh Ng. D, Cuong. D. V, Hieu. D. Th (2013),“Hyperplanarity of surfaces in 4-dimensional spaces”, submitted.
2. Cuong. D. V (2008),“The flatness of spacelike surfaces of codimension two inLn+1”, Vinh university Journal of science.,37 (2A), 11-20
3. Cuong. D. V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in
Ln+1”, Vinh university Journal of science., 39 (3A), 5-14.
4. Cuong. D. V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-West J. of Mathe- matics.,12 (2), 153-162.
5. Cuong. D. V (2012),“LSr-valued Gauss maps and spacelike surfaces of revolution in R41”, App. Math. Sci., 6 (77), 3845 - 3860.
6. Cuong. D. V (2013),“Surfaces of Revolution with constant Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur. J. Math., DOI 10.1142/S1793557113500216.
7. Cuong. D. V(2012)“The bi-normal fields on spacelike surfaces inR41”, submitted. 8. Cuong. D. V and Hieu. D. Th (2012), “HSr-valued Gauss maps and umbilic
spacelike sufaces of codimension two”, submitted.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại 1. Hội nghị Đại Số - Hình học - Tôpô, Vinh 2007.
2. Hội nghị Đại Số - Hình học - Tôpô, Huế 2009.
3. Hội nghị quốc tế Toán học và ứng dụng (ACMA-MU), Thái Lan 2009. 4. Hội nghị Nghiên cứu sinh trường Đại học Vinh, Vinh 2010.
5. Hội nghị Đại Số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên 2011.
Tài liệu tham khảo
[1] Arslan. K, Bayram. B , Bulca. B and O¨zt¨urk. G (2012),“Generalized rota- tion surfaces inE4”, Results. Math., 61 (3-4), 315-327.
[2] Binh Ng. D, Cuong. D. V , Hieu. D. Th(2013),“Hyperplanarity of surfaces in 4-dimensional spaces”, submitted.
[3] Cuong. D. V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of codimension two in
Ln+1”, Vinh university Journal of science., 37 (2A), 11-20
[4] Cuong. D. V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in
Ln+1”, Vinh university Journal of science., 38 (3A), 5-14.
[5] Cuong. D. V(2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-West J. of Math- ematics., 12 (2), 153-162.
[6] Cuong. D. V(2012), “LSr-valued Gauss maps and spacelike surfaces of revolution inR4
1”, App. Math. Sci., 6 (77), 3845 - 3860.
[7] Cuong. D. V (2013),“Surfaces of Revolution with constant Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur. J. Math., DOI 10.1142/S1793557113500216.
[8] Cuong. D. V(2012)“The bi-normal fields on spacelike surfaces inR4
1”, submitted. [9] Cuong. D. V and Hieu. D. Th (2012), “HSr-valued Gauss maps and umbilic
spacelike sufaces of codimension two”, submitted.
[10] Dreibelbis. D (2003), “Singularities of the Gauss map and the binormal surface”, Adv. Geom., 3, 453-468.
[11] do Carmo. M. P (1976),Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall.
[12] Dursun. U, Turgay. N. C (2012), “Minimal and Pseudo-umbilical Rotational Surfaces in Euclidean Space E4”,Mediterr. J. Math., DOI 10.1007/s00009-011-0167.
[13] Ganchev. G, Milousheva. V (2008), “On the Theory of Surfaces in the Four- Dimensional Euclidean Space”, Kodai Math. J., 31, 183-198.
[14] Ganchev. G, Milousheva. V (2011), “Chen rotational surfaces of hyperbolic or elliptic type in the four-dimensional Minkowski space”, C. R. Acad. Bulg. Sci., 64 (5), 641-652.
[15] Ganchev. G, Milousheva. V (2012), “An invariant theory of spacelike gian sur- faces in the four-dimensional Minkowski space”,Mediterr. J. Math., 9 (2), 267-294. [16] Hoffman. D. A and Osserman. R (1983), “The Gauss map of surfaces in Rn”,
J. Differential Geom.,18 (4), 733-754.
[17] Izumiya. S, Pei. D-H and Sano. T (2003), “Singularities of hyperbolic Gauss maps”,Proceedings of the London Mathematical Society, 86, 485-512.
[18] Izumiya. S, Pei. D and Romero Fuster. M. C (2004), “The lightcone Gauss map of a spacelike surface in Minkowski4-space”, Asian J. Math., 8 (3), 511-530. [19] Izumiya. S, Pei. D and Takahashi. M (2004), “Singularities of evolutes of hy-
persurfaces in hyperbolic space”,Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 47, 131-153.
[20] Izumiya. S, Pei. D and Romero-Fuster. M.C (2004), “Umbilicity of spacelike submanifolds of Minkowski space”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 134A, 375-387.
[21] Izumiya. S, and Romero-Fuster. M. C (2007),“The lightlike flat geometry on spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space”, Selecta Math., 13 (1), 23-55.
[22] Izumiya. S, Nuno Ballesteros. J. J and Romero-Fuster. M.C (2010), “Global properties on spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space”,Advances in Geometry.,10, 51-75.
93
[23] Kasedou. M(2009),“Singularities of lightcone Gauss images of spacelike hypersur- faces in de Sitter space”,J. Geom.,94, 107-121.
[24] Kossowski. M (1989), “The S2-valued Gauss maps and split total curvature of a spacelike codimension-2 surface in Minkowski space”, J. London Math. Soc.,40 (2), 179-192.
[25] Lane. E. P (1932),“ Projective differential geometry of curves and surfaces”, Uni- versity of Chicago Press.
[26] Little. J. A (1969), “On singularities of submanifolds of higher dimensional Eu- clidean pace”, Ann. Mat. PuraAppl.,83 (4A), 261-336.
[27] L˙opez. R(2003),“Surfaces of constant Gauss curvature in Lorentz-Minkowski three- space”,Rocky Mountain Journal of Mathematics, 33 (3), 971-993.
[28] L´opez. R(2008),Diffirential Geomety of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space, Universidad de Granada.
[29] Mello. L. F (2009), “Orthogonal asymptotic lines on surfaces immersed in R4”, Rocky Mountain J. Math.39 (5), 1597-1612.
[30] Milosheva. V (2010), “General rotational surfaces in R4 with meridians lying in two-dimension planes”,C. R. Acad. Bulg. Sci., 63 (3), 339-348.
[31] Mochida. D. K. H, Romero Fuster. M.C, Ruas. M. A. S(1995),“The Geom- etry of Surfaces in 4-Space from a Contact Viewpoint”,Geom. Dedicata.,54, 323-332. [32] Mochida. D. K. H, Romero Fuster. M.C, Ruas. M. A. S (1999),“Osculating hyperplanes and asymptotic directions of codimension 2-submanifolds of Euclidean spaces”,Geom. Dedicata., 77, 305-312.
[33] Navarro. M , S´achez. F(2009),“A theorem of Gauss-Bonnet type in codimension 2 for Riemannian manifolds of even dimension”,Abstraction and Application.,1, 4-17. [34] Nun˜o-Ballesteros. J. J , Romero Fuster. M.C(2010),“Contact properties of codimension two submanifolds with flat normal bundle”, Rev. Math. Iberoamericana., 26 (3), 799-824.
[35] O’Neill. B(1983), Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, Orland.
[36] Palais. R. S , Terng. Ch (1988),Critical Point Theory and Submanifold Geom- etry, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag.
[37] Plass. M. H (1939),Ruled surfaces in Euclidean four space, Ph.D thesis, MIT.
[38] Romero Fuster. M.C, Sánchez-Bringas. F(2002),“Umbilicity of surfaces with orthogonal asymptotic lines inR4”, Diff. Geom. and its Appl., 16, 213-334.
[39] Weiner. J(1984), “The Gauss map for surfaces in 4-space”, Math. Ann. 269, 541- 560.
Chỉ mục Aν p, 17 HPn(c), 12 HPn, 12 HSr, 27 Hn(a, R), 12 Hν p, 17 Hn +(a, R), 13 Hp, 22 Kν p, 17 LC, 13 LC(a), 13 LC∗, 13 LC+∗, 13 LC+(a), 13 LSr, 40 Np, 22 Sn +, 13 Sn 1(a, R), 12 Rn1+1, 11 l∗r, 41 l±r, 41 n∗r, 27 n±r, 27 ex, 13 [GR1], 84 [GR2], 87 [RE], 80 [RH], 73 Độ cong, 17 ν-Gauss-Kronecker, 17 ν-chính, 17 ν-trung bình, 17 Độ cong pháp, 22 Ánh xạ, 16, 17, 27, 41 l±r-Gauss, 41 ν-Gauss, 16 ν-Weingarten, 17 n±r-Gauss, 27 kiν, 17 Elip độ cong, 21 Giả cầu, 12 de Sitter, 12 hypebolic, 12 nón ánh sáng, 13
Không gian Lorentz-Minkowski, 11
Mặt, 14, 18, 22, 68, 74, 80, 84, 87 ν−cực đại, 19
ν−phẳng, 19 ν−rốn, 18
kiểu không gian (kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) đối chiều hai, 14
ν−dẹt, 18
hoàn toàn phẳng, 19 cực đại, 22 kẻ, 68 kẻ khả triển, 68