tính chất hình học của mặt, đặc biệt là tính n±r-dẹt và tính n±r-rốn. Hiển nhiên chúng ta thừa hưởng những khái niệm, cũng như các kết quả của ánh xạ ν-Gauss đối với ánh xạ n±r-Gauss, vì n±r chính là một trường hợp cụ thể củaν.
a) Ánh xạ n±r-Gauss
Vì M là mặt kiểu không gian đối chiều hai nên với mỗi p ∈M, ta có thể đồng nhất không gian phápNpM của M tại pvới 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ và song song với nó. Bằng trực giác ta nhận thấy rằng giao củaNpM với n-không gian hypebolic tâm v = (0,0, . . . ,0,−1) bán kính 1, Hn
+(v,1), là một hypebol. Với mỗi r > 0 cố định, siêu phẳng{xn+1=r}giao với hypebol này tại hai điểm, nó được ký hiệun±r(p).Kết quả này được chứng minh trong Bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.1 ([5],[9]). Cho Π là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ. Khi đó, với mỗi r >0 cho trước, tập hợp
{x= (x1, x2, . . . , xn+1)∈Π∩H+n(v,1)| xn+1 =r} chứa đúng hai vectơ.
Chứng minh. Π là 2-phẳng kiểu thời gian nên nó chứa cặp vectơ chỉ phương đơn vị{a,b} sao cho a kiểu thời gian, b kiểu không gian và ha,bi = 0. Vì Π đi qua gốc tọa độ nên phương trình tham số củaΠ được viết dưới dạng
x=λa+µb. Ta tìmλ, µsao cho x∈Hn
+(v,1)vàxn+1 =r >0. Khi đó dễ chứng minh hệ phương trình
hx−v,x−vi=−1, xn+1 =r ⇔ −λ2+µ2 −2(λan+1+µbn+1) = 0, λan+1+µbn+1 =r (2.1)
27
có hai nghiệm phân biệt. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Từ Bổ để 2.1.1 ta có khái niệm ánh xạ n±r-Gauss.
Định nghĩa 2.1.2 ([5],[9]). Cho M là một mặt đối chiều hai trongRn1+1, ánh xạ nr± :M →HSr :=H+n(v,1)∩ {xn+1 =r}
p7→n±r(p) được gọi là ánh xạ n±r-Gauss của M.
Để sử dụngn±r thay thế cho ν,trong trường hợp trường vectơ pháp tổng quát, ta cần chứng minh n±r là các trường vectơ pháp khả vi.
Định lí 2.1.3 ([5],[9]). Ánh xạ n±r-Gauss là các ánh xạ khả vi.
Chứng minh. Dễ dàng nhận thấy n±r(p)là nghiệm của hệ phương trình sau
hXui,ai = 0, i= 1,2, . . . , n−1; ha−v,a−vi =−1; trong đó a= (a1, a2, . . . , an, r).
Từ giả thiết rank(Xu1,Xu2, . . . ,Xun−1) = n−1, ta có a1, a2, . . . , an−1 được biểu thị tuyến tính theo an, và do đó phương trình cuối cùng là một phương trình bậc hai theo an. Phương trình này có đúng hai nghiệm phân biệt và hiển nhiên chúng là các hàm khả vi.
Với cách xác định như trên ta có
hn+r −v,n+r −vi=−1⇔ hn+r,n+ri+ 2hn+r,vi+hv,vi=−1. Vì v = (0, . . . ,0,−1) và (n+
r)n+1 = r nên hn+
r,n+
ri = 2r. Hoàn toàn tương tự ta có hn−r,n−ri= 2r. Vậy nên n±r là cặp trường vectơ pháp kiểu không gian trênM.
Từ đây về sau, ký hiệu“∗” sẽ thay thế cho dấu “ + ” hoặc dấu“ - ” trong n±r.