Như chúng ta đã biết:“nếu các mặt phẳng mật tiếp của một đường cong song chính quy trong R3 song song với một phương cố định nhưng các tiếp tuyến không song song với phương này thì đường cong chứa trong một siêu phẳng”.
Việc mở rộng kết quả trên lên mặt trong R4 có trường trùng pháp ν nói chung là không còn đúng nữa. Điều kiện (P): “các siêu phẳng ν-mật tiếp của mặt trong R4 song song với một mặt phẳng cố định nhưng các mặt phẳng tiếp xúc không song song với mặt phẳng này” không suy ra được mặt chứa trong một siêu phẳng. Điều này được thể hiện trong các ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.1. Xét xuyến Clifford trong R4, được cho bởi tham số hoá
X(u, v) = (cosu,sinu,cosv,sinv), 0< u, v <2π. Bằng một số bước tính toán ta chỉ ra được trường vectơ pháp
55
là trường trùng pháp vàXv là trường tiệm cận liên kết với ν.
Dễ dàng nhận thấy các siêu phẳng ν-mật tiếp song song với e3e4-phẳng và các mặt phẳng tiếp xúc không song song với mặt phẳng này. Rõ ràng xuyến Clifford không chứa trong bất kỳ siêu phẳng nào.
Ví dụ 3.2.2. Xét mặt M được cho bởi tham số hoá
X(u, v) = (1, u, v,0), u∈(−π,0), v ∈R;
X(u, v) = (cosu,sinv, v,0), u∈[0,π
2), v ∈R;
X(u, v) = (u− π
2,1, v,0), u∈[π
2, π), v ∈R;
X(u, v) = (π
2 + sinu,1, v,1 + cosu), u∈[π,3π
2 )v ∈R và trường vectơ ν(u, v) = (0,0,0,1), u∈(−π,0), v ∈R; ν(u, v) = (0,0,0,1), u∈[0,π 2), v ∈R; ν(u, v) = (0,−cosu,0,sinu), u∈[π
2, π), v ∈R; ν(u, v) = (0,1,0,0), u∈[π, 3π
2 ), v ∈R.
Dễ dàng kiểm tra được,ν là một trường trùng pháp trên M và các siêu phẳng ν-mật tiếp chứa mặt phẳngx2 = 0, x4 = 0. Về mặt địa phương, M chứa trong một siêu phẳng hoặc một mặt phẳng nhưng toàn bộ mặt không chứa trong bất kỳ siêu phẳng nào.
Trong mục này chúng ta xétM là một mặt trong R4 và tiến hành nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của M. Trường vectơ pháp ν trên M luôn được giả thiết là trường vectơ đơn vị. Trước hết ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.3 ([2]). Trường vectơ pháp ν là trường trùng pháp khi và chỉ khi tồn tại một trường vectơ tiếp xúc η sao cho
hη, νui=hη, νvi= 0.
Chứng minh. Ta có
Aν(η) = (gij)−1[hη, νuiXu+hη, νviXv]. Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Từ bổ đề trên ta nhận được điều kiện cần và đủ để mặt ν-dẹt.
Hệ quả 3.2.4 ([2]). M là mặt ν-dẹt khi và chỉ khi νu và νv trực giao với các mặt phẳng tiếp xúc.
Từ một số điều kiện ràng buộc của các mặt phẳng tiếp xúc trên M sẽ dẫn đến một số tính chất đặc biệt trênM. Điều này được thể hiện trong các kết quả sau.
Mệnh đề 3.2.5([2]). Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì M là mặt ν-dẹt, với ν là một trường vectơ pháp nào đó trên mặt:
1. Các mặt phẳng tiếp xúc của M song song với một phương cố định; 2. Các mặt phẳng tiếp xúc của M chứa một điểm cố định A.
Chứng minh. 1. Theo Bổ đề 3.2.3 phương cố định là phươngν-tiệm cận với mọi trường vectơ pháp ν,điều này có nghĩaM là mặt hoàn toàn phẳng. Hệ quả 3.1.8 suy raM là mặt ν-dẹt.
2. Về mặt địa phương ta cóhν,X−Ai= 0,với mọi trường vectơ phápν.Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức này tương ứng theo u và v ta có
hνu,X−Ai=−hν,Xui= 0, hνv,X−Ai=−hν,Xvi= 0.
Bổ đề 3.2.3 suy ra X−A là phương ν-tiệm cận. Tương tự chứng minh trên ta có kết quả của Mệnh đề.
Từ một số điều kiện ràng buộc của các siêu phẳngν-pháp trên M sẽ dẫn đến một số tính chất đặc biệt của ν.Điều này được thể hiện trong kết quả sau.
Mệnh đề 3.2.6 ([2]). Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì M là mặt ν-phẳng, điều này có nghĩa ν là trường trùng pháp trên M :
1. Các siêu phẳng ν-pháp của M song song với một mặt phẳng cố định Q; 2. Các siêu phẳng ν-pháp của M chứa hai điểm cố định A, B mà A, B /∈M.
57
Chứng minh. 1. Vì ν là trường vectơ đơn vị nên với biểu diễn địa phương νu, νv thuộc siêu phẳng ν-pháp. Mặt khác, do Q cố định nên hai vectơνu và νv trực giao với Q. Từ đó suy ra νu song song với νv. Với mỗi p ∈ M, gọi Qp là mặt phẳng qua p và song song với Q. Khi đó có hai trường hợp xảy ra.
(a) Nếu Qp là mặt phẳng tiếp xúc tại p thì mọi phương trong Qp đều là phương ν-tiệm cận.
(b) NếuQp không là mặt phẳng tiếp xúc tạipthì, theo Bổ đề 3.2.3, giaoQp∩TpM là phương ν-tiệm cận.
2. Trong một lân cận của điểm p∈M, bằng lý luận tương tự trên, νu vàνv đồng thời trực giao với X−A và X−B. Nếu A, B ∈ TpM thì A−B là phương ν-tiệm cận của M tại p.Nếu A /∈TpM hoặc B /∈TpM thì giao của mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, p và TpM là phương ν-tiệm cận.
Trong cả hai trường hợp ta đều suy raν là một trường trùng pháp trên M.
Các giả thiết trong Mệnh đề 3.2.6 là chưa đủ để suy raM chứa trong một siêu phẳng. Điều này được chỉ ra trong Ví dụ 3.2.1. Chính vì vậy mà chúng ta cần bổ sung các giả thiết mạnh hơn mới mong nhận được các điều kiện đủ để mặt chứa trong một siêu phẳng. Mệnh đề 3.2.7 ([2]). Mỗi phát biểu sau là một điều kiện đủ để M chứa trong một siêu phẳng.
1. M là mặt ν-rốn và các siêu phẳng ν-pháp song song với một mặt phẳng cố định Q mà các mặt phẳng tiếp xúc không song song với Q;
2. M là mặt ν-rốn và các siêu phẳng ν-pháp chứa hai điểm cố định A, B mà các mặt phẳng tiếp xúc không đi qua chúng;
3. M là mặt ν-dẹt và các siêu phẳngν-pháp song song với một đường thẳng cố định d
mà các mặt phẳng tiếp xúc không song song với d;
4. M là mặt ν-dẹt và các siêu phẳng ν-pháp chứa một điểm cố định A mà các mặt phẳng tiếp xúc không đi qua A.
Chứng minh. Rõ ràng rằng, nếu ν hằng thì M chứa trong siêu phẳng ν-pháp. Vậy nên, để chứng minhM chứa trong một siêu phẳng chúng ta chỉ cần chứng minh, với biểu diễn tham số hoá địa phương, νu =νv = 0.
1. Theo Mệnh đề 3.2.5, M là mặt ν-phẳng và do M là mặtν-rốn nên nó là mặt ν-dẹt. Vì νu, νv đồng thời trực giao với Q và các mặt phẳng tiếp xúc (Hệ quả 3.2.4) nên νu =νv = 0.
2. Lý luận tương tự trên ta có M là mặt ν-dẹt. Vì với mọi p ∈ M, νu, νv đồng thời trực giao với mặt phẳng đi qua A, B, pvà mặt phẳng tiếp xúc TpM nên chúng đồng nhất bằng không.
3. Ta có νu = νv = 0, vì chúng đồng thời trực giao với đường thẳng d và các mặt phẳng tiếp xúc của mặt.
4. Ta có νu =νv = 0, vì chúng đồng thời trực giao với X−A và các mặt phẳng tiếp xúc của mặt.
Chú ý 3.2.8. 1. Nhận thấy rằng các mặt phẳng tiếp xúc của một mặt trụ luôn song song với một đường thẳng cố định, nó hoàn toàn phẳng nên mặt trụ là một mặt ν-dẹt. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát mặt trụ không chứa trong một siêu phẳng.
2. Các mặt phẳng tiếp xúc của một mặt nón luôn chứa một điểm cố định, nó là mặt hoàn toàn phẳng nên mặt nón là một mặt ν-dẹt. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát mặt nón không chứa trong một siêu phẳng.