. hB B' BB'
B. các dạng bài tập.
Dạng 1: Chứng minh hai gĩc bằng nhau. Cách chứng minh:
- Chứng minh hai gĩc cùng bằng gĩc thứ ba
- Chứng minh hai gĩc bằng với hai gĩc bằng nhau khác
- Hai gĩc bằng tổng hoặc hiệu của hai gĩc theo thứ tự đơi một bằng nhau - Hai gĩc cùng phụ (hoặc cùng bù) với gĩc thứ ba
- Hai gĩc cùng nhọn hoặc cùng tù cĩ các cạnh đơi một song song hoặc vuơng gĩc - Hai gĩc ĩ le trong, so le ngồi hoặc đồng vị
- Hai gĩc ở vị trí đối đỉnh
- Hai gĩc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba - Hai cạnh của mmột tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuơng) - Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng hai cung bằng nhau trong một đờng trịn hoặc hai đờng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuơng gĩc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai gĩc bằng nhau:
+ ở vị trí so le trong + ở vị trí so le ngồi + ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng trịn - Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuơng gĩc Cách chứng minh:
- Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuơng gĩc khác. - Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây. - Chúng là phân giác của hai gĩc kề bù nhau.
Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy. Cách chứng minh:
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngồi của hai gĩc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:
- Trờng hợp gĩc - cạnh - gĩc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - gĩc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuơng:
- Cĩ cạnh huyền và một gĩc nhọn bằng nhau
- Cĩ cạnh huyền bằng nhau và một cạnh gĩc vuơng bằng nhau - Cạnh gĩc vuơng đơi một bằng nhau
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:
- Cĩ một gĩc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Cĩ ba cạnh tơng ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vuơng:
- Cĩ một gĩc nhọn bằng nhau
- Cĩ hai cạnh gĩc vuơng tơng ứng tỷ lệ
Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh:
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: ∆MAC ∼∆MDB hoặc ∆MAD ∼∆MCB
- Nếu 5 điểm M, A, B, C, D cúng nằm trên một đờng thẳng thì phải chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức là ta chứng minh: ∆MAE ∼∆MFB ∆MCE ∼∆MFD → MA.MB = MC.MD
* Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh ∆MTA ∼∆MBT
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 1800
- Tứ giác cĩ gĩc ngồi tại một đỉnh bằng gĩc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác cĩ 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác cĩ hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một gĩc α.
Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng trịn (O;R) Cách chứng minh:
- Chứng minh OT ⊥ MT tại T ∈ (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính - Dùng gĩc nội tiếp.
Dạng 10: Các bài tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn gĩc
Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuơng. - Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và gĩc trong tam giác vuơng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích...
Vấn đề: định nghĩa và sự xỏc định đường trũn.
1. Tập hợp cỏc điểm cỏch O cho trước một khoảng R khụng đổi gọi là đường trũn tõm O bỏn kớnh R. Kớ hiệu: (O; R).
2. Để xỏc định được đường trũn ta cú cỏc cỏch sau: 2.1. Biết tõm O và bỏn kớnh R.
3. Cho (O; R) và điểm M. Khi đú cú cỏc khả năng sau: 3.1. Nếu MO > R thỡ M nằm ngồi đường trũn (O; R).
3.2. Nếu MO=R thỡ M nằm trờn đường trũn (O;R). Kớ hiệu: M ∈ (O; R). 3.3. Nếu MO < R thỡ M nằm trong đường trũn (O; R).
4. Dõy cung là đoạn thẳng nối hai điểm trờn đường trũn. Đường kớnh là dõy cung qua tõm. Vậy đường kớnh là dõy cung lớn nhất trong một đường trũn.
5. Muốn c/m cỏc điểm cựng nằm trờn (O; R) ta chỉ ra khoảng cỏch từ mỗi điểm đến O đều là R. Cỏc cỏch khỏc sau này xột sau.
6. Đường trũn qua hai điểm A và B cú tõm nằm trờn trung trực của AB. 7. đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng cú tõm là trung điểm cạnh huyền.
Vấn đề: tớnh chất đối xứng xủa đường trũn.
1. Đường trũn là hỡnh cú một tõm đối xứng là tõm đường trũn đú. 2. Đường trũn cú vụ số trục đối xứng là mỗi đường kớnh của nú.
3. Đường kớnh vuụng gúc dõy cung thỡ đi qua trung điểm và ngược lại. 4. Hai dõy cung bằng nhau khi và chỉ khi chỳng cỏch đều tõm.
5. Dõy cung nào gần tõm hơn thỡ dài hơn và ngược lại.
6. Vận dụng cỏc tớnh chất trờn ta cú thể tớnh độ dài cỏc đoạn và c/m cỏc tớnh chất cũng như so sỏnh cỏc đoạn thẳng dựa vào đường trũn.
Vấn đề: vị trớ tương đối giữa đường thẳng và đường trũn.
1. Khoảng cỏch từ 1 điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuụng gúc từ điểm đú đến đường thẳng.
2. Cho đường trũn (O; R) và đường thẳng d khi đú cú cỏc trường hợp sau:
2.1. Nếu d(O;d) = OH > R thỡ đường thẳng và đường trũn khụng cú điểm chung. Ta núi đường thẳng và đường trũn ngồi nhau hoặc khụng cắt nhau.
2.2. Nếu d(O; d) = OH = R khi đú đường thẳng và đường trũn cú một điểm chung duy nhất chớnh là H. Khi đú ta núi đườngthẳng tiếp xỳc đường trũn (đường thẳng này gọi là tiếp tuyến của (O)).
2.3. Nếu d(O; d) = OH < R thỡ đường thẳng d cắt đường trũn (O; R) tại hai điểm phõn biệt A và B. Đường thẳng này gọi là cỏt tuyến với (O; R).
3. Vậy muốn xỏc định vị trớ của đường thẳng d và đường trũn ta cần tỡm bỏn kớnh R và khoảng cỏch d(O; d) rồi so sỏnh và kết luận
Vấn đề: tiếp tuyến của đường trũn.
1. Cho (O; R) tiếp tuyến của (O; R) là một đường thẳng tiếp xỳc với (O; R).
2. Vậy d là tiếp tuyến (O; R) <=> d ⊥ OA tại A. A gọi là tiếp điểm.
.O
D A
4. Ta cú tớnh chất: từ một điểm M nằm ngồi (O; R) ta kẽ được hai tiếp tuyến đến (O; R) tại hai tiếp điểm A và B khi đú MA=MB.
5. Từ một điểm A trờn (O; R) ta kẽ được một tiếp tuyến duy nhất, đú là đường thẳng qua A và vuụng gúc bỏn kớnh OA.
6. Từ hai điểm A và B trờn (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thỡ MA= MB. A
O. M B B
7. Ngồi ra ta cũn cú : MO là phõn giỏc của gúc AOB và OM là phõn giỏc gúc AOB. 8. Phương phỏp vẽ tiếp tuyến với (O) từ một điểm nằm ngồi (O).
8.1. Ta nối OM.
8.2. Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) tại hai điểm A và B. 8.3. Nối MA và MB được hai tiếp tuyến. .Vấn đề: vị trớ tương đối của hai đường trũn.
1. Cho hai đường trũn (O; R) và (O’; R’) khi đú dựa vào khoảng cỏch OO’ và R; R’ ta cú cỏc khả năng sau:
2. Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ thỡ hai đường trũn này tiếp xỳc trong.
3. Nếu OO’ = R +R’ thỡ hai đường trũn cú một điểm chung và điểm này là giao điểm của OO’ và hai đường trũn. Ta gọi hai đường trũn tiếp xỳc ngồi.
4. Nếu OO’ < R+R’ thỡ hai đường trũn này cắt nhau tại hai điểm. Hai điểm này nhận OO’ làm trung trực.
5. Nếu OO’ > R+R’ thỡ hai đường trũn khụng cắt nhau và ngồi nhau.
6. OO’ < R-R’ thỡ hai đường trũn đựng nhau. (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa trong (O; R).
7. Hai đường trũn đồng tõm là hai đường trũn cú cựng tõm.
8. Nếu cú hai đường trũn thỡ tiếp tuyến chung của chỳng và đường nối tõm OO’ đồng quy.
- Nếu đồng quy bờn trong đoạn OO’ thỡ gọi là tiếp tuyến chung trong. - Nếu đồng quy bờn ngồi đoạn OO’ thỡ gọi là tiếp tuyến chung ngồi. - Điếm đồng quy này chia OO’ theo tỉ lệ bằng tỉ lệ hai bỏn kớnh.
Vấn đề: đường trũn ngoại tiếp- nội tiếp và bàng tiếp tam giỏc… đa giỏc.
1. Cho tam giỏc ABC, đường trũn đi qua 3 đỉnh A; B và C của tam giỏc gọi là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
2. Tõm của đường trũn ngoại tiếp là điểm cỏch đều 3 đỉnh nờn là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giỏc.
3. Đường trũn tiếp xỳc với cả ba cạnh của tam giỏc ABC gọi là đường trũn nội tiếp tam giỏc.
4. Tõm của đường trũn nội tiếp là điểm cỏch đều 3 cạnh nờn nú là giao điểm của ba đường phõn giỏc.
5. Đường trũn tiếp xỳc với 1 cạnh BC và phần kộo dài của hai cạnh kia (AB và AC) gọi là đường trũn bàng tiếp trong gúc A.
6. Vậy đường trũn bàng tiếẩmtong gúc A cú tõm là giao điểm phõn giỏc trong gúc A và hai phõn giỏc ngồi tại B và C.
7. Một tam giỏc cú ba đường trũn bàng tiếp.
8. Tam giỏc nội tiếp đường trũn thỡ đường trũn này gọi là ngoại tiếp tam giỏc. 9. Tam giỏc ngoại tiếp đường trũn thỡ đường trũn ngoại tiếp tam giỏc.
Vấn đề: Gúc ở tõm- số đo độ của cung—so sỏnh cung.
1. Gúc ở tõm là gúc cú đỉnh là tõm của đường trũn.
2. Gúc này cắt đường trũn tại A và B khi đú cung AB là cung bị chắn của gúc ở tõm AOB.
3. Ta cú tớnh chất: số đo cung bị chắn bằng số đo của gúc ở tõm chắn cung đú. 4. So sỏnh cung: cung nào lớn hơn thỡ cú số đo cũng lớn hơn và ngược lại. 5. Cung nào cú gúc ở tõm lớn hơn thỡ lớn hơn và ngược lại.
Vấn đề: Liờn hệ giữa cung và dõy.
1. Cho (O) cung AB là đường cong chạy từ A đến B theo đường trũn. Cũn dõy (dõy cung) là đoạn thẳng AB.
2. Ta chỳ ý với hai điểm A và B trờn (O) luụn tạo ra hai cung lớn và cung nhỏ. Sau đõy ta chỉ xột cung nhỏ.
3. Hai dõy cung bằng nhau <=> hai cung bằng nhau. 4. Dõy lớn hơn <=> cung lớn hơn.
Vấn đề: gúc nội tiếp .
1. Gúc nội tiếp của (O) là gúc cú đỉnh nằm trờn đường trũn (O) và hai cạnh cắt (O) tại hai điểm phõn biệt.
2. Để cú gúc nội tiếp thường ta cú ba điểm nằm trờn đương trũn.
3. Số đo gúc nội tiếp chắn cung bằng ẵ số đo gúc ở tõm cựng chắn cung đú. Chỳ ý là cựng một cung.
4. Gúc nội tiếp cú số đo bằng ẵ số đo cung bị chắn.
5. Cựng một cung cú thể cú nhiều gúc nội tiếp thỡ cỏc gúc này đều bằng nhau. 6. Đặc biệt gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn thỡ là gúc vuụng 900.
7. Cỏc cung bằng nhau thỡ gúc nội tiếp chắn cung đú cũng bằng nhau và ngược lại. 8. Cung nào lớn hơn thỡ gúc nội tiếp chắn cung đú cũng lớn hơn.
Vấn đề: gúc tạo bỡi tiếp tuyến và dõy cung.
1. Gúc tạo bới một tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dõy cung AX gọi là gúc tạo bỡi tiếp tuyến và dõy cung.
2. Số đo của gúc này bằng ẵ số đo gúc ở tõm chắn cung AX. 3. Số đo của gúc này bằng ẵ số đo cung AX.
4. Số đo gúc này cũng bằng số đo một gúc nội tiếp bất kỳ chắn cung đú.
Vấn đề: gúc cú đỉnh bờn trong – bờn ngồi đường trũn.
1. Cho (O) và M trong (O) khi đú cú hai đường thẳng cựng qua M tạo thành gúc. Gúc này là gúc bờn trong đường trũn. Hai đường thẳng này cắt đường trũn tạo thành cỏc cung.
2. Khi đú số đo gúc ở trong đường trũn bằng tổng số đo hai cung này chia hai. A
B M C D ã ã ằ ằ 2 sd AB sdCD AMB CMD= = + .
3. Cho (O) và M ngồi (O) khi đú gúc mà cỏc cạnh của nú luụn tiếp xỳc hoặc cắt (O) gọi là gúc ngồi đường trũn (O) tại M. Khi đú gúc này cũng cắt đường trũn tao thành hai cung; một cung lớn và một cung nhỏ.
4. Số đo gúc ngồi bằng sđ cung lớn – cung nhỏ sau đú chia hai.
C A C A A M M n m M B D B B ã ằ ằ 2 sdCD sd AB AMB= − ã ằ ằ 2 sdCB sd AB AMB= − ã ẳ ẳ 2 sd AmB sd AnB AMB= − \Vấn đề: cung chứa gúc.
1. Cho đoạn thẳng AB cố định khi đú quỹ tớch cỏc điểm M sao cho: ãAMB=α cho trước là một cung. Cung này được gọi là cung chứa gúc α độ nhận AB làm dõy.
2. Cho một dõy AB và α độ khi đú ta cú hai cung chứa gúc α độ nhận AB làm dõy và hai cung này đối xứng qua AB.
3. Cỏch vẽ cung chứa gúc α độ nhận AB làm dõy như sau:
3.1. Cú AB: tại A vẽ tia At tạo AB gúc α.
3.2. Tại A vẽ tia Ax ⊥ At cắt trung trực AB tại O. 3.3. Vẽ cung trũn (O; OA) ở phớa chứa O.
3.4. Khi đú cung này chớnh là cung chứa gúc α nhận AB làm dõy.
3.5. Ta lấy O’ đối xứng O qua AB và vẽ cung trũn (O’; O’A) ta được cung thứ hai.
Vấn đề: tứ giỏc nội tiếp.
1. Tứ giỏc nội tiếp là tứ giỏc cú 4 đỉnh nằm trờn một đường trũn.
2. Tứ giỏc ABCD nội tiếp đồng nghĩa 4 điểm A; B; C và D cựng nằm trờn 1 đường trũn.
3. Tứ giỏc nội tiếp đường trũn thỡ đường trũn gọi là ngoại tiếp tứ giỏc đú.
4. Tõm của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tứ giỏc đú.
5. Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp (O; R) khi đú OA= OB= OC = OD =R.
6. Chỳ ý: O cú thể nằm ngồi tứ giỏc; cũng cú thể nằm trong hoặc nằm trờn một cạnh chứ khụng phải lỳc nào cũng nằm trong.
7. Cho ABCD là tứ giỏc nội tiếp thỡ A+C= B+D = 1800.
8. Ngược lại tứ giỏc ABCD cú A+C =1800 hoặc B+D=1800 thỡ ABCD nội tiếp. 9. Để c/m tứ giỏc ABCD nội tiếp ta cú cỏc cỏch sau:
a. Chỉ ra A+C =1800. b. Chỉ ra B+D=1800.
c. Chỉ ra bốn điểm A; B;C và D cựng thuộc một đường trũn nào đú cụ thể. d. Chỉ ra cỏc gúc nội tiếp tại A và B cựng nhỡn CD 1 gúc bằng nhau.
Vấn đề: đa giỏc đều ngoại tiếp--nội tiếp đường trũn.
1. Đa giỏc đều là đa giỏc cú tất cả cỏc cạnh và gúc đều bằng nhau.
2. Đa giỏc nội tiếp (O) là đa giỏc cú cỏc đỉnh cựng nằm trờn (O). Khi đú đường trũn gọi là ngoại tiếp đa giỏc.
3. Đa giỏc ngoại tiếp (O) là đa giỏc cú cỏc cạnh cựng tiếp xỳc (O). Khi đú (O) gọi là ngoại tiếp đa giỏc.
4. Mỗi đa giỏc đều bất kỳ cú một đường trũn ngoại tiếp và 1 đường trũn nụị tiếp và hai đường này đồng tõm. Tõm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phõn giỏc của hai gúc.
5. Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp đa giỏc là khoảng cỏch từ tõm đến đỉnh: OA=.. 6. Bỏn kớnh đường trũn nội tiếp đa giỏc là khoảng cỏch từ tõm O đến 1 cạnh. Khoảng