- Trường hợp gúc – cạnh – gúc (gcg)
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BAC ỦA TAM GIÁC (G.C.G).
1. Lớ thuyết:
Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau
2. Bài tập.
Bài 1: Cho ABC cú gúc A = 600. Cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc B; C cắt nhau ở I và AC; AB theo thứ tự ở D; E . chứng minh rằng ID=IE
Giải:
Kẻ phõn giỏc IK của gúc BIC ta được I1I2, theo đầu bài ABC:
0 60 A B + C =1200 Cú B1B2 (gt), C1C2 (gt) 0 0 1 1 120 60 2 C B 0 120 BIC 1 2 I I = 600 và I3 = 600 , I4 = 600 I3=I1I2=I4
khi đú ta cú BEI = BKI (g-c-g) IE = IK (cạnh tương ứng ) Chứng minh tương tự IDC= IKC IK = ID IE = ID = IK
Bài 2: Cho xOy khỏc gúc bẹt. Lấy A, B Ox sao cho OA< OB. Lấy C, D Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Cmr:
a) AD = BC b) EAB=ECD
c) OE là tia phõn giỏc của xOy. HD: GT xOy<1800 ABOx, CDOy OA<OB; OC =OA, OD = OB E = ADBC KL a) AD = BC b) EAB=ECD
c) OE là tia phõn giỏc xOy
a) CM: AD = BC Xột AOD và COB cú: O: gúc chung (gt); OA = OC (gt) ; OD = OB (gt) =>AOD=COB (c-g-c) => AD = CB (2 cạnh tương ứng) b) CM: EAB=ECD
Ta cú: OAD+DAB=1800
(2 gúc kề bự)
OCB+BCD=1800 (2 gúc kề bự)
Mà: OAD=OCB (AOD=COB) => DAB=BCD *Xột EAB và ECD cú:
AB = CD (AB = OB- OA; CD =OD - OC mà OA = OC; OB = OD) ADB=DCB (cmt)
OBC=ODA (AOD=COB) => CED=AEB (g-c-g) => CED=AEB (g-c-g)
c) CM: DE là tia phõn giỏc của xOy
Xột OCE và OAE cú:
OE: cạnh chung ; OC = OA (gt) ; EC = EA ( Do CED =AEB) => CED =AEB (c-c-c)
=> COE=AOE (2 gúc tương ứng
Một số bài tập minh họa.
Bài 1: Cho ABC cú gúc A bằng 600. Tia phõn giỏc của gúc B cắt AC ở M, tia phõn giỏc của gúc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC.
Bài 2: Cho ABC vuụng tại A, M là trung điểm của AC. Trờn tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng:
a) KC vuụng gúc với AC. b) AK song song với BC.
Bài 3: Cho ABC, kẻ BD vuụng gúc với AC, kẻ CE vuụng gúc với AB. Trờn tia đối của tia BD, lấy điểm H sao cho BH = AC. Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AH = AK.
Bài 4: Cho ABC cú AB = AC. Trờn cạnh AB và AC lấy cỏc điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) KBD = KCE.
Bài 5: Cho ABC cú gúc A = 600. Tia phõn giỏc của gúc B cắt AC ở D, tia phõn giỏc của gúc C cắt AB ở E. Cỏc tia phõn giỏc đú cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE.
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cỏc tia Ax và By vuụng gúc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đường vuụng gúc với OC tại O cắt tia By tại D. Chứng minh rằng: CD = AC + BD.
Bài 7: Trờn cạnh BC của ABC, lấy cỏc điểm E và F sao cho BE =CF. Qua E và F vẽ cỏc đường thẳng song song với BA, chỳng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng: EG + FH = AB.
Bài 8: Cho ABC vuụng tại A, AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C nằm cựng phớa đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK vuụng gúc với d. Chứng minh rằng:
a) AH = CK b) HK = BH + CK
Bài 9: Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Trờn tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB, trờn tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng:
a) MAE = MCB. b) AE = AF.
c) Ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Bài 10: Cho đoạn thẳng AB, D là trung điểm của AB. Kẻ Dx vuụng gúc với AB. Trờn Dx lấy hai điểm M và N (M nằm giữa D và N). Chứng minh rằng:
a) NAD = NBD. b) MNA = MNB.
c) ND là phõn giỏc của gúc ANB. d) Gúc AMB lớn hơn gúc ANB.
Bài 11: Cho ABC = EFG. Viết cỏc cạnh bằng nhau và cỏc gúc bằng nhau. Hóy viết đẳng thức dưới một vài dạng khỏc.
Giả sử A55 ;F0 750; AB = 4cm; BC = 5cm; EG = 7cm. Tớnh cỏc gúc cũn lại và chu vi của hai tam giỏc.
Bài 12: Cho biết ABC = MNP = RST.
a) Nếu ABC vuụng tại A thỡ cỏc tam giỏc cũn lại cú vuụng khụng? Vỡ sao? b) Cho biết thờm A90 ;S0 600. Tớnh cỏc gúc cũn lại của ba tam giỏc.
c) Biết AB = 7cm; NP = 5cm; RT = 6cm. Tớnh cỏc cạnh cũn lại của ba tam giỏc và tớnh tổng chu vi của ba tam giỏc.
Bài 13: Cho biết AM là đường trung trực của BC (M BC; A BC). Chứng tỏ rằng
O 2 1 2 1 2 1 K H B C A