Các hệ số của các bộ lọc là số thực. Các bộ lọc là cùng ñộ dài và không ñối xứng. Bộ lọc thông thấp H và bộ lọc thông cao G là liên hệ với nhau:
( )z =z− H(− z−1)
G N (2.69)
Hai bộ lọc là xen kẽ ñộng với nhau. Sự xen kẽ này tự ñộng ñưa ñến tính trực giao double-shift giữa các bộ lọc thông thấp và thông cao, nghĩa là tích vô hướng của các bộ lọc cho dịch 2 là bằng không, nghĩa là ∑H( ) (k G k−2)=0 với kЄZ. Các bộ lọc thoả mãn biểu thức (2.67) ñược gọi là các bộ lọc gương liên hợp CMF (Conjugate Mirror Filters). Sự khôi phục hoàn hảo là có thể với sự xen kẽ ñộng (alternating flip).
Mặc dù với sự khôi phục hoàn hảo, các bộ lọc tổng hợp là giống hệt với các bộ lọc phân tích. Các bộ lọc trực giao cung cấp một số lượng lớn các momen triệt tiêu. ðặc ñiểm này ứng dụng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh. Các bộ lọc trực giao có cấu trúc cân ñối, ñều ñặn dẫn ñến việc thực hiện và mở rộng cấu trúc dễ dàng.
2.5.4.2 ðặc ñiểm của băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet filter banks) banks)
Trong trường hợp các bộ lọc Wavelet song trực giao, các bộ lọc thông thấp và thông cao không có cùng ñộ dài. Bộ lọc thông thấp luôn ñối xứng trong khi bộ lọc thông cao là bất ñối xứng. Các hệ số của bộ lọc có thể là số thực hay số nguyên.
ðể sự khôi phục hoàn hảo, băng lọc song trực giao có toàn bộ ñộ dài lẻ hay tất cả là ñộ dài chẵn. Hai bộ lọc phân tích có thể cùng ñối xứng với ñộ dài lẻ hay một ñối xứng với ñộ dài lẻ và một bất ñối xứng với ñộ dài chẵn. Cũng như vậy, hai tập hợp của các bộ lọc phân tích và tổng hợp cũng phải ñối ngẫu (dual). Các bộ lọc song trực giao pha tuyến tính là các bộ lọc phổ biến cho những ứng dụng nén dữ liệu.
2.5 Phân tích gói Wavelet
Phân tích gói Wavelet (WPA) là sự khái quát hoá phân tích Wavelet cho những thủ tục phân tích phức tạp hơn. Trong thủ tục phân tích Wavelet trực giao, bước chung là phân chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần. Sau khi phân chia chúng ta thu ñược vectơ của các hệ số xấp xỉ và vectơ của các hệ số chi tiết, cả hai ở tỷ lệ thô. Thông tin bị mất giữa hai bước xấp xỉ kế tiếp ñược giữ lại trong các hệ số chi tiết.
Bước tiếp theo bao gồm phân chia vectơ hệ số xấp xỉ mới, các chi tiết kế tiếp không ñược phân tích lại. Theo trạng thái gói Wavelet tương ứng, mọi vectơ hệ số chi tiết cũng ñược phân tích thành hai phần sử dụng cùng phép tính gần ñúng như trong sự phân chia vectơ xấp xỉ. ðiều ñó dẫn ñến phân tích phức tạp, cây nhị phân ñầy ñủ ñược ñưa ra như trong hình 2.12. Sự so sánh giữa biểu diến trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ của Wavelet và gói Wavelet ñược mô tả trong hình 2.13.
Các hàm cơ bản ωnvới n≥0 là chỉ số tần số danh ñịnh:
( )x h n( x k) Z k k − = ∑ ∈ 2 2 n ω ω (2.70) ( ) ∑ ( ) ∈ + = − Z k n k n 1 x 2 g ω 2x k ω n=0,1,2... (2.71)
Hình 2.12 Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử
Hàm ban ñầu w0 =φchỉ là hàm tỷ lệ, cũng như vậy w1 =ψ. Hàm phân tích ñược gọi là nguyên tử gói Wavelet (wavelet packet atom) ñược cho trong trường hợp trực giao: ( )x =2−j wn(2−jx−k) w /2 n k, j, (2.72)
Hình 2.13 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và gói Wavelet
2.5.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms)
Ví dụ của nguyên tử gói Wavelet ñược sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 ñược thể hiện trong hình 2.14.
Trong biểu diễn Wavelet, k biễu diễn tham số thời gian và j là tham số tỷ lệ. Còn tham số n, như trong hình 2.14 wn( )x “dao ñộng” xấp xỉ n lần. Do vậy với các giá trị cố ñịnh của j và k, wj,k,n phân tích thay ñổi của tín hiệu quanh vị trí 2j−k , ở tỷ lệ 2 và -j ở tần số thay ñổi cho các giá trị có thể chấp nhận ñược khác nhau của tham số n.
Cũng như vậy, chúng ta có thể tính toán sự phân tích hàm liên tục u(t) sử dụng thuật toán DWT nhanh.
Ví dụ với x(k): ( )=∫ ( ) ( − ) ∈ R Z k dt k t t u k x φ , ( ) ( ) ( ) ∫ − − − = R s x k dx GHGx k w t u 2 3/2 2 3 (2.73)
Ở ñây tần số danh ñịnh là 5 và chỉ số tỷ lệ 3. Các tích trong của biểu thức (2.73) sẽ ñược tìm thấy trong ô ñược tô ñậm GHGx, với số 5 từ bên trái ở mức 3 từ ñỉnh khi ñánh chỉ số bắt ñầu từ 0.
2.5.2 Phân tích ña phân giải và gói Wavelet
Kết luận ñưa ra trong phần 2.5.2 có thể áp dụng cho các gói Wavelet. Người ta nhận ra rằng cơ sở gói Wavelet bao gồm cơ sở Wavelet.
ðặt Wj,n( )x ={Wj,k,n( )x ,k∈Z} là tập hợp của các gói Wavelet.
( ) ( ) ( )x (x k) k Z Z k k x x ∈ − = ∈ − = , W , W 1,1 0,0 ψ φ (2.74)
Nếu V0 biểu thị không gian mở rộng bởi W chứa tín hiệu 0,0 ñược phân tích thì
{Wd,1,d ≥1} là một cơ sở trực giao của V0. Với mọi số nguyên dương D,
{ }
{WD,0, Wd,1,d ≥1} là một cơ sở trực giao của V0.
Sử dụng phương pháp ñệ quy tương tự,{Wn+1,2n,Wj+1,2n+1} là một cơ sở trực giao của không gian ñược mở rộng bởỉ W . ðiểu ñó dẫn ñến sự loại bỏ các nhánh nhị phân j,n liên kết của cây gói Wavelet tương ứng với một cơ sở trực giao của không gian ban ñầu. Với tín hiệu có năng lượng xác ñịnh, bất kỳ cơ sở gói Wavelet nào cũng sẽ ñưa ra sự khôi phục chính xác và ñưa ra một cách mã hoá tín hiệu riêng sử dụng các thông tin phân bố trong các băng con tỷ lệ tần số.
2.5.3 Lựa chọn phân tích tối ưu
Dựa trên tổ chức của thư viện gói Wavelet, và cùng với các phân tích ñưa ra từ Wavelet trực giao cơ sở, ñưa ñến kết quả là một tín hiệu với ñộ dài N = 2L có thể khai triển theo 2N cách khác nhau, số lượng các nhánh con của nhánh nhị phân ñầy ñủ của ñộ sâu L. ðể xác ñịnh xem phân tích nào tốt nhất chúng ta phải tìm sự phân tích tối ưu ñối với một tiêu chuẩn thích hợp. Tiêu chuẩn cơ sở entropy phù hợp các ñiều kiện này và mô tả các tính chất thông tin liên quan cho một biểu diễn chính xác của tín hiệu ñã cho.
Với bất kỳ node trung gian nào trong một cây nhị phân ñầy ñủ ở ñộ sâu D tương ứng với cây phân tích gói Wavelet, chúng ta sử dụng bước cơ bản ñể tím nhánh tối ưu thoả mãn tiêu chuẩn entropy ñã cho E, với Eopt biểu thị giá trị entropy tối ưu.
• ∑ ( ) ∈ ≤ C k opt k E node
E( ) , với C là tập hợp các nút con của node
N(node≠root) (Eopt node)=E(node) (2.75)
• ∑ ( ) ∈ ≥ C k opt k E node
E( ) , với C là tập hợp các nút con của node
Chia và lập ∑ ( ) ∈ ≥ C k opt opt node E k E ( ) Chúng ta sử dụng Entropy Shannon: ( ) ∑ − = i i i f f f E( ) 2log 2 (2.76) 2.7 Các họ Wavelet
Hiện nay có một số hàm cơ bản có thể ñược sử dụng như là Wavelet mẹ cho các biến ñổi Wavelet. Vì Wavelet mẹ sinh ra tất cả các hàm Wavelet ñược sử dụng trong biến ñổi nhờ phép tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xác ñịnh các ñặc ñiểm của biến ñổi Wavelet kết quả. Do vậy, ñặc ñiểm của từng ứng dụng riêng cần ñược quan tâm và Wavelet mẹ thích hợp sẽ ñược chọn ñể có ñược biến ñổi Wavelet hiệu quả.
Hình 2.15 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2
Hình 2.15 mô tả một số hàm Wavelet ñược sử dụng phổ biến. Wavelet Haar là một trong những Wavelet ñầu tiên và ñơn giản nhất. Wavelet Daubechies là Wavelet phổ biến nhất, wavelet Haar là cơ sở cho xử lý tín hiệu Wavelet và ñược sử dụng trong nhiều ứng dụng. Các Wavelet Haar, Daubechies, Symlets và Coiflets là những Wavelet trực giao. Những Wavelet theo dạng Wavelet Meyer có khả năng khôi phục hoàn hảo. Các Wavelet Meyer, Morlet và Mexican Hat có dạng ñối xứng.
Lựa chọn Wavelet
Như ñã ñề cập ở trên, có nhiều dạng wavelet khác nhau, mỗi dạng Wavelet này ñều có những ưu ñiểm cũng như hạn chế riêng. Do vậy vấn ñề chọn sử dụng Wavelet nào trong biến ñổi là phụ thuộc vào ứng dụng. Lựa chọn sử dụng Wavelet nào dựa trên hình dạng của chúng và khả năng phân tích tính hiệu trong từng ứng dụng cụ thể.
Tổng kết tính chất của một số Wavelet
Property Haar dbN symN coifN
Compactly supported orthgonal √ √ √ √
Symmetry √ Asymmetry √ Near symmetry √ √ Orthogonal analysis √ √ √ √ Biorthogonal analysis √ √ √ √ Exact reconstruction √ √ √ √ FIR filter √ √ √ √ Continous transform √ √ √ √ Discrete transform √ √ √ √ Fast algorithm √ √ √ √ Bảng 2.1: Tổng kết tính chất của một số Wavelet
Lựa chọn biến ñổi
Dạng phân tích nào nên ñược sử dụng liên tục hay rời rạc? Câu trả lời là mỗi dạng phân tích ñều có những ưu ñiểm riêng.
• Phân tích liên tục dễ thể hiện hơn, sự dư thừa của phân tích dẫn tới sự tăng cường các ñặc ñiểm tiêu biểu và làm toàn bộ thông tin rõ ràng hơn. Phân tích liên tục ñặc biệt phù hợp với trường hợp thông tin không rõ ràng (subtle information).
• Phân tích rời rạc bảo ñảm tiết kiệm không gian mã và ñủ ñể cho tổng hợp.
2.8 Ứng dụng của Wavelet
2.8.1 Giới thiệu các ứng dụng của Wavelet
Ngày nay biến ñổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Biến ñổi Wavelet ñược áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến ñổi Wavelet ngày càng ñược mở rộng. Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI. Biến ñổi Wavelet ñược sử dụng ñể nén ảnh dấu vân tay ñể lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI. Ban ñầu FBI chọn biến ñổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến ñổi này không ñược thực hiện tốt ở tỷ số nén cao. Biến ñổi này ñưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo các ñường vân tay sau khôi phục. ðiều này hoàn toàn không xảy ra với biến ñổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu.
Với biến ñổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên ñộ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên ñộ rất nhỏ. Việc nén dữ liệu có thể thu ñược nhờ loại bỏ các biên ñộ thấp. Biến ñổi Wavelet cho phép tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt. Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh là một trong những lĩnh vực nghiên cứu ñược quan tâm nhất. Gần ñây, biến ñổi Wavelet ñã ñược chọn cho chuẩn nén JPEG 2000.
Hình 2.16: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến ñổi Wavelet
Hình 2.16 thể hiện các bước chung trong ứng dụng xử lý tín hiệu. Quá trình xử lý tín hiệu có thể bao gồm nén, mã hoá, khử nhiễu, … Tín hiệu ñã xử lý ñược lưu giữ hoặc truyền phát ñi. Với hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý bao gồm lượng tử hoá mã hoá entropy cho tới nén ảnh. Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số wavelet dưới ngưỡng ñược chọn bị loại bỏ. Các hệ số bị bỏ qua ñược thay thế bằng không trong suốt quá trình khôi phục ở ñầu kia. ðể khôi phục tín hiệu, mã hoá entropy ñược giải mã, sau ñó ñược lượng tử hoá và cuối cùng ñược biến ñổi Wavelet ngược.
Wavelet cũng ñược ứng dụng trong nén tiếng nói, nó làm giảm thời gian truyền dẫn trong các ứng dụng di ñộng. Wavelet ñược sử dụng ñể khử nhiễu, phát hiện sườn, trích các ñặc ñiểm, nhận dạng tiếng nói, loại bỏ tiếng vọng,… Wavelet cũng cho thấy nhiều ứng dụng triển vọng trong nén tín hiệu audio và video thời gian thực. Wavelet cũng ñược ứng dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh phân chia theo tần số trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).
Chương 3:
Khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp
Wavelet trên DSP
3.1 Nhiễu
Nhiễu ñược ñịnh nghĩa như tín hiệu không mong muốn làm ảnh hưởng ñến liên lạc hay ño ñạc của các tính hiệu khác. Bản thân nhiễu cũng là một tín hiệu mang thông tin ñối với nguồn nhiễu. Ví dụ như tiếng ồn từ ñộng cơ ô tô mang thông tin ñối với trạng thái hoạt ñộng của ñộng cơ. Nguồn gây nhiễu có rất nhiều và thay ñổi từ sóng tần số âm thanh chuyển ñộng, các nguồn chuyển ñộng như phương tiện ñi lại, quạt máy tính, gió, mưa… cho ñến nhiễu sóng ñiện từ có thể làm ảnh hưởng ñến quá trình truyền và nhận âm thanh, hình ảnh và dữ liệu qua phổ tần số vô tuyến. Méo tín hiệu là một thuật ngữ thường ñược sử dụng ñể miêu tả thay ñổi không mong muốn mang tính hệ thống làm ảnh hưởng ñến tín hiệu bởi vì sự không lý tưởng của kênh truyền, sự phản xạ và mất mát thông tin khi truyền.
Nhiễu và méo là các thống số giới hạn chính trong hệ thống thông tin và ño lường. Do ñó mô hình và loại bỏ các tác ñộng của nhiễu và méo là cơ sở của các lý thuyết va thực tế của quá trình xử lý tín hiệu và thông tin. Giảm nhiễu và khử méo
là các vấn ñề quan trọng trong các ứng dụng như thông tin di ñộng, nhận dạng giọng nói, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu y sinh, radar và trong bất kì ứng dụng nào nơi mà tín hiệu không thể tách rời khỏi nhiễu và méo. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về các ñặc tính và mô hình cảu một số loại nhiễu khác nhau.
3.1.1 Khái niệm
Nhiễu có thể ñược ñịnh nghĩa như bất kì một tín hiệu không mong muốn nào mà gây ảnh hưởng ñến thông tin, ño lường hay xử lý tín hiệu mang thông tin. Nhiễu có mặt trong các mức thay ñổi trong hầu hết các môi trường. Ví dụ như hệ thống ñiện thoại di ñộng, có thể có một số loại nhiễu làm giảm chất lượng thông tin như nhiễu âm thanh, nhiễu nhiệt, nhiễu tần số sóng ñiện từ, nhiễu xuyên kênh, méo kênh truyền, sự phản xạ tín hiệu và nhiễu xử lý tín hiệu. Nhiễu có thể gây ra lỗi truyền dẫn và có thể gây gián ñoạn quá trình liên lạc; vì vậy xử lý nhiễu là một phần quan trọng của hệ thống xử lý tín hiệu và thông tin hiện ñại. Sự thành công của các phương pháp xử lý nhiễu phụ thuộc vào khả năng mô tả và mô hình hóa quá trình nhiễu của nó và sử dụng các ñặc tính nhiễu một cách có ích ñể phân biệt tín hiệu từ nhiễu. Phụ thuộc vào nguồn của nó, nhiễu có thể ñược phân loại thành các kiểu như sau:
a. Nhiễu âm thanh: bắt nguồn từ sự chuyển ñộng, rung ñộng hay va chạm và là loại nhiễu quen thuộc nhất hiệu hữu hàng ngày quanh ta. Nhiễu âm thanh ñược sinh ra bởi các nguồn như: xe ô tô chạy, ñiều hòa nhiệt ñộ, quạt, mọi người nói chuyện, gió, mưa…
b. Nhiễu ñiện từ: hiện hữu ở mọi tần số và ñặc biệt ở tần số vô tuyến. Tất cả các thiết bị ñiện như ñài, bộ phát, thu TV ñều sinh ra nhiễu ñiện từ.
c. Nhiễu tĩnh ñiện: ñược sinh ra bởi sự tích ñiện thế mà không có dòng ñiện chạy qua. Các miếng cao su khi ñược chà xát là một ví dụ ñiển hình của hiện tượng tĩnh ñiện.
d. Méo kênh truyền, sự phản xạ và phading: do các ñặc tính không lý tưởng của các kênh truyền thông tin. Các kênh vô tuyến, như tần số cao tần sử dụng trong ñiện
thoại di ñộng, ñặc biệt nhạy cảm với các ñặc tính truyền của môi trường kênh truyền.
e. Nhiễu xử lý: là nhiễu mà kết quả từ quá trình xử lý sô/tương tự của tín hiệu.