Xét sơ đồ lặp dừng (1.3.4) cho phương trình (1.3.1). Ký hiệuzk = uk−u
là sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ. Khi đó phương trình đối với
zk có dạng
z0 = u0 −u.
Giả sử toán tử B là tự liên hợp và tồn tại B−1, ta có định lý
Định lý 1.3.1. [64] Nếu A là toán tử dương, tự liên hợp (A = A∗ > 0)
thì
B > 0.5τ A hoặc (Bx, x) > 0.5τ(Ax, x), ∀x ∈ H, x 6= 0,
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp (1.3.4) trong không gian HA
với tốc độ hội tụ là cấp số nhân và có đánh giá
kzk+1kA ≤ρkzkkA, k = 0,1, ..., ρ < 1,
trong đó ρ = 1− 2τ δ∗δ kBk2
!1/2
là công bội của cấp số nhân,δ = min
k λk(A),
δ∗ = minλk(B0 −0.5τ A), B0 = (B + B∗)/2 là phần đối xứng của toán tử B, λk(A) là các giá trị riêng của A.
Chú ý 1.3.2. Với B cố định thì định lý trên đưa ra qui tắc lựa chọn các giá trị τ để sơ đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = I, điều kiện sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng phụ thuộc vào mối quan hệ
λk(I −0.5τ A) = 1−0.5τ λk(A) > 0 hoặc 1−0.5τ kAk > 0. Như vậy, các phép lặp sẽ hội tụ với mỗi τ thỏa mãn 0< τ < 2
kAk.
1.4. Xây dựng thư viện chương trình giải bài toán biên hỗn hợp yếu
Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ đầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số. Trên cơ sở của phương pháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev [64], trong
phần này chúng tôi sẽ giới thiệu tóm tắt về các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009. Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việc cài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3. Các kết quả đã được công bố trong công trình [75].
Xét bài toán biên của phương trình elliptic:
−k1
∂2u ∂x21 −k2
∂2u
∂x22 + cu = f(x), x ∈ Ω, (1.4.1) trong đó các hệ số ki > 0, i = (1,2), c > 0, f(x) là hàm số cho trước,
Ω là miền chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1 và L2, cùng với các điều kiện biên loại Dirichlet hoặc Neumann hoặc điều kiện biên hỗn hợp.
Xuất phát từ phương pháp lưới, chia miền Ω thành (M ×N) điểm lưới, trong đó N = 2n, n > 0. Ký hiệu h1 = L1/M, h2 = L2/N là các bước lưới, b1, b2, b3, b4 lần lượt là các véc tơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biên trái, phải, dưới và trên của miền chữ nhật (Hình 1.2), ϕ là véc tơ hàm vế phải của phương trình. Ngôn ngữ được lựa chọn để cài đặt các thuật toán là Matlab version 8.0.