tiến đến các điểm phân chia giữa điều kiện biên Dirichlet và Neumann thì giá trị đạo hàm sẽ tiến đến vô cùng, điều này phù hợp với tính chất của các bài toán cơ học trong thực tế là tại các điểm đó thường xảy ra hiện tượng gãy nứt các vật liệu.
Nhận xét.
Trên cơ sở các kết quả đã đạt được về lý thuyết và nhiều ví dụ thực nghiệm tính toán, chúng tôi có một số nhận xét sau đây:
• Phương pháp lặp song song luôn hội tụ và trong một trường hợp riêng đã chỉ ra được khoảng tham số lặp tối ưu τ. Từ đó ta có thể sử dụng
hệ thống tính toán song song.
• Để phương pháp lặp song song hiệu quả hơn thì việc tăng tốc độ hội tụ của phương pháp này cần được nghiên cứu và một trong các hướng tăng tốc độ hội tụ là áp dụng phương pháp ngoại suy theo tham số [10, 11].
Kết luận chương 2.
Chương 2 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm, dựa vào tính chất gián đoạn của hệ số qua mặt phân cách đưa bài toán biên với hệ số gián đoạn về các bài toán đơn giản hơn trong các miền con có tính chất liên tục. Với bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh đã xây dựng được một sơ đồ lặp song song cho phép giải bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song. Áp dụng phương pháp giải bài toán Motz và khảo sát sự kỳ dị xuất hiện tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Sự hội tụ của các phương pháp lặp đều đã được chứng minh về lý thuyết và trong một số trường hợp riêng đã thiết lập được công thức tính tham số lặp tối ưu hoặc xác định được khoảng tham số lặp tối ưu. Sự hội tụ của phương pháp và độ chính xác của nghiệm xấp xỉ còn được kiểm tra qua nhiều ví dụ thử nghiệm. Các kết quả áp dụng giải một số bài toán mẫu và so sánh với các phương pháp khác cho thấy hiệu quả của các phương pháp lặp được đề xuất trong chương này. Trên cơ sở những kết quả đã đạt được, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với các phương pháp khác cho bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được trình bày trong chương 3.
Chương 3
Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương trình song
điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh
Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình song điều hòa và kiểu song điều hòa là các lớp phương trình mô tả nhiều bài toán trong cơ học. Chương này trình bày kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp các ý tưởng: hạ cấp phương trình, chia miền và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, từ đó đưa ra lời giải của hai bài toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem) và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong (Problems for Plates with Partial Internal Supports). Các kết quả đã được công bố trong các công trình [19] và [20].
3.1. Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa
Lý thuyết về phương trình song điều hòa đã và đang thu hút được sự quan tâm lớn của rất nhiều nhà cơ học và các nhà toán học. Năm 2003 một bài tổng quan của Meleshko [54] trong tạp chí "Applied Mechanics Review"
của Hội kỹ sư cơ học Mỹ đã trình bày một số khía cạnh lịch sử và tổng kết khá nhiều phương pháp mà các nhà cơ học đã sử dụng để giải quyết bài toán song điều hòa hai chiều như phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov-Galerkin với các hàm cơ sở được chọn là các hàm trơn đối với một số miền đặc biệt như hình chữ nhật, hình ellip,... Trong bài này các vấn đề về định tính cũng như các đánh giá về độ phức tạp (khối lượng tính toán) của các phương pháp chưa được đề cập đến.
Các phương pháp gần đúng giải tích cũng được nhiều tác giả sử dụng để giải phương trình song điều hòa như phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản [56], phương pháp phương trình tích phân biên [8, 35, 36, 25]. Đặc biệt, trong [8] Cakoni F. và các đồng nghiệp đã xét đến vấn đề định tính của bài toán biên hỗn hợp với phương trình song điều hòa ∆2u = 0 trongΩ, u = f, ∂u ∂ν = g trên ΓD, M u = p, N u = q trên ΓN, (3.1.1)
trong đó M và N là các toán tử vi phân đã được nhắc đến trong chương 1. Bằng phương pháp phương trình tích phân biên, tác giả đã chứng minh được rằng: Với f ∈ H3/2(ΓD), g ∈ H1/2(ΓD), p ∈ H−1/2(ΓN) và q ∈ H−3/2(ΓN), thì bài toán biên hỗn hợp (3.1.1) tồn tại duy nhất nghiệm yếu trong H2(Ω,∆2), trong đó
H2(Ω,∆2) := nu ∈ H2(Ω) : ∆2u ∈ H˜−2(Ω)o
với H˜−2(Ω) là không gian đối ngẫu của H2(Ω). Đây là một kết quả quan trọng làm cơ sở cho chúng tôi giải số một bài toán vết nứt ở phần sau của
luận án.
Một số phương pháp số hữu hiệu giải phương trình song điều hòa đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Trước hết phải kể đến phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp phần tử biên [37, 38]. Các phương pháp này rời rạc hóa bài toán vi phân và dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn. Một số tác giả khác đã rời rạc hóa bài toán Dirichlet cho phương trình song điều hòa nhờ phương pháp phổ Galerkin sử dụng hàm cơ sở là các đa thức đặc biệt. Chẳng hạn như Bialecki [6] sử dụng đa thức Legendre và đa thức Chebyshev xây dựng được thuật toán có độ phức tạpO(N3) trong đó N là số nút chia trên mỗi cạnh hình vuông.
Trong các phương pháp số giải lặp để tìm nghiệm số trị cho lớp các bài toán biên đối với phương trình song điều hòa và phương trình kiểu song điều hòa, cách tiếp cận đưa các bài toán cấp cao về các bài toán cấp hai với mục đích sử dụng những phần mềm về các phương pháp và thuật toán hữu hiệu có sẵn của các bài toán cấp hai được sử dụng khá hiệu quả. Ý tưởng đưa việc giải bài toán biên Dirichlet cho phương trình song điều hòa về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson được thực hiện đầu tiên bởi Meller, Dorodnisyn và Palsev [50, 58]. Một cách khác đưa bài toán biên Dirichlet cho phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai thuộc về Glowinski và Pironneau [28], trong đó một phương pháp lặp dẫn bài toán song điều hòa về các bài toán cấp hai đã được chứng minh là hội tụ xong không thu được đánh giá về tốc độ hội tụ và vấn đề chọn tham số lặp không được đề cập tới.
Năm 1992, Abramov và Ulijanova [3] đã đề xuất một phương pháp lặp đưa bài toán biên Dirichlet với phương trình song điều hòa về dãy các bài
toán cấp hai và dự đoán là phương pháp sẽ hội tụ nhưng không chứng minh được bằng lý thuyết, mặc dù một số thực nghiệm đã chứng tỏ điều này. Sau đó, một phương pháp chung để nghiên cứu sự hội tụ của các quá trình lặp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai với ý tưởng là: đưa bài toán cấp cao về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert thích hợp và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho phương trình cuối đã được đề xuất và phát triển trong [14, 15], sau đó các tác giả trong [78] đã sử dụng phương pháp chia miền giải bài toán song điều hòa với các điều kiện biên đơn giản là u và ∆u cho trên toàn bộ biên được xét. Năm 2009, các tác giả Đặng Quang Á và Lê Tùng Sơn [17] đã đề xuất một phương pháp lặp (không chia miền) giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp chênh nhau một cấp đạo hàm có dạng (Hình 3.1): ∆2u= f trong Ω, ∂u ∂x = g1, ∂∆u ∂x = g2 trên Γ1, u = g3, ∂u
∂y +b∆u= g4 trên Γ2, ∂u ∂x = g5, ∂∆u ∂x = g6 trên Γ3, u= g7 trên Γ4 ∪Γ5, ∂u
∂y −b∆u= g8 trên Γ4, ∆u= g9 trên Γ5,
(3.1.2)
Để giải các bài toán song điều hòa với điều kiện biên phức tạp hơn (chênh nhau ba cấp đạo hàm, được mô tả trong Hình 3.2) chúng tôi nghiên cứu một phương pháp kết hợp giữa các ý tưởng hạ cấp phương trình, chia miền và lặp hiệu chỉnh đạo hàm bằng cách: Trước hết đưa bài toán song