Dựa vào thành phần pháp của các đạo hàm riêng, bổ đề sau cho chúng ta một điều kiện đủ để n∗r trở thành trường vectơ hằng.
Bổ đề 2.1.4 ([9]). Nếu ∂u∂ in∗r ∈NpM, với i∈ {1,2, . . . , n−1}, thì ∂ ∂uin ∗ r = 0.
Chứng minh. Vì tọa độ cuối cùng (n∗r)n+1 =r là một hằng số nên tọa độ cuối cùng của ∂
∂uin∗r bằng không. Hệ {n+
r,n−r} độc lập tuyến tính và nó là một cơ sở của mặt phẳng phápNpM.Vậy nên, ∂ ∂uin ∗ r =λ(n+r −n−r). (2.2) Ta sẽ chỉ raλ= 0. Vìhn∗r,n∗ri= 2r nên h ∂ ∂uin ∗ r,n∗ri=λhnr+−n−r,n∗ri= 0. Nếuλ 6= 0, thì hn+r,n+ri=hn−r,n−ri=hn+r,n−ri= 2r. Suy ra hn+r −n−r,n+r −n−ri= 0.
Điều này là vô lý vìn+r 6=n−r và tọa độ cuối cùng củan+r −n−r đồng nhất bằng không, nói cách khácn+
r −n−r là một vectơ kiểu không gian khác không. Mâu thuẫn suy raλ = 0. Bổ đề được chứng minh.
Trong [20], với giả thiết ν là trường vectơ pháp song song, Izumiya và các tác giả đã nhận được kết quả: NếuM là mặt ν-dẹt thì hàm độ cong ν-chính đồng nhất bằng không và suy ra ν là một trường vectơ hằng. Ví dụ 2.1.22 chỉ ra sự tồn tại những mặt ν-dẹt nhưngν không là trường vectơ pháp hằng. Bỏ qua giả thiết song song của ν, với trường vectơ phápn∗r, định lí sau chỉ ra rằng mặtn∗r-dẹt là mặt chứa trong siêu phẳng kiểu thời gian vàn∗r là trường vectơ hằng. Hơn thế, định lí này còn cho chúng ta một thuật toán để kiểm tra một mặt có chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian không chứa trục {xn+1} hay không.
29
Định lí 2.1.5 ([9]). Các phát biểu sau là tương đương. 1. Tồn tại số thực r >0, sao cho M là mặt n∗r-dẹt;
2. Tồn tại một số thực r >0, sao cho n∗r là một trường vectơ hằng;
3. Tồn tại một vectơ kiểu không gian a = (a1, a2, . . . , an, an+1), an+1 6= 0 và một số thực c sao cho M ⊂HPa(c).
Chứng minh.
(1.⇒2.) Từ giả thiết M là mặt n∗r-dẹt, có nghĩa An∗r
p = 0, ta có hXuiuj,nr∗i=−hXuj, ∂
∂uin
∗
ri= 0, i, j = 1,2, . . . , n−1. (2.3) Nhưng (2.3) có nghĩa ∂u∂
in∗r ∈NpM. Sử dụng Bổ đề 2.1.4 ta suy ra ∂ ∂uin ∗ r = 0, i= 1,2, . . . , n−1. (2.⇒1.) Hiển nhiên.
(2.⇒3.) Nếu n∗r là một trường vectơ hằng thì ∂
∂uihX,n∗ri=hXui,n∗ri − hX, ∂ ∂uin
∗
ri= 0. Điều này có nghĩa X⊂HPn∗r(c), với clà hằng số.
(3. ⇒ 2.) Nếu M chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian thì với vectơ pháp, đơn vị, kiểu không giana= (a1, a2, . . . , an, an+1), an+1 6= 0, khi đó dễ dàng chỉ ra n∗r := 2an+1a∈ Hn
+(v,1) với r= 2(an+1)2 và hiển nhiên nó là một trường vectơ hằng. Chú ý 2.1.6.
1. Định lí 2.1.5 là một điều kiện cần và đủ để một mặt đối chiều hai chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian không đi qua trục xn+1.
2. Trường hợp mặt đối chiều hai chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian chứa trục xn+1, ta có Ví dụ 2.1.19.
3. Mặc dù Định lí 2.1.5 được phát biểu và chứng minh cho trường hợp mặt được cho bởi tham số hoá địa phương nhưng với tính chất liên thông của mặt thì định lí này cũng đúng cho mặt nhúng chính quy.
Từ Định lí 2.1.5 ta có một số hệ quả thể hiện tính hữu dụng của n∗r trong việc nghiên cứu mặt ν-dẹt.
Hệ quả 2.1.7. Nếu M là mặt đối chiều hai đồng thời n∗r
1-dẹt và n∗r
2-dẹt, trong đó n∗r
1 6= n∗r2, thì M là một phần của một (n−1)-phẳng kiểu không gian. Khi đó, n±r là trường vectơ hằng với mọi r >0.
Hệ quả 2.1.8. Nếu M là một mặt chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian không chứa trụcxn+1 thì tồn tại duy nhất một số thực dươngr sao cho M là mặt n∗r-dẹt ngoại trừ M là (hoặc một phần) của một (n−1)-phẳng.