liptic với hệ số gián đoạn
2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách
Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên của phương trình elliptic, trong đó các hệ số của phương trình hoặc hàm vế phải bị gián đoạn qua một hoặc vài mặt phân cách giữa các vật liệu xuất phát từ tính chất vật lý của bài toán. Trong thực tế, đó chính là các bài toán về dòng chảy dừng nhiều pha, các bài toán về sự phân bố nhiệt qua các vật liệu khác nhau trong môi trường phân lớp không đồng nhất, các bài toán
về điện từ, các bài toán về tối ưu hình dạng,... Các bài toán này thường dẫn tới phương trình elliptic dạng:
Lu := −∇(k(x)∇u(x)) +a(x)u(x) =f(x), x ∈ Ω, (2.1.1) với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trong đó, x = (x1, x2), Ω là miền giới nội trong R2 với biên ∂Ω, a(x) > 0, hệ số k(x) = (k1(x), k2(x))
là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω. Ký hiệu ∂u
∂νL là đạo hàm đối pháp tuyến của u gắn với toán tử L được xác định theo công thức: ∂u ∂νL = k1 ∂u ∂x1 cos(n, x1) +k2 ∂u ∂x2 cos(n, x2),
trong đó n là đơn vị pháp tuyến ngoài của biên.
Vì sự gián đoạn của hệ số k(x) dẫn tới các bước nhảy: [u]Γ là bước nhảy của u qua mặt phân cách Γ, và
∂u ∂νL
Γ
là bước nhảy của đạo hàm đối pháp tuyến của u qua mặt phân cách Γ.
Trong thực tế, tính chất gián đoạn của bài toán phát sinh từ một số hiện tượng vật lý. Ví dụ, [u]Γ biểu diễn sự chênh lệch điện thế qua một màng tế bào hoặc sự chênh lệch áp lực trong một luồng hai pha và
∂u ∂νL Γ là sự chênh lệch điện tích trên bề mặt trong tĩnh điện học. Trong mô hình truyền nhiệt với môi trường phân lớp không đồng nhất, thực tế có thể xảy ra các trường hợp sau đây:
[u]Γ = 0 và ∂u ∂νL Γ
= 0, mô tả tính liên tục của nhiệt độ và thông lượng nhiệt khi dịch chuyển qua mặt phân cách Γ trong quá trình truyền dẫn nhiệt. [u]Γ = 0 và ∂u ∂νL Γ
= α(x), mô tả tính liên tục của nhiệt độ trong khi thông lượng nhiệt bị gián đoạn khi đi qua mặt phân cách Γ, hàmα(x) mô
[u]Γ = β(x) và ∂u ∂νL Γ
= 0, mô tả thông lượng là liên tục trong khi nhiệt độ lại gián đoạn qua mặt phân cách Γ.
Theo [29], do tính gián đoạn của hệ số k(x), nghiệm yếu
u ∈ H01(Ω) := u ∈ H1(Ω) : u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
của bài toán (2.1.1) thỏa mãn hệ thức tích phân: Z Ω (k(x)∇u.∇v+a(x)uv)dx = Z Ω f(x)v(x)dx, ∀v ∈ H01(Ω).
trong đó H01(Ω) là không gian Sobolev. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu u ∈ H01(Ω) của bài toán Dirichllet (2.1.1) đã được đưa ra trong tài liệu [29].