Phương pháp xác định cặp trường vectơ pháp kiểu ánh sáng trên mặt được giới thiệu trong mục này là hoàn toàn tương tự phương pháp xác định ánh xạn±r-Gauss được trình bày trong mục a).
Đặt LSr =LC∗∩HPv với v= (0,0, . . . ,0, r). Để xây dựng ánh xạ l±r-Gauss ta cần chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1. Cho Π là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ. Khi đó tập hợp Π∩LSr
chứa đúng hai vectơ.
Chứng minh. Vì Π là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ nên nó có một cơ sở trực giao{a,b}sao choha,ai= 1,a= (a0, a1, . . . , an+1), an+1 >0vàb= (b0, b1, . . . , bn+1), hb,bi= −1. Với mọi x∈Π ta có biểu diễn
x=λa+µb. Vì x∈LC+∗ và xn+1 =r nên ta có hệ phương trình hx,xi= 0, xn+1 = r, ⇔ λ2−µ2 = 0, λan+1+µbn+1 = r . (2.12)
41
Vì M là mặt kiểu không gian đối chiều hai nên với mỗi p∈ M, chúng ta đồng nhất không gian phápNpM của M tại pvới 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ và song song với nó. Sử dụng kết quả của Bổ đề 2.2.1 ta có LSr∩NpM ={l±r}.
Định nghĩa 2.2.2 ([6]). Các ánh xạ
l±r : M → LSr p 7→ l±r(p) được gọi là ánh xạ l±r-Gauss của M.
Chú ý:
(1) Ánh xạl±r-Gauss của một mặt đối chiều haiM =X(U)là các nghiệm của hệ phương trình hl,Xuii = 0, i= 1,2, . . . , n−1, hl,li = 0, ln+1 =r. (2.13)
(2) Dễ dàng chỉ ra được rằng, cặp trường vectơ pháp này cùng phương với cặp trường vectơ pháp của ánh xạ Gauss nón ánh sáng mà Izumiya và một số nhà toán học khác xây dựng trong [20]. Nhưng ở đây chúng ta đưa ra một phương pháp cụ thể để xác định cặp trường vectơ pháp này khi có tham số hoá của mặt và toạ độ cuối cùng (thời gian) của l±r là hằng số.