Xét bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong (line partial internal supports-LPIS) được mô tả trong Hình 3.7 (trường hợp có một giá đỡ) và Hình 3.8 (trường hợp có hai giá đỡ). Giả
Hình 3.7: Bản với một giá đỡ bên trong.
Hình 3.8: Bản với hai giá đỡ bên trong.
sử bản có tải trọng q được phân bố đều, các cạnh trên và dưới của bản là ngàm, còn các cạnh trái và phải là gối tự do. Khi đó mô hình toán học tương ứng của bài toán là: tìm nghiệm u(x, y) của phương trình song điều hòa:
∆2u = f (3.3.1)
với u(x, y) là hàm độ võng, f = q/D, D là độ cứng của bản. Vì giá đỡ bên trong đặt ở giữa bản và hàm độ võng đối xứng theo cả hai chiều nên có thể xét bài toán với các điều kiện biên trên 1/4 bản. Khi đó, ta có bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh xét trong 1/4 bản với trường hợp một giá đỡ và hai giá đỡ được biểu diễn trong các Hình 3.9 và Hình 3.10 tương ứng.
Hình 3.9: Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong1/4 bản
Hình 3.10: Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong1/4bản
nhiều tác giả đã sử dụng phương pháp phần tử biên cho bài toán LPIS với các điều kiện biên khác nhau ([30, 31, 55]). Năm 2002, Wei và các đồng nghiệp [79, 80] đã đề xuất và phát triển phương pháp tích chập rời rạc (DSC) dựa trên lý thuyết phân bố và lý thuyết sóng xấp xỉ hàm và đạo hàm của nó, đã chứng minh được hiệu quả của phương pháp trong việc giải nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp. Nhưng theo hiểu biết của chúng tôi, sự biện luận chặt chẽ cho DSC chưa được thiết lập, mặc dù bài báo [80] đề cập đến việc phân tích dao động của bản với các giá đỡ thẳng bên trong người ta không thấy phần toán học nào ngoại trừ các kết quả tính
toán. Gần đây Sompornjaroensuk và Kiattikomol [68, 69] đã đưa bài toán với một LPIS về các phương trình chuỗi cặp, sau đó bằng một phép biến đổi Hankel đưa các phương trình chuỗi cặp về một phương trình tích phân Fredholm. Với phương pháp này, vế phải của phương trình được biểu diễn bằng một chuỗi gồm các hàm Hankel loại 1 và loại 2, do đó việc xử lý số với các phương trình tích phân là rất phức tạp. Hơn nữa, độ võng và độ dốc của bản dọc theo đường giá đỡ ở giữa bản không biểu diễn trực tiếp qua nghiệm của phương trình tích phân, nhưng các hệ số của chuỗi liên quan tới phương trình tích phân. Do đó, việc tính toán và ước lượng sai số cho các đại lượng vật lý là rất khó khăn, thậm chí là không thể.
Để khắc phục những khó khăn trên, chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp đơn giản đưa bài toán (3.3.1) với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh được mô tả trong các Hình 3.9 và Hình 3.10 về một dãy các bài toán biên cho phương trình Poisson với mục đích sử dụng các phương pháp hiệu quả và các phần mềm có sẵn cho các phương trình cuối. Phương pháp này không chỉ áp dụng cho bài toán một LPIS mà còn sử dụng rất hiệu quả cho bài toán hai LPIS trong khi với trường hợp bản có hai LPIS thì phương pháp phương trình chuỗi cặp [68, 69] sẽ đưa bài toán về các phương trình chuỗi bộ ba rất phức tạp.
Với các bài toán được mô tả trong các Hình 3.9 và Hình 3.10, ta có - Trên cạnh y = 0 cặp điều kiện biên ∂u
∂y = 0, ∂3u
∂y3 = 0 là tương đương với cặp điều kiện ∂u
∂y = 0, ∂∆u
∂y = 0.
- Trên cạnh SC(x = b) cặp các điều kiện biên ∂u ∂x = 0,
∂3u
∂x3 = 0 là tương đương với cặp điều kiện ∂u
∂x = 0, ∂∆u
∂x = 0.
- Trên cạnh S (x = 0) cặp các điều kiện biên u = 0,∂
2u
đương với cặp điều kiện u = 0, ∆u = 0.
Trong phần tiếp theo, để trình bày về phương pháp lặp chúng tôi sẽ sử dụng các điều kiện biên tương đương dưới dạng u,∂u
∂ν,∆u và ∂∆u
∂ν , trong
đóν là pháp tuyến ngoài của biên, nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp, áp dụng cho bài toán một LPIS cho trong Hình 3.9. Sau đó phát triển phương pháp lặp cho bài toán với hai LPIS cho trong Hình 3.10.