TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƯỜNG PHÂN GIÁC, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC.

D kẻ E AB (E  AB) và F AC (F  AC) Chứng minh rằng:

TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƯỜNG PHÂN GIÁC, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC.

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC.

1/ Túm tắt lý thuyết:

+ Đường trung tuyến là đường xuất phỏt từ đỉnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện của tam giỏc.

G N P A B M C M C B A

AM là trung tuyến của  ABC  MB = MC

+ Một tam giỏc cú 3 đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến của tam giỏc đồng quy tại một điểm. Điểm đú cỏch đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đú.

GA GB GC 2 AMBN CP  3

+ Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tõm của tam giỏc.

+ Trong một tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

+ Đường phõn giỏc của tam giỏc là đường thẳng xuất phỏt từ một đỉnh và chia gúc cú đỉnh đú ra hai phần bằng nhau.

CB B A K J I O F E D C B A D C B A

+ Một tam giỏc cú ba đường phõn giỏc. Ba đường phõn giỏc của tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm đú cỏch đều ba cạnh của tam giỏc. (giao điểm đú là tõm của đường trũn tiếp xỳc với ba cạnh của tam giỏc)

+ Trong một tam giỏc cõn, đường phõn giỏc kẻ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy.

+ Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuụng gúc tại trung điểm của đoạn thẳng đú.

G NP P

A

B M C

2/ Bài tập:

Bài tập 1: Cho hỡnh vẽ. Hóy điền vào chỗ trống (…) cho được kết quả đỳng: a) GM = …… GA; GN = …… GB; GP = …… GC. b) AM = …… GM; BN = …… GN; CP = …… GP. a) 1 2; 1 2; 1 2 b) 3 ; 3 ; 3

Bài tập 2: Cho  ABC cú BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kộo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kộo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:

a) EF = BC.

+ Đường trung trực của tam giỏc là đường trung trực của cạnh tam giỏc. Một tam giỏc cú ba đường trung trực. Ba đường trung trực của tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm đú cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc

BA A m O m A B B C A

+ Cỏc điểm nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng AB cỏch đều hai đầu đoạn thẳng AB.

+ Tập hợp cỏc điểm cỏch đều hai đầu đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ Đọan vuụng gúc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là

đường cao của tam giỏc.

+ Một tam giỏc cú ba đường cao. Ba đường cao của tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tõm của tam giỏc.

CB D B D AH H F E D C B A H E D F C B A

Bài tập 3: Kộo dài trung tuyến AM của  ABC một đoạn MD cú độ dài bằng 1/3 độ dài AM. Gọi G là trọng tõm của  ABC. So sỏnh cỏc cạnh của  BGD với cỏc trung tuyến của  ABC.

Bài tập 4: Cho  ABC vuụng tại A. Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tõm của  ABC. Biết GM = 1,5cm. AB = 5cm. Tớnh AC và chu vi của tam giỏc ABC.

Bài tập 5: Cho  ABC cõn tại A. Cỏc đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là phõn giỏc của gúc BAC.

Bài tập 6: Cho 0 90 ˆy

O

x và tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, cú B thuộc Ox, C thuộc Oy, A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là BC. Chứng minh rằng OA là tia phõn giỏc của gúc xOy.

Bài tập 7: Cỏc phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABC cắt nhau và tạo thành  EFG. a) Tớnh cỏc gúc của  EFG theo cỏc gúc của  ABC.

b) Chứng minh rằng cỏc phõn giỏc trong của  ABC đi qua cỏc điẻnh E, F, G.

Bài tập 8: Cho gúc nhọn xOy. Trờn tia Ox lấy hai điểm A và B. Tỡm trờn tia Oy điểm C sao cho CA = CB.

Bài tập 9; Cho tam giỏc ABC cú AC > AB, phõn giỏc trong của gúc A cắt BC tại D. trờn AC lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh rằng AD vuụng gúc với BE.

BÀI TẬP TỰ LUYấN

Bài 1 : Cho  ABC cõn tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. a) Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng BH, AH?

b) Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?

c) Chứng minh:ABˆGACˆG ?

Bài 2: Cho  ABC cõn tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh :  ABM =  ACM

b) Từ M vẽ MH AB và MK AC. Chứng minh BH = CK c) Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh  IBM cõn.

Bài 3 : Cho  ABC vuụng tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trờn tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh :

a) AB // HK b)  AKI cõn c) BAˆKAIˆK

Bài 4 : Cho  ABC cõn tại A (Aˆ< 900), vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a) Chứng minh :  ABD =  ACE b) Chứng minh  AED cõn

c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED

a) Trờn tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh ECˆBDKˆC

Bài 5 : Cho  ABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm D, trờn tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cựng vuụng gúc với đường thẳng BC. Chứng minh :

a) HB = CK b) AHˆB AKˆC

c) HK // DE

d)  AHE =  AKD