b) Mặt l∗r rốn đối chiều hai
2.3 Mặt rốn đối chiều hai
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu tính chất hình học của mặt rốn, là mặt ν-rốn với mọi trường vectơ phápν.
Như một hệ quả của phương trình Rici ([35, tr.125]), nếu p là một điểm ν-rốn thì tenxơ độ cong pháp tạipbằng không. Vậy nên, nếu M là mặt rốn thì tenxơ độ cong pháp đồng nhất bằng không trên M.
Định nghĩa 1.1.4 ([36, tr.6]) phát biểu rằng, một liên thông được gọi là dẹt nếu tenxơ độ cong tương ứng với nó triệt tiêu. Áp dụng các kết quả này lên liên thông pháp trên M,Mệnh đề 1.1.5 [36, tr.6] cho hệ quả sau.
47
Hệ quả 2.3.1. Nếu M rốn thì với mỗi p∈M tồn tại một lân cận Up ⊂M của p và hai trường vectơ pháp song song u,v trên Up.
Sử dụng các ký hiệu trong Hệ quả 2.3.1, ta có kết quả sau.
Định lí 2.3.2 ([6]). Cho M là một mặt rốn đối chiều hai. Khi đó:
1. Nếu u là trường vectơ kiểu không gian hoặc đồng thời u và v là trường vectơ kiểu ánh sáng trên Up, thì Up chứa trong giao của một giả cầu hypebolic với một siêu phẳng.
2. Nếu u là một trường vectơ kiểu thời gian trên Up thì Up chứa trong giao của một giả cầu de Sitter với một siêu phẳng.
Chứng minh.
1. Giả sử rằng u là trường vectơ kiểu không gian. Đặt Z = u∧Xu1 ∧ · · · ∧Xun−1
u∧Xu1 ∧ · · · ∧Xun−1
.
Khi đóZ là một trường vectơ pháp khả vi trên Up, và hZ,Zi=−1, hZ,ui= 0. Vậy nên,
hdZ,Zi= 0, hdZ,ui=−hZ, dui= 0.
Điều này có nghĩaZ là trường vectơ pháp song song trên Up. Kết luận của Định lí 2.0.7 và Định lí 2.1.12 suy raUp chứa trong giao của một giả cầu hypebolic với một siêu phẳng Trong trường hợp cả hai trường vectơu vàvlà các vectơ kiểu ánh sáng, vì{u,v}lập thành một cơ sở của không gian pháp trên Up, ta cóhu,vi 6= 0 trên Up. Đặt
Y= u
hu,vi −v. Khi đóY là một trường vectơ pháp trên Up và
hY,Yi=−2, hY,vi= 1. Vậy nên,
Điều này có nghĩaY là trường vectơ pháp song song trên Up. Tương tự như trường hợp thứ nhất, ta có kết luận (1).
2. Bằng cách sử dụng phương pháp chứng minh tương tự chứng minh phát biểu 1. của Định lí, chúng ta nhận được một trường vectơ pháp kiểu không gian song song với độ dài hằng. Kết luận của Định lí 2.0.7 và Định lí 2.2.7 suy ra Up chứa trong giao của một de Sitter với một siêu phẳng.
Hệ quả 2.3.3. Nếu M là mặt rốn thì M là mặt ν-dẹt địa phương, với một trường vectơ pháp ν nào đó.
Chứng minh. Nếu M là mặt rốn thì M chứa trong một siêu phẳng nào đó (địa phương). Vậy nên M là mặtν-dẹt địa phương, với ν là vectơ pháp của siêu phẳng.
Kết luận Chương 2
Trong Chương 2 chúng tôi giải quyết được các vấn đề sau.
(1) Đưa ra một phương pháp để xác định được cặp trường vectơ pháp kiểu không gian khả vi, n±r, trên mặt đối chiều hai, đồng thời sử dụng trường vectơ pháp này để nghiên cứu và đưa ra được một số tính chất hình học của mặt n±r-rốn đối chiều hai, đặc biệt với mặt chứa trong giả cầu hypebolic.
(2) Đưa ra một phương pháp để xác định được cặp trường vectơ pháp kiểu ánh sáng khả vi, l±r, trên mặt đối chiều hai, đồng thời sử dụng trường vectơ pháp này để nghiên cứu và đưa ra được một số tính chất hình học của mặt l±r-rốn đối chiều hai, đặc biệt với mặt chứa trong giả cầu de Sitter.
(3) Đưa ra tính chất hình học của mặt rốn.
Chương 3
Tính chất hình học của mặt ν-phẳng
trong R41
Trong chương này, trước hết chúng tôi xác định một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là một trường trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng, xác định số lượng trường trùng pháp trên mặt ν-rốn. Tiếp đến, chúng tôi xác định một số điều kiện đủ để một mặt trong không gianR4 và R41 thuộc một siêu phẳng. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra các ví dụ về mặt ν-phẳng để minh hoạ và làm sáng tỏ nội dung nghiên cứu trong chương.
3.1 Mối liên hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng
Nhận xét 3.1.1. Cho ν là một trường trùng pháp trên M,khi đó các khẳng định sau là tương đương: M là mặtν-dẹt; M là mặtν-rốn; M là mặtν-cực đại.
Kết quả sau cho chúng ta một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trùng pháp.
Mệnh đề 3.1.2 ([2]). Cho ν là một trường vectơ pháp trên M, khi đó ν là một trường trùng pháp khi và chỉ khi hoặc ν∧νu∧νv = 0 hoặc 0=6 ν∧νu∧νv song song với TpM.
Chứng minh.
(⇒) Giả sử ν là một trường trùng pháp trên M và ν ∧νu ∧νv 6= 0, chúng ta sẽ chứng minh ν∧νu∧νv song với TpM. Chọn tham số hoá trên M sao cho (bνij) là một ma trận
chéo, điều này có nghĩabν12 = 0.Vì Kν = 0nên hoặcb11ν = 0 hoặcbν22= 0.Giả sử bν11 = 0, khi đó hνu,Xui = hνu,Xvi = 0. Điều này có nghĩa νu ∈ NpM và {ν, νu} là cơ sở của NpM.Dễ dàng suy ra {Xu,Xv, ν, νu}là một cơ sở của R14.Vì hνv,Xui= 0 nên ta có biểu diễn νv = λXv+µν +γνu và khi đó ν∧νu∧νv = λν ∧νu ∧Xv với λ 6= 0. Công thức hν∧νu ∧νv,Xui = λdet(ν, νu,Xu,Xv) 6= 0 suy ra η = ν∧νu ∧νv không cùng phương với ν. Mặt khác hη, νi=hη, νui= 0 nên η song song với TpM. Khi đó η chính là phương ν-tiệm cận.
(⇐) Nếu η=ν∧νu∧νv 6= 0 song song với TpM thì hνu, ηi=hνv, ηi= 0,suy ra ν là một trường trùng pháp và η là trường tiệm cận liên kết với ν.
Trường hợpν∧νu∧νv = 0.Nếuνu = 0hoặcνv = 0thìbν
11=bν
12= 0hoặcbν
22=bν
12 = 0, suy ra ν là một trường trùng pháp. Nếu νu 6= 0 và νv 6= 0 thì hệ {ν, νu, νv} phụ thuộc tuyến tính. Giả sửνu =λν+µνv. Khi đó bν
11 =µbν
12. Chọn tham số hoá sao chobν
12= 0, khi đó ta có Kν = 0. Suy ra ν là một trường trùng pháp của M.
Về mối quan hệ bao hàm giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng, Ví dụ 3.3.4 chỉ ra một mặt ν-phẳng mà không là mặtν-rốn. Ngay cả khi trên mặt có hai trường trùng phápν1 vàν2, tức là mặt đồng thờiν1-phẳng và ν2-phẳng, cũng không thể khẳng định nó là mặt ν-rốn. Điều này được chỉ ra trong Ví dụ 3.3.5. Kết quả sau chỉ ra rằng lớp các mặtν-rốn chứa trong lớp các mặtν-phẳng.
Định lí 3.1.3 ([8]). Nếu M là một mặt ν-rốn (không ν-dẹt) thì trên M tồn tại ít nhất một trường trùng pháp và nhiều nhất hai trường trùng pháp. Khi đó,M có duy nhất một trường trùng pháp khi và chỉ khi M là mặt rốn.
Chứng minh. Giả sử n là trường vectơ pháp trên M sao cho {Xu,Xv, ν,n} là một cơ sở của R4
1, k là độ cong ν-chính. Khi đó, với mọi trường vectơ pháp B ta có biểu diễn
B=λν+µn,
trong đó λ, µlà các hàm trơn trên M. Xét tham số hoá trực giao,
g11 =g22=ϕ, g12= 0,
của M và sử dụng {Xu,Xv}làm cơ sở cho TpM ta có
AB =λAν +µAn =λk 1 0 0 1 + µ ϕ bn11 bn12 bn 12 bn 22 = µ ϕbn11+λk µϕbn12 µ ϕbn 12 µ ϕbn 22+λk .
51
Khi đó,
KB =γ2 bn11bn22−(bn12)2+λγk(bn11+bn22) +λ2k2,
KB = 0 ⇔ γ2 b11nbn22−(bn12)2+λγk(bn11+bn22) +λ2k2 = 0, (3.1) với γ = µϕ. Vì ν không là trường trùng pháp nên chỉ xét B không song song với ν, điều này có nghĩaµ6= 0. Khi đó, công thức (3.1) được viết lại
λk γ 2 + (bn11+bn22)λk γ +b n 11bn22−(bn12)2 = 0. (3.2) Phương trình bậc hai (3.2) có ∆ = (bn11−bn22)2+ 4(bn12)2 ≥0 (3.3)
nên nó có một nghiệm khi∆ = 0 và hai nghiệm khi∆>0. Điều này có nghĩa trên M có ít nhất một trường trùng pháp và nhiều nhất hai trường trùng pháp.
(1) M có duy nhất một trường trùng pháp khi và chỉ khi bn 11 = bn
22 và bn
12 = 0, điều này có nghĩaM là mặtn-rốn với mọi trường vectơ pháp n.
(2) Dễ dàng chỉ ra được rằng,∆>0nếu và chỉ nếukn 1 6=kn
2. Điều này có nghĩaM có hai trường trùng pháp khi và chỉ khiM không là mặt n-rốn. Khi đó trên M tồn tại duy nhất một trường vectơ pháp ν đểM là mặtν-rốn.
Chú ý 3.1.4. Kết quả này cũng đúng đối với mặt trong R4.
Từ định lí trên ta nhận được một số hệ quả về số lượng trường trùng pháp trên mặt rốn.
Hệ quả 3.1.5. Nếu M là mặt rốn thì tồn tại trường vectơ pháp ν để M là mặt ν-dẹt. Chứng minh. Hệ quả nhận được bằng cách kết hợp Định lí 3.1.3 và Nhận xét 3.1.1.
Mối liên hệ giữa các điều kiện: rốn; tồn tại trường trùng pháp; và chứa trong siêu phẳng của mặt chứa trong giả cầu được thể hiện trong hệ quả sau.
Hệ quả 3.1.6 ([8]). Cho M là một mặt chứa trong giả cầu hypebolic (hoặc giả cầu de Sitter). Khi đó các phát biểu sau là tương đương.
(1) M là mặt rốn;
(3) M chứa trong một siêu phẳng.
Chứng minh. Vì M chứa trong một giả cầu nên M là mặt ν-rốn, với ν là trường vectơ vị trí.
(1)⇔(2). Nhận được từ Định lí 3.1.3.
(1)⇔(3). Bằng cách kết hợp Định lí 2.1.12 và Định lí 2.2.7.
Với mặt nằm ngoài giả cầu ta có kết quả sau. Hệ quả 3.1.7 ([8]). Các phát biểu sau là tương đương.
(1) M là mặt rốn;
(2) M chứa trong (địa phương) giao của một giả cầu hypebolic (hoặc một giả cầu de Sitter) với một siêu phẳng;
(3) Trên M tồn tại (địa phương) duy nhất một trường trùng pháp B và nó là mặtν-rốn (không ν-dẹt).
Chứng minh.
(1)⇔(2). Nhận được từ Định lí 2.3.2. (1)⇔(3). Nhận được từ Định lí 3.1.3.
Giả sử {e3, e4} là một trường mục tiêu trực chuẩn trên phân thớ pháp của M. Với ν=xe3+ye4 là một trường vectơ pháp trên M, ta có
Aν = ax+ey bx+f y bx+f y cx+gy và
Kν = det(Aν) = (ac−b2)x2+ (ag+ce−2bf)xy+ (eg−f2)y2,
trong đó a, b, c và e, f, g lần lượt là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai liên kết với e3 và e4. Như chúng ta đã biết ([26, Định lí 1.2]) Kν = 0 với mọi ν (điều này có nghĩa M là mặt hoàn toàn phẳng) khi và chỉ khirankB ≤1, với
B = a b b c e f f g .
53
Hệ quả 3.1.8. Nếu M là mặt hoàn toàn phẳng thì nó là mặt ν-dẹt. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được rằng rankB ≤1 suy ra
rank a e b f c g ≤1.
Điều này tương đương với việc hệ phương trình ax+ey = 0;bx+f y = 0;cx+gy = 0 có nghiệm không tầm thường. Giả sử x, y là nghiệm không tầm thường của hệ này. Đặt ν=xe3+ye4 ta có Aν =x a b b c +y e f f g = 0 0 0 0 . Do đóM là mặtν-dẹt.
Hệ quả 3.1.9. Nếu trên M tồn tại duy nhất một trường trùng pháp B mà không B-dẹt thì với mọi trường vectơ pháp ν, M không là mặt ν-rốn.
Tương tự mặt trong R4 ([38]), với mặt trong R4
1, ta có các phát biểu sau là tương đương.
(1) Tại mọi điểm trên M có hai phương tiệm cận trực giao với nhau;
(2) M là mặt ν-rốn;
(3) Độ cong pháp của M triệt tiêu tại mọi điểm; (4) M là mặt nửa rốn.
Kết quả sau cho một điều kiện cần và đủ khác để một mặt hoàn toàn phẳng.
Mệnh đề 3.1.10([2]). M là mặt hoàn toàn phẳng khi và chỉ khi trênM tồn tại hai trường vectơ pháp độc lập tuyến tínhν1, ν2 sao cho M là mặt đồng thời ν1-dẹt và ν2-phẳng. Chứng minh. NếuM là mặt hoàn toàn phẳng thì nó là mặtν-phẳng với mọi trường vectơ pháp ν. Ngoài ra, theo Hệ quả 3.1.8, M là mặt ν1-dẹt, với ν1 là một trường vectơ pháp nào đó trênM.
Với ν =xν1+yν2 ta có detAν = det(xAν1 +yAν2).Vậy nên, nếu M là mặtν1-dẹt và ν2-phẳng thì detAν =ydetAν2 = 0. Suy ra M là mặt hoàn toàn phẳng.