Nhận xét. Qua các kết quả nghiên cứu cả về lý thuyết và thực nghiệm, phương pháp được đề xuất để giải bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn đã chứng tỏ được một số ưu điểm: Dựa vào tính chất gián đoạn của các hệ số qua mặt phân cách, sử dụng một phương pháp lặp dựa trên chia miền, đưa bài toán phức tạp về một dãy các bài toán
có sẵn để giải các bài toán con này. Sự hội tụ nhanh của phương pháp cũng đã được chứng minh và kiểm tra qua các ví dụ thử nghiệm. Hơn nữa, phương pháp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán bao gồm các hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con và mỗi bài toán bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần mềm hiệu quả có sẵn.
Một cách tự nhiên, chúng tôi thấy rằng với tư tưởng của phương pháp chia miền ta đã chia một bài toán thành nhiều bài toán con "dễ giải" (theo nghĩa bài toán có sẵn các phương pháp giải hiệu quả). Vì vậy, nếu chúng ta xây dựng được một sơ đồ lặp song song cho phép giải các bài toán con một cách độc lập thì có thể tăng tốc độ giải bài toán bằng cách xử lý đồng thời các bài toán con trên các hệ máy tính đa nhiệm với nhiều bộ vi xử lý. Đây chính là nội dung được trình bày trong phần tiếp theo của chương 2.
2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biêncủa phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh
Trong phần này, chúng tôi xét bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong hình chữ nhật, ở đó xảy ra sự chuyển đổi loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann tại một hoặc nhiều điểm trên một cạnh. Để giải quyết bài toán này, người ta thường đưa nó về các phương trình chuỗi cặp hoặc các phương trình tích phân cặp và sau đó các phương trình cuối được đưa về phương trình tích phân Fredhom, rồi áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp: Mandal B.N ([52], 1999), Mandrik P.A ([53], 2001). Trong [48] Zi-Cai Li và các đồng nghiệp đề xuất các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt tìm nghiệm của bài toán biên hỗn hợp mạnh dưới dạng khai triển của các hàm cơ sở, phương pháp này có thuận lợi là
giảm được số chiều của bài toán nhưng lại gặp phải những khó khăn như: để nhận được độ chính xác cần thiết có thể phải cần đến một số lượng lớn các hàm cơ sở (thường là các nghiệm riêng). Khi đó, với các bài toán biên hỗn hợp, hay các bài toán trên miền vô hạn,... khó có thể tìm được một khai triển của các hàm cơ sở đúng trên toàn miền. Chính sự thay đổi các điều kiện biên trên một phần biên trơn tự nhiên đưa đến sự phân chia miền tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Gần đây, trong các công trình ([12], [13]), các tác giả đề xuất phương pháp lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên biên phân cách, đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về một dãy các bài toán biên hỗn hợp yếu trên các miền con và các bài toán biên hỗn hợp yếu trên mỗi miền con được giải một cách tuần tự. Với mục đích tăng tốc độ giải bài toán bằng cách xử lý đồng thời các bài toán con trên các hệ máy tính đa nhiệm với nhiều bộ vi xử lý, trong công trình [77] chúng tôi đã đề xuất một sơ đồ lặp dạng song song. Tuy nhiên, tính song song của thuật toán chưa được giải quyết một cách triệt để. Trong phần này, chúng tôi trình bày một phương pháp lặp song song mới, cho phép giải các bài toán con một cách độc lập, đồng thời trên các bộ vi xử lý. Áp dụng giải bài toán Motz, một bài toán mẫu thường được sử dụng để thử nghiệm các phương pháp số giải các bài toán biên hỗn hợp [51], khảo sát dáng điệu đạo hàm tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh và các thử nghiệm tính toán cũng được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp. Kết quả đã được công bố trong công trình [21].
2.2.1. Mô tả phương pháp
ΓD = ∂Ω\ΓN, xét bài toán biên hỗn hợp mạnh có dạng: Lu = f(x), x∈ Ω, u = g(x), x ∈ ΓD, ∂u ∂ν = ϕ(x), x ∈ ΓN. (2.2.1)
trong đó L là toán tử elliptic
Lu ≡ − ∂ ∂x1 k1(x) ∂u ∂x1 − ∂ ∂x2 k2(x) ∂u ∂x2 , (2.2.2)
0 < ci 6 ki(x), (i = 1,2) là các hàm số liên tục và ∂u/∂ν là đạo hàm pháp tuyến của u. Giả thiết rằng bài toán (2.2.1) có nghiệm duy nhất và đủ trơn.
Để giải bài toán (2.2.1), ta chia miền Ω thành hai miền con Ω1 (bên trái) vàΩ2 (bên phải) bởi đường thẳng x1 = a và biên phân cách các miền con là Γ (Hình 2.8).
Ký hiệu biên của miền Ωi bởi ∂Ωi, (i = 1,2) và ΓD1 = ∂Ω1 ∩ ΓD,