Bài toán mặt phân cách có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật nên đã thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học. Để giải bài toán mặt phân cách, một số phương pháp giải gần đúng đã được đề xuất như: Các phương pháp sai phân hữu hạn với phương trình elliptic có dạng
−∇(k(x)∇u(x)) +a(x)u(x) = f(x)
trong miền Ω thuộc không gian một hoặc hai chiều được phát triển trong [39], trong đó Ω được giả thiết là miền đơn giản (cụ thể là miền chữ nhật) được phủ bởi một lưới đều, các hàm k(x), a(x) và f(x) là gián đoạn qua mặt phân cách Γ thuộc Ω.
Phương pháp sử dụng các phép nhúng sai phân hữu hạn/phần tử hữu hạn để tìm nghiệm bằng số cho các bài toán mặt phân cách cũng được nhiều tác giả nghiên cứu và phát triển [5, 23, 39, 40, 82], cụ thể như R. E. Ewing và các đồng nghiệp [23] đã sử dụng một phép nhúng trong không
gian hữu hạn chiều để giải bài toán mặt phân cách elliptic trong đó các hàm cơ sở được chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện bước nhảy qua Γ. Gần đây, X. M. He ([33], 2009) và các đồng nghiệp đề xuất một phương pháp nhúng phần tử hữu hạn song tuyến tính giải phương trình khuyếch tán với hệ số gián đoạn tìm được nghiệm số của bài toán mặt phân cách với tốc độ hội tụ O(h2) (trong chuẩn L2) và O(h) (trong chuẩn H1).
Một phương pháp sai phân đặc biệt được I-Liang Chern và Yu-Chen Shu [41] đề xuất vào năm 2007 theo hướng xây dựng công thức sai phân đặc biệt xung quanh lân cận các điểm kỳ dị hoặc biên phân cách, phương pháp này đưa bài toán về các hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải các hệ phương trình đại số bằng các phương pháp giải đúng hoặc gần đúng.
Với bài toán truyền nhiệt dừng, trong [70] các tác giả Seyidmamedo và Ozbilge đã đề xuất một phương pháp sai phân trên lưới không đều giải bài toán mặt phân cách với các biên phân cách dẫn đến hai mô hình: mô hình bài toán mặt phân cách trong môi trường hai lớp không đồng nhất và mô hình bài toán trong môi trường ba lớp không đồng nhất, các kết quả đạt được là khá hiệu quả với độ chính xác O(h2).
Khác với các phương pháp trên, do sự gián đoạn của các hệ số k(x)
qua mặt phân cách, dựa theo ý tưởng của phương pháp chia miền, coi mặt phân cách Γ như một biên nhân tạo chia miềnΩ thành hai miền con Ω1 và
Ω2, đưa bài toán trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán con trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục và các bài toán con này là "dễ giải " bằng các thuật toán hữu hiệu và phần mềm có sẵn. Từ đó, luận án đề xuất một phương pháp lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách, nghiên cứu sự
hội tụ của phương pháp và thiết lập tham số lặp tối ưu trong một trường hợp riêng. Các kết quả về lý thuyết sẽ được kiểm chứng qua nhiều ví dụ thử nghiệm và so sánh với những kết quả đạt được bằng phương pháp sai phân trên lưới không đều của các tác giả Seyidmamedo và Ozbilge [70]. Kết quả này đã được công bố trong công trình [18].