D kẻ E AB (E AB) và F AC (F AC) Chứng minh rằng:
c) AD là đường trung trực của BC.
TRONG TAM GIÁC, BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
1/ Túm tắt lý thuyết:
2/ Bài tập:
Bài 1 : Trong một tam giỏc vuụng thỡ cạnh nào là cạnh lớn nhất? Vỡ sao? Cũng cõu hỏi như vậy đối với tam giỏc cú một gúc tự?
HD
Trong tam giỏc vuụng cạnh huyền là cạnh lớn nhất vỡ cạnh huyền đối diện với gúc vuụng .
Trong tam giỏc tự cạnh đối diện với gúc tự là cạnh lớn nhất vỡ gúc tự là gúc lớn nhất trong tam giỏc
Bài 2 : Cho tam giỏc ABC cú AB =5cm; BC = 7cm; AC = 10cm. So sỏnh cỏc gúc của tam giỏc?
HD
Trong tam giỏc ABC cú AB =5cm; BC = 7cm; AC = 10cm Nờn AB < BC < AC => Cˆ AˆBˆ (ĐL1)
Bài 3: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, biết B = 450 . a) So sỏnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC.
b) Tam giỏc ABC cũn gọi là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?
HD
a) Tam giỏc ABC cõn tại A nờn Cˆ Bˆ= 450 =>Aˆ 900 Vậy Aˆ 900 > CˆBˆ= 450
=> BC > AB = AC
b) Tam giỏc ABC vuụng cõn tại A vỡ Aˆ 900
+ Trong một tam giỏc: Gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn. Cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Hai gúc bằng nhau thỡ hai cạnh đối diện bằng nhau và ngược lại hai cạnh bằng nhau thỡ hai gúc đối diện bằng nhau. + Trong cỏc đường xiờn, đường vuụng gúc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú, đường vuụng gúc là đường ngắn nhất. Đường xiờn nào cú hỡnh chiếu lớn hơn thỡ lớn hơn, đường xiờn nào lớn hơn thỡ hỡnh chiếu sẽ lớn hơn, nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng nhau và ngược lại hai hỡnh chiếu bằng nhau thỡ hai đường xiờn bằng nhau.
+ Trong một tam giỏc, bất kỡ cạnh nào cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh cũn lại.
ABC luụn cú: AB – AC < BC < AB + AC AB – BC < AC < AB + BC AC – BC < AB < AC + BC
Bài 4: Sử dụng quan hệ giữa gúc và cạnh đối diện để chứng minh định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau.
HD
Tam giỏc ABC cõn tại A nờn AB = AC => Cˆ Bˆ (ĐL1)
Bài 5: Sử dụng quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu để chứng minh bài toỏn sau: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, kẻ AH BC (H BC).
Chứng minh rằng HB = HC.
HD
Từ điểm A nằm ngũai đường thẳng BC Cú AB = AC ( gt)
Mà AB cú hỡnh chiếu là HB Và AC cú hỡnh chiếu là HC Nờn HB = HC
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Trờn cạnh AC lấy điểm M . Chứng minh rằng BM BC.
HD
Chứng minh
Nếu M C => MB BC nờn MB = BC (1)
Nếu M A => MB BA nờn AB < BC (ĐL1) (2) Nếu M nằm giữa hai điểm A và C
Ta cú AM là hỡnh chiếu của BM AC là hỡnh chiếu của BC
Vỡ M nằm giữa hai điểm A và C nờn AM < AC => BM < BC ( ĐL2) (3)
Từ (1),(2)&(3) => BM BC ( ĐPCM)
Bài 7: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Trờn cạnh AC lấy điểm N , trờn cạnh AB lấy điểm M (N A,C; M A,B). Chứng minh rằng:
a) BC > MC. b) MN < BC.
HD
a) Ta cú AM là hỡnh chiếu của CM AB là hỡnh chiếu của BC
Vỡ M nằm giữa hai điểm A và B nờn AM < AB => CM < BC ( ĐL2) (1)
b) Ta cú AN là hỡnh chiếu của NM AC là hỡnh chiếu của MC
Vỡ N nằm giữa hai điểm A và C nờn AN < AC => NM < MC ( ĐL2) (2)
Bài 8: Cho điểm D nằm trờn cạnh BC của ABC. Chứng minh rằng: AB AC BC AB AC BC AD 2 2 HD
a) Trong tam giỏc ABD ta cú AB – BD < AD (1) Trong tam giỏc ACD ta cú AC – CD < AD (2) Từ (1) và (2) => AB – BD + AC – CD < 2AD AB + AC – (BD + DC) < 2AD AB + AC – BC < 2AD => AB AC BC AD 2 (*)
b) Trong tam giỏc ABD ta cú AB + BD > AD (1) Trong tam giỏc ACD ta cú AC + CD > AD (2) Từ (1) và (2) => AB + BD + AC + CD > 2AD AB + AC + (BD + DC) > 2AD AB + AC + BC > 2AD => AB AC BC AD 2 (**) Từ (*) và (**) => AB AC BC AD AB AC BC 2 2
Bài 9: Cho tam giỏc ABC, M là một điểm tựy ý nằm bờn trong tam giỏc ABC. Chứng minh rằng MB + MC < AB + AC.
HD
Chứng minh
Trong tam giỏc IMC cú MC < MI + IC Cộng MB vào 2 vế
Ta được MC + MB < MI + IC + MB MC + MB < MI + MB + IC MC + MB < IB + IC (1)
Trong tam giỏc IBA cú IB < IA + AB Cộng IC vào 2 vế
Ta được IB + IC < IA + AB + IC IB + IC < IA + IC + AB IB + IC < AC + AB (2) Từ (1) & (2) => MB + MC < AB + AC.
Bài 10: Cho tam giỏc ABC cú AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trờn tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoanh thẳng AE. Nối C với E.
a) So sỏnh AB và CE.
b) Chứng minh: AC AB AM AC AB
2 2
HD
Chứng minh
a) So sỏnh AB và CE.
Xột tam giỏc ABM và tam giỏc ECM
Cú AM = ME (gt)
BAˆM EMˆC (đđ) MB = MC (gt)
Vậy tam giỏc ABM = tam giỏc ECM (cgc) => AB = CE
b) Chứng minh: AC AB AM AC AB
2 2
xột tam giỏc AEC cú AE > AC - EC
Mà AE = 2AM (M là trung điểm của AE) Và EC = AB (cmt) Vậy 2AM > AC - AB => AM > 2 ACAB (1) xột tam gớc AEC cú AE < AC + EC
Mà AE = 2AM (M là trung điểm của AE) Và EC = AB (cmt) Vậy 2AM < AC + AB => AM < 2 ACAB (2) Từ (1) và (2) => AC AB AM AC AB 2 2
