Khái niệm elip độ cong được Little xây dựng trong [26] cho mặt hai chiều trong R4, sau đó được Izumiya và một số tác giả khác, trong [18], phát biểu lại cho mặt kiểu không gian trong R41 , và mở rộng lên mặt kiểu không gian (2-chiều) trong Rn1 [20]. Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số công thức tính toán trên mặt trongR4
1,từ đó đi đến khái niệm elip độ cong của mặt trongR41.
Cho M là một mặt kiểu không gian trong R4
1. Với mỗi p∈M,giả sử {e1(u, v), e2(u, v);p= (u, v)}
là mục tiêu trực chuẩn của phân thớ tiếp xúc và
{e3(u, v), e4(u, v);p= (u, v)}
là mục tiêu trực chuẩn của phân thớ pháp. Trong đó e3 là trường vectơ kiểu không gian vàe4 là trường vectơ kiểu thời gian. Ta có biểu diễn
dX = 4 X i=1 ωiei, dei = 4 X j=1 ωijej; i= 1,2, . . . ,4,
trong đó ωi và ωij là các 1-dạng được xác định bởi
ωi =δ(ei)hdX, eii, ωij =δ(ei)hd(ei), eji
và δ(ei) = sign(ei) = 1, i= 1,2,3, −1, i= 4.
21
Khi đó ta có phương trình (kiểu) Codazzi
dωi = 4 X i=1 δ(ei)δ(ej)ωij ∧ωj, dωij = 4 X k=1 ωik∧ωkj. (1.4)
Sau một số bước biến đổi và sử dụng Bổ đề Cartan, các tác giả trong [18] đã chỉ ra các đẳng thức ω41=aω2+bω1, ω42 =bω2+cω1, ω32=eω2+f ω1, ω31 =f ω2+gω1. (1.5) Mặt khác, từ các đẳng thức hd2X, e4i=−(aω22+ 2bω2ω1+cω12); hd2X, e3i=−(eω22+ 2f ω2ω1+gω21),
ta suy ra a, b, c và e, f, g là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai lần lượt liên kết với e4 và e3.
Cho γ :I →R4
1 là một đường cong kiểu không gian chính quy với tham số hoá độ dài cung, nhận được bằng cách giao M với 3-phẳng kiểu thời gian được xác định bởi vectơ đơn vị v∈ TpM và mặt phẳng pháp NpM. Ta có, v = γ0(s) và p ∈ γ(I). Độ cong pháp của γ nằm trong NpM và được xác định bởi công thức
η(v) =hd
2γ
ds2(p), e4ie4− hd
2γ
ds2(p), e3ie3
=−(acos2θ+ 2bcosθsinθ+csin2θ)e4+ + (ecos2θ+ 2fcosθsinθ+gsin2θ)e3, trong đó v= sinθe1+ cosθe2 ∈TpM. Đặt
Hp = 1
2(e+g)e3− 1
2(a+c)e4, ta có biểu diễn của η(v)
(η−Hp) = 1 2(a−c) b −1 2(e−g) −f cos 2θ sin 2θ . (1.6)
Vậy nên, khi cho θ thay đổi từ 0 đến 2π, η(θ) xác định một elip trên NpM, nó được gọi làelip độ cong của M tại p.
Hoàn toàn tương tự mặt trong R41, khái niệm elip độ cong của mặt kiểu không gian 2-chiều trongRn1+1 được Izumiya và các tác giả khác xây dựng trong [20].
1. Hp được gọi là vectơ độ cong trung bình củaM tại p.
2. M được gọi là mặt cực đại nếu với mọi p∈M, Hp = 0.
3. Điểm p∈ M được gọi là điểm nửa rốn nếu tại p elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Một điểm nửa rốn lần lượt được gọi là kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng nếu tương ứng đoạn thẳng mà elip suy biến thành có phương là kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng trên NpM.Nếu tại p∈M, elip độ cong suy biến thành một điểm thì p được gọi là điểm rốn. M được gọi là mặt nửa rốn (rốn) nếu mọi điểm trên M là điểm nửa rốn (rốn).
4. Độ cong pháp của M tại pđược xác định
Np = det 1 2(a−c) b −1 2(e−g) −f = 1 2((a−c)f −(e−g)b). Nhận xét 1.2.6.
1. Nếu biểu diễn dưới dạng độ cong trung bình liên kết với một trường vectơ pháp ta có
Hp =He3
p e3−He4
p e4.
2. Tại điểm p, elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng khi và chỉ khi Np = 0.
Kế luận chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu sơ lược về không gian Lorentz-Minkowski, trình bày các khái niệm và tính chất của các độ cong liên kết với một trường vectơ pháp trên một mặt đối chiều hai và khái niệm elip độ cong của mặt trong R41. Chương này nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận án trong các chương sau.
Chương 2
Xây dựng ánh xạ ν-Gauss nhận giá
trị trên HSr, trên LSr và tính chất
hình học của mặt ν-rốn
Một số tính chất của mặt ν-rốn đối chiều hai trong Rn1+1 đã được Izumiya, Pei, Romero Fuster, Kasedou . . . giới thiệu trong các bài báo [19], [20], [21], [23], . . . . Trước hết chúng ta điểm qua các kết quả đạt được trong các bài báo này.
Trong [19], Izumiya và một số tác giả khác khảo sát khái niệm rốn của mặt đối chiều hai chứa trong mộtn-không gian hypebolic. NếuM là một mặt chứa trong mộtn-không gian hypebolic thì trường vectơ vị trí X của M là một trường vectơ pháp đơn vị kiểu thời gian trên mặt. Sử dụng tích ngoài của trường vectơ vị trí với(n−2)trường vectơ cơ sở của phân thớ tiếp xúc, các tác giả xây dựng thêm một trường vectơ pháp đơn vị kiểu không gianetrênM.Lấy tổng và hiệu củaXvàe, các tác giả nhận được hai trường vectơ pháp kiểu ánh sáng trên mặt, L± = X±e. Chú ý rằng các trường vectơ pháp mà các tác giả nhận được là các trường vectơ pháp song song. Bằng cách phân chia các khoảng giá trị của độ cong e-chính và độ cong L±-chính, Mệnh đề 2.1 trong [19] đã đưa đến kết quả phân loại các lớp mặt rốn trênn-không gian hypebolic. Với phương pháp nghiên cứu tương tự trong [19], Kasedou [23] đã đưa ra các kết quả nghiên cứu đối với mặt chứa trong một giả cầu de Sitter.
Như chúng ta đã biết, một mặt liên thông trong R3 là mặt rốn khi và chỉ khi nó chứa trong một mặt phẳng hoặc trong một mặt cầu nào đó ([11, tr. 147]). Kết quả này được
mở rộng cho siêu mặt trongRn1+1 :một siêu mặt trong Rn1+1 là mặt rốn khi và chỉ khi nó chứa trong một siêu phẳng hoặc một siêu mặt bậc hai (giả cầu hypebolic hoặc giả cầu de Sitter) nào đó ([35, tr. 116]). Với mặt đối chiều hai trong Rn1+1, điều kiện để nó là mặt ν-rốn hoàn toàn phụ thuộc vào trường vectơ pháp ν. Tương tự như mặt đối chiều một, Izumiya và một số tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu một mặt đối chiều hai chứa trong một giả cầu thì nó là mặt ν-rốn, trong đó ν là trường vectơ vị trí của mặt ([20, Bổ đề 4.1]). Chiều ngược lại của Bổ đề này không đúng, điều này được chỉ ra trong Ví dụ 2.1.20. NếuM là một mặt ν-rốn thì nói chung hàm độ congν-chính không là hàm hằng (Ví dụ 2.1.19), trong Bổ đề 4.2 [20] các tác giả đã chỉ ra rằng giả thiết trường vectơ phápν song song là một điều kiện đủ để hàm độ cong ν-chính của mặt ν-rốn là một hàm hằng. Với giả thiết ν là trường vectơ pháp song song và thuộc tính của ν không đổi, các tác giả trong [20] đã đưa ra các điều kiện cần và đủ để một mặt đối chiều hai là mặtν-rốn ([20, Định lí 4.3]). Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tôi xin được liệt kê các kết quả này ở đây.
Định lí 2.0.7 ([20]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong Rn1+1, n≥3.
(a) Giả sử M là mặt ν-rốn, vớiν là một trường vectơ pháp song song và kiểu thời gian, khi đó nếukν
i =λ 6= 0, i= 1, . . . , n−1thìM chứa trong mộtn-không gian hypebolic, nếu kν
i =λ= 0, i= 1, . . . , n−1 thì M chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian. (b) Giả sử M là mặt ν-rốn, với ν là một trường vectơ pháp song song và kiểu không
gian, khi đó nếu kν
i = λ 6= 0, i = 1, . . . , n−1 thì M chứa trong một n-không gian de Sitter, nếu kν
i = λ = 0, i = 1, . . . , n−1 thì M chứa trong một siêu phẳng kiểu không gian.
(a) Giả sử M là mặt ν-rốn, vớiν là một trường vectơ pháp song song và kiểu ánh sáng, khi đó nếu kiν = λ 6= 0, i = 1, . . . , n−1 thì M chứa trong một nón ánh sáng, nếu kν
i =λ= 0, i= 1, . . . , n−1 thì M chứa trong một siêu phẳng kiểu ánh sáng. Cũng nghiên cứu mặt ν-rốn, nhưng nội dung của luận án tập trung vào các trường vectơ pháp cụ thể của mặt, có thể xác định tường minh bằng một hệ phương trình đại số. Đó chính là các trường vectơ phápn±r và l±r.
Mối liên hệ giữa mặt ν-rốn và mặt nửa rốn cũng được Izumiya và các tác giả khác nghiên cứu trong [20]. Để thuận lợi cho việc trích dẫn chúng tôi xin nhắc lại kết quả này.
25
Định lí 2.0.8 ([20]). Một mặt M ⊂ R4
1 là mặt nửa rốn khi và chỉ khi nó là mặt ν-rốn, với ν là trường vectơ pháp khác không, xác định địa phương tại những điểm không là điểm rốn của mặt.
Chứng minh của Định lí 2.0.8 chỉ ra rằng nếu M là mặt nửa rốn thì nó ν-rốn với ν là vectơ trực giao với vectơ chỉ phương của đoạn thẳng mà elip độ cong suy biến thành. Ngược lại nếu nóν-rốn thì đoạn thẳng mà elip độ cong suy biến thành có vectơ chỉ phương trực giao vớiν.
Cũng nghiên cứu mặt đối chiều hai trong R4
1 có tính chất ν-rốn, trong [21] Izumiya và các tác giả tập trung vào hai trường vectơ pháp kiểu ánh sáng trên mặt. Nhận thấy nếu M là một mặt kiểu không gian đối chiều hai thì không gian pháp NpM của M tại plà một 2-phẳng kiểu thời gian. Khi đó tồn tại trường vectơ pháp đơn vị kiểu thời gian nT trên M. Sử dụng tích ngoài của nT với trường mục tiêu của phân thớ tiếp xúc, các tác giả ([21]) thu được một trường vectơ pháp đơn vị kiểu không gian nS trên M. Khi đónT ±nS là hai trường vectơ pháp kiểu ánh sáng trên M và phương của các vectơ này không phụ thuộc vào việc chọnnT. Sử dụng Le =n^T +nS thay choν trong[20].Đặc biệt hơn, khi xác định điều kiện cần và đủ đểM chứa trong một siêu phẳng kiểu ánh sáng thì không cần giả thiết Le là trường vectơ pháp song song. Để thuận lợi cho việc sử dụng kết quả này trong các chứng minh của luận án, chúng tôi xin trình bày lại kết quả này. Mệnh đề 2.0.9 ([21]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong Rn1+1,khi đó các phát biểu sau là tương đương.
(1) M là mặt dẹt kiểu ánh sáng;
(2) Ánh xạ Gauss nón ánh sáng là một ánh xạ hằng;
(3) Tồn tại một vectơ kiểu ánh sáng v và một số thực c sao cho M ⊂HP(v, c). Khái niệm dẹt kiểu ánh sáng ở đây có nghĩa M là mặt Le-dẹt.
2.1 Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên HSr và mặt n±r -
rốn
Trước đây khi sử dụng ánh xạν-Gauss, để nghiên cứu tính chất hình học của mặt đối chiều hai, các nhà hình học luôn giả sử tồn tại một trường vectơ phápν kiểu không gian,
kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng trên mặt. Trong mục này, trước hết chúng tôi giới thiệu cách xác định cặp trường vectơ pháp kiểu không gian khả vi, được gọi là ánh xạn±r-Gauss, của một mặt đối chiều hai trongRn1+1.Ánh xạ này có ý nghĩa về mặt thực hành như sau, với một mặt được cho dưới dạng tham số hoá, bằng việc giải một hệ phương trình đại số, chúng ta xác định được một cặp trường vectơ pháp kiểu không gian trên mặt, tính toán các độ cong liên kết với cặp trường vectơ pháp này và đưa ra một số tính chất hình học của mặt. Như một ứng dụng về cặp trường vectơ pháp vừa được xây dựng, nội dung