Bảng 3.6: Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 1 LPISe/π umax (xmax1−xmax2, ymax) e/π umax (xmax1−xmax2, ymax)
0.05 0.1574 (0.4719 - 0.5, 0.5) 0.1 0.1574 (0.4750 - 0.5, 0,5) 0.15 0.1575 (0.4727 - 0.5, 0.5) 0.2 0.1575 (0.4719 - 0.5, 0.5) 0.25 0.1576 (0.4648 - 0.5, 0.5) 0.3 0.1607 (0.2484 - 0.3250, 0.4844) 0.35 0.1806 (0.2352 - 0.2516, 0.4375) 0.4 0.2223 (0.2063 - 0.2250, 0.3438) 0.45 0.3124 (0.1969 - 0.2180, 0.1719) 0.49 0.3477 (0.1991 - 0.2220, 0) Hình 3.15: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợpe/π = 0.1
Hình 3.16: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π= 0.3
3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS
Với các kết quả đạt được của phương pháp lặp giải bài toán về độ võng của bản trong trường hợp có một LPIS, chúng tôi tiếp tục áp dụng phương pháp lặp để giải bài toán về độ võng của bản có hai LPIS.
3.3.3.1. Mô tả phương pháp
Xét bài toán về bản có hai LPIS dạng tổng quát:
∆2u = f trong Ω, u = g0 trên SB ∪SD ∪SE, ∂u ∂ν = g1 trên Γ\SD, ∆u = g2 trên SD, ∂ ∂ν∆u = g3 trên SA ∪SC ∪SF, (3.3.14) trong đó Ω là hình chữ nhật(0, a)×(0, b), SA, SB, SC, SD, SE vàSF là các phần của biên Γ = ∂Ω đã được mô tả trong Hình 3.10, f và gi, (i = 0,3)
là các hàm cho trong Ω và các phần tương ứng của biên Γ.
Chia miền Ω thành ba miền con Ω1, Ω2 và Ω3 bởi các đường x = e1
và x = e2, và ký hiệu các biên phân cách các miền con này là SI1 và SI2
(Hình 3.17). Xét phương pháp lặp kết hợp trong đó chúng tôi hiệu chỉnh
Hình 3.17: MiềnΩ và các miền con Ω1, Ω2, Ω3
đồng thời v = ∆u trên SB∪SE và ξ = ∂∆u/∂ν, η = ∂u/∂ν trên các biên phân cách SI1, SI2 như sau:
Các bài toán với v2(k) và u(2k) ∆v(2k) = f trong Ω2, v2(k) = ϕ(k) trên SB ∪SE2, ∂v2(k) ∂ν2 = ξ (k) i trên SIi, (i = 1,2), ∆u(2k) = v2(k) trong Ω2, u(2k) = g0 trên SB ∪SE2 ∂u(2k) ∂ν2 = η (k) i trên SIi, (i = 1,2), (3.3.15) Các bài toán với v1(k) và u(1k)
∆v(1k) = f trong Ω1, ∂v1(k) ∂ν1 = g3 trên SA ∪SF, v1(k) = ϕ(k) trên SE1, v1(k) = v2(k) trên SI1, ∆u(1k) = v(1k) trong Ω1, u(1k) = g0 trên SD1, ∂u(1k) ∂ν1 = g1 trên SA ∪SF, u(1k) = u(2k) trên SI1, (3.3.16) Các bài toán với v3(k) và u(3k)
∆v3(k) = f trong Ω3, ∂v3(k) ∂ν3 = g3 trên SC, v(3k) = ϕ(k) trên SE3, v(3k) = g2 trên SD, v(3k) = v2(k) trên SI2, ∆u(3k) = v3(k) trong Ω3, u(3k) = g0 trên SD ∪ SE3, ∂u(3k) ∂ν3 = g1 trên SC, u(3k) = u(2k) trên SI2, (3.3.17)
Bước 3. Tính các xấp xỉ mới ξ1(k+1) = (1−θ)ξ1(k)−θ∂v (k) 1 ∂ν1 trên SI1 η1(k+1) = (1−θ)η1(k)−θ∂u (k) 1 ∂ν1 trên SI1 ξ2(k+1) = (1−θ)ξ2(k)−θ∂v (k) 3 ∂ν3 trên SI2 η2(k+1) = (1−θ)η2(k)−θ∂u (k) 3 ∂ν3 trên SI2 ϕ(k+1) = ϕ(k)−τi ∂u(ik) ∂νi −g1 trên SB ∪SE, (3.3.18)
trong đó θ, τi là các tham số được chọn sau cho các miền con tương ứng
Ωi, ui = u |Ωi, ∂/∂νi, i = (1,2,3) là các đạo hàm theo hướng tương ứng trên các phần của biên.
3.3.3.2. Ví dụ thử nghiệm
Chúng tôi áp dụng phương pháp lặp kết hợp cho bài toán bản với hai LPIS như đã mô tả trong Hình 3.8, và xét bài toán với 1/4 bản được mô tả trong Hình 3.10.
Xét các trường hợp sau đây:
(a) Trường hợp 1: Trong 1/4 bản, miền Ω là miền chữ nhật, một giá đỡ đặt tại phần giữa của cạnh trên của hình chữ nhật, khi đó miền
Ω được chia thành ba miền con bằng nhau bởi các biên phân cách
SI1 = {x = e1, 0 ≤y ≤ b} và SI2 = {x= e2, 0≤ y ≤ b}.
Quá trình lặp (3.3.15)-(3.3.18) giải bài toán với hai LPIS trong miền
Ω = [0, π/2]×[0, π/2], e1 = π/6, e2 = π/3,h = 0.5,q = 0.3, trên lưới
dọc theo giá đỡ và độ dốc theo hướng y tại điểm giữa của giá đỡ được cho trong các Hình 3.18 và Hình 3.19. Độ võng của 1/4 bản được cho trong Hình 3.20 và độ võng với toàn bản trong Hình 3.21.
Hình 3.18: Độ dốc của bản theo hướngx dọc theo LPIS
Hình 3.19: Độ dốc của bản theo hướngyxét tại điểm giữa của LPIS (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 3.20: Mặt võng của 1/4 bản với hai LPIS
Hình 3.21: Mặt võng của toàn bản có hai LPIS
(b) Trường hợp 2: Trong 1/4 bản, miền Ω là hình chữ nhật, một giá đỡ được đặt tại vị trí tùy ý trong khoảng [e1/π, e2/π] ở cạnh trên của hình chữ nhật, khi đó miền Ω được chia thành ba miền con không bằng nhau bởi các biên phân cách SI1 và SI2. Quá trình lặp (3.3.15)- (3.3.18) cũng được thực hiện trên lưới đều 65 ×65 nút với các tham số lặp như Trường hợp 1. Các kết quả tính toán cho thấy số lần lặp
để đạt được độ chính xác 10−4 nằm trong khoảng [14,22]. Các Hình 3.22, Hình 3.23, Hình 3.24 là các kết quả tương ứng biểu diễn: Độ dốc của bản theo hướng x, y và độ võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý. Bảng 3.7 chỉ rõ độ võng lớn nhất của bản có hai giá đỡ phụ thuộc vào độ dài và vị trí đặt giá đỡ tương ứng. Các đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.1, e2/π = 0.2 và e1/π = 0.2
và e2/π = 0.4 được biểu diễn trong các Hình 3.25 và Hình 3.26. Từ
Hình 3.22: Độ dốc của bản theo hướngxvới LPIS đặt tại vị trí tùy ý
Hình 3.23: Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS
Bảng 3.7: Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 2 LPISe1/π e2/π umax (xmax1−xmax2, ymax) e1/π e2/π umax (xmax1−xmax2, ymax)
0.05 0.1 1.0136 (0.4938 - 0.5, 0) 0.1 0.2 0.5222 (0.4906 - 0.5, 0) 0.2 0.3 0.2319 (0.4844 - 0.5, 0.4063) 0.3 0.4 0.1644 (0.4375 - 0.5, 0.5) 0.1 0.3 0.2341 (0.4844 - 0.5, 0.3906) 0.2 0.4 0.1639 (0.4656 - 0.5, 0.5) 0.1 0.4 0.1638 (0.4672 - 0.5, 0.5) Hình 3.25: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.1, e2/π = 0.2 Hình 3.26: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.2, e2/π= 0.4
chuyển từ cạnh gối đơn đến tâm của bản và khi độ dài của giá đỡ tăng. (c) Trường hợp 3: Khi tải trọng phân bố không đều và là một hàm chẵn theo biến y, cụ thể q = cos(y). Tất cả các tham số lặp và các dữ liệu khác giống như Trường hợp 2 và kết quả nhận được độ chính xác 10−4
sau 16 lần lặp.
Qua các kết quả nghiên cứu về độ võng của bản có giá đỡ bên trong với các điều kiện biên ngàm hoặc gối tự do giúp cho chúng ta có thể xác định được độ võng của bản phụ thuộc vào các thông số như: số giá đỡ bên trong, vị trí đặt các giá đỡ, độ dài của giá đỡ, tải trọng tác động lên bản,...Bằng phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp được đề xuất ở trên, chúng ta có thể xác định được độ võng của
bản trong từng trường hợp có thể xảy ra. Điều này rất có ý nghĩa trong thực tế.
Kết luận chương 3.
Chương 3 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới trên cơ sở kết hợp hai ý tưởng hạ cấp phương trình và chia miền, luận án đã đề xuất một phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với các điều kiện biên phức tạp, nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp và kiểm tra sự hội tụ bằng nhiều ví dụ thử nghiệm. Áp dụng giải hai mô hình bài toán trong cơ học, đó là bài toán về vết nứt và bài toán về độ võng của bản có một hoặc hai giá đỡ bên trong. Qua các kết quả nghiên cứu cả về lý thuyết và thử nghiệm, so sánh với một số phương pháp như: Phương pháp SFBIM giải bài toán vết nứt, phương pháp phương trình chuỗi cặp giải bài toán bản với một giá đỡ, các kết quả tính toán đã chứng tỏ hiệu quả của phương pháp là: Các phép lặp hội tụ nhanh, sự tính toán là đơn giản và dễ dàng thực hiện trên máy tính điện tử, khắc phục được những khó khăn của các phương pháp khác khi trên biên xuất hiện nhiều điểm phân cách các dạng điều kiện biên. Phương pháp lặp kết hợp này còn có thể áp dụng cho các bài toán:
• Với một hoặc nhiều giá đỡ bên trong, các giá đỡ này có thể được đặt ở vị trí không đối xứng qua tâm của bản.
• Khi tải trọng được phân bố không đều và là một hàm chẵn theo biến
y.
• Khi có một cạnh được gối ngang với hạn chế quay đàn hồi không đều:
D∆u+ K(s)∂u ∂n = 0.
Phương pháp lặp cũng có thể sử dụng để giải bài toán về thanh trượt phẳng (The planar stick-slip) [26] với nhiều phần thanh trượt, trong khi với phương pháp SFBIM thì khó có thể áp dụng được.
KẾT LUẬN CHUNG
Kết hợp các ý tưởng chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm, luận án đã đề xuất các phương pháp hiệu quả giải một số bài toán đối với phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp phức tạp nảy sinh từ cơ học và vật lý. Các kết quả chính của luận án bao gồm: (1) Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh
giá trị đạo hàm trên biên phân chia giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cách trong môi trường không đồng nhất về các bài toán con, trong các miền ở đó tính chất của môi trường là liên tục. Các kết quả đã được chứng minh bằng lý thuyết và kiểm tra bằng các chương trình thực nghiệm tính toán trên một số miền cả đơn giản và phức tạp.
(2) Đề xuất một phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, chứng minh sự hội tụ của phương pháp, tìm khoảng tham số lặp tối ưu cho một trường hợp riêng và áp dụng giải bài toán Motz. Phương pháp này cho phép giải bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song.
song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả đã được chứng minh chặt chẽ về mặt lý thuyết và được kiểm tra trên nhiều thực nghiệm tính toán. Đặc biệt, hiệu quả của phương pháp đã được khẳng định qua các kết quả giải các bài toán:
- Bài toán vết nứt
- Bài toán về độ uốn của bản mỏng có một hoặc hai giá đỡ bên trong. Đặc biệt, kết quả về bài toán bản với hai giá đỡ bên trong là hoàn toàn mới, và đang trong quá trình in xuất bản trên tạp chí Journal of Engineering Mathematics (SCI).
Các thử nghiệm tính toán đã được thực hiện trên nhiều ví dụ và so sánh với các phương pháp khác (Phương pháp SFBIM, phương pháp phương trình chuỗi cặp,...) chứng tỏ tính hiệu quả của các phương pháp đã được đề xuất.
(4) Xây dựng một thư viện chương trình giải số bài toán biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau dựa trên thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nikolaev. Thư viện chương trình này là công cụ quan trọng để giải số các bài toán phức tạp được nghiên cứu trong luận án. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu biện pháp làm tăng tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp trên cơ sở phương pháp ngoại suy tham số .
• Phát triển các phương pháp lặp đã đề xuất đối với các miền hình học phức tạp và điều kiện biên phức tạp hơn.
trong cơ học và vật lý.
• Nghiên cứu phương pháp lặp dựa trên chia miền đối với các dạng phương trình hyperbolic và parabolic.
Danh mục các công trình đã công bố
(1) Dang Q. A, Trương H. H, Vu V. Q,Domain Decomposition Method for Elliptic Interface Problems, Vietnam Journal of Math. Vol. 39, No. 4, 485-499, 2011.
(2) Dang Q. A, Truong H. H, Vu V. Q, Iterative method for a biharmonic problem with crack, Applied Mathematical Sciences. Vol. 6, No. 62, 3095 - 3108, 2012.
(3) Dang Q. A, Trương H. H, Simple Iterative Method for Solving Prob- lems for Plates with Partial Internal Supports, Journal of Engineering Mathematics (SCI), DOI:10.1007/s10665-013-9652-7 (in press).
(4) Đặng Quang Á, Trương Hà Hải, Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình elliptic, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc của CNTT và TT", NXB KH và KT, 370-382, 2010.
(5) Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Tiếp cận chia miền tới bài toán về mặt phân cách, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc của CNTT và TT", NXB KH và KT, 311-320, 2011. (6) Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng bộ
chương trình RC2009 giải số bài toán biên elliptic với hệ số hằng số. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 7(69), 63-70, 2010.
(7) Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải. Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 1(75), 38-47, 2008.
(8) Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 2 (50), 52-57, 2009.
Tài liệu tham khảo
[1] Aubin J. P.Approximation of elliptic boundary-value problems, Wiley- Interscience, 1971.
[2] Adams, R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York. 1975.
[3] Abramov A. A. and Ulijanova V. I., A method for solving biharmonic- type equations with a singularly occurring small parameter, J. of Comp. Math. and Math. Phys., v. 32, No 4, 481-487, 1992.
[4] Andrea Toselli, Olof Widlund, Domain Decomposition Methods: Algo- rithms and Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005.
[5] Bosko S. Jovanovie and Lubin G. Vulkov, Finite Difference Approx- imation of an Elliptic Interface Problem with Variable Coefficients, Numerical Analysis and Its Applications, Lecture Notes in Computer Science, Vol 3401/2005, 46-55, 2005.
[6] Bialecki B., Karageorghis A., A Legendre Special Galerkin Method for the Biharmonic Dirichlet Problem, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol 22, Issue 5, 1549-1569, 2000.
[7] Cioranescu D. and Patrizia D., An Introduction to Homogenization, Oxford Press, 1999.
[8] Cakoni F., Hsiao G. C. and Wendland W. L., On the Boundary In- tegral Equation Method for a Mixed Boundary Value Problem of the Biharmonic Equation, Complex Variables, Theory and Application, Vol 50, 681-696, 2005.
[9] Ciarlet P. G., The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.
[10] Dang Q. A, Approximate method for solving an elliptic problem with discontinuous coefficients, Journal of Comput. and Applied Math.,51, 193-203, 1994.
[11] Dang Q. A, Parametric extrapolation as a parallel method in math- ematical physics., Tạp chí Tin học và Điều khiển học , No 1, 1-9, 2001.
[12] Dang Q. A, V. V. Quang, Domain decomposition method for solv- ing an elliptic boundary value problem, in book: Method of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 309-319, 2006.
[13] Dang Q. A, Vu V. Q., A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation, In book H.G. Bock et al (eds): Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Springer, 65-76, 2012.
[14] Dang Q. A, Boundary operator method for approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math. Vol. 22, No. 1-2, 114-120, 1994.
[15] Dang Q. A, Mixed boundary-domain operator method in approximate (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});