- Hoạt động ngôn ngữ là hoạt động thường xuyên xảy ra trong cả quá trình dạy học; bởi vậy, có nhiều cơ hội để thực hiện biện pháp này Tuy nhiên,
2.2.2.1. Mục đích của biện pháp: Biện pháp chủ yếu góp phần rèn luyện cho HS các yếu tố 2, 3 trong các yếu tố về khả năng mô hình hóa TH BTTT.
HS các yếu tố 2, 3 trong các yếu tố về khả năng mô hình hóa TH BTTT.
2.2.2.2. Chỉ dẫn thực hiện biện pháp
a) Rèn luyện cho HS kỹ năng phát hiện ra quy luật trong tình huống.
Để có thể xây dựng mô hình TH cho BTTT, vấn đề quan trọng nhất là phải nắm được quy luật của tình huống. BTTT đưa vào trong dạy học có thể chia làm hai loại: loại thứ nhất quy luật tình huống HS đã được trải nghiệm; loại thứ hai, HS chưa nắm bắt được quy luật của nó.
Đối với các tình huống thuộc dạng thứ nhất, quy luật của nó thường được mô tả bởi các mối quan hệ giữa các đại lượng. Theo các tác giả trong [8] thì: "...Mối quan hệ giữa các đại lượng có thể chia thành hai loại: những mối liên hệ cụ thể ở trong bài toán đó và những mối liên hệ tổng quát có tính chất quy luật" và: "Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức HS phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, HS cần dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng". Bởi vậy, khi cung cấp những tình huống dạng này, GV cần lưu ý: một mặt yêu cầu HS tóm tắt
lại tình huống, khắc sâu các mối quan hệ đã cho; mặt khác tạo điều kiện cho họ liên tưởng tới những gì liên quan đến. GV phải yêu cầu họ phát biểu lại các quy luật diễn ra trong tình huống (tốt nhất là những quy luật đó được mô tả bởi công thức, biểu thức); đồng thời cho biết ngữ nghĩa và cú pháp của các biểu thức, các công thức đưa ra. Sự tác động sư phạm của GV vào các hoạt động nói trên của HS ở mức độ nào là tùy thuộc vào trình độ của người học.
GV cần hướng dẫn cho HS thu thập dữ liệu nhằm vào việc xây dựng mô hình thực nghiệm để dự đoán quy luật. Trong quá trình dùng thực nghiệm để dự đoán quy luật cần lưu ý với HS dự đoán phải kết hợp nhuần nhuyễn với suy luận; chỉ có vậy, việc dự đoán quy luật mới mang đến hiệu quả. Điều mẫu chốt ở đây là phải hình thành được ở HS, quy trình làm việc khi đối mặt với những tình huống mà chưa nắm được quy luật; quy trình đó là:
Thu thập dữ liệu xây dựng mô hình thực nghiệm dự đoán quy luật xây dựng mô hình TH. Với ý đồ như vậy, có thể thấy được rằng mô hình TH xây dựng được, rất hiếm chính xác tuyệt đối phản ánh BTTT. Dạy học các kiến thức phần này là cơ hội để hoạt động hóa người học. Cần chú ý rằng, các kỹ năng dùng thực nghiệm để dự đoán quy luật không chỉ được hình thành trong dạy học các vấn đề có liên quan đến TT, mà cả trong dạy học các yếu tố TH thuần túy. Bởi vậy, trong dạy học Toán ở trường phổ thông cần tận dụng các cơ hội có thể để rèn luyện các kỹ năng này. Đối với các BTTT dạng này, cần rèn luyện cho HS các kỹ năng sau để dự đoán quy luật:
+ Kỹ năng thu thập dữ liệu:
- Biết lấy dữ liệu từ những địa chỉ đáng tin cậy; - Biết lấy mẫu thực nghiệm đúng nguyên tắc.
Ví dụ 2.9. Khi học phần thống kê trong Đại số lớp 10. HS nắm được thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lý số liệu. Qua ví dụ sau: Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán trong một quý theo các cỡ khác nhau và có được bảng tần số sau:
Cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42
Số áo bán được (n) 13 45 110 184 126 40 5
Điều mà cửa hàng quan tâm đến là cỡ áo nào được khách hàng mua nhiều nhất. Bảng thống kê cho thấy cỡ áo bán được nhiều nhất là 39 (có tần số lớn nhất). Giá trị 39 chính là mốt của mẫu số liệu trên. Như vậy ý nghĩa của khái niệm mốt và tần số đã rõ. Nó giúp cho người kinh doanh điều chỉnh mặt hàng kinh doanh của mình để bán được nhiều hàng và thu về lãi nhiều nhất.
+ Kỹ năng xây dựng mô hình thực nghiệm: - Xử lý số liệu: sắp xếp mẫu; thu gọn mẫu;
- Biểu diễn số liệu trên mặt phẳng tọa độ: đồ thị, biểu đồ,...
Ví dụ 2.10. Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu FORD có thể trở 10 người và 1,5 tấn hàng còn một chiếc xe hiệu FORD có thể trở 20 người và 0,6 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng còn xe FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Gọi x, y (x, y∈N) lần lượt là số xe loại MITSUBISHI và loại FORD cần thuê. Từ bài toán ta được hệ bất phương trình:
0 10 0 9 20 10 140 0,6 1,5 9 x y x y x y ≤ ≤ ≤ ≤ + ≥ + ≥ 0 10 0 9 (*) 2 14 2 5 30 x y x y x y ≤ ≤ ≤ ≤ ⇔ + ≥ + ≥
Tổng chi phí T(x, y)= 4x+3y (triệu đồng).
Thực chất của bài toán này là tìm x, y nguyên, không âm thỏa mãn hệ (*), sao cho T(x,y) nhỏ nhất. Ta biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ (Hình 2.1).
Bước tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình, miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC (kể cả biên) sao cho T(x,y) =4x+3y đạt cực tiểu. Xét
họ đường thẳng cho bởi phương trình: 4x+3y=T (T∈R) hay y= 4
3 3
T x
− + ta
thấy đường thẳng này song song với đường thẳng y= 4 3x
− (T≠0). Khi T tăng, đường thẳng này tịnh tiến song song lên phía trên. Khi T giảm, đường thẳng này tịnh tiến song song xuống phía dưới. Giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại đỉnh I của tứ giác IABC là giao điểm của hai đường thẳng 2x+5y=30 và 2x+y=14. Tọa độ I là (xI =5;yI =4). Như vậy: Thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải thấp nhất.
+ Kỹ năng dự đoán quy luật:
- Biết dựa vào mô hình thực nghiệm và trình độ TH của mình để dự đoán quy luật. 14 9 6 7 10 15 A B I C Hình 2.1
Cần chú ý rằng không phải bao giờ cũng có thể dự đoán được quy luật của tình huống bằng phương pháp như đã trình bày; bởi các sự vật hiện tượng xảy ra rất đa dạng và phong phú. Để đạt được mục đích này, GV cần phải có sự chuẩn bị tỉ mỉ, nhất là chuẩn bị các BTTT để ủy thác cho người học. Trong khi thực hiện hoạt động này, cần giúp HS kết hợp giữa dự đoán và suy diễn, đối với HS phổ thông dự đoán chủ yếu sử dụng phương tiện trực quan trực quan.
Trong quá trình hướng dẫn cho HS phát hiện ra quy luật cho BTTT, GV cũng cần phải chú ý rằng: đây cũng là một cơ hội rất tốt để rèn luyện cho người học tư duy biện chứng, biết nhìn nhận sự vật hiện tượng trong sự vận động và phát triển, trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau. Bởi vậy, cần quán
triệt điều này để khai thác trong dạy học các tình huống cụ thể.
b) Rèn luyện cho HS kỹ năng đặt biến cho các yếu tố (đại lượng).
Sau khi phát hiện HS phát hiện ra quy luật của tình huống và phát biểu lại tình huống bằng ngôn ngữ của họ, công việc tiếp theo là phải hướng dẫn họ đặt biến cho các đại lượng. Đây là hoạt động đầu tiên thể hiện việc chuyển NNTN sang NNTH. Cần lưu ý với HS gán các biến cho những những đại
lượng nào mà việc biểu diễn các đại lượng khác thông qua nó được dễ dàng;
nhiều khi biến được đặt cho các đại lượng trung gian, không được tường minh rõ ràng trong bài toán. Mặt khác, cũng phải cân nhắc việc dùng các ký hiệu cho các biến; đây là một vấn đề thuộc về phạm trù ngôn ngữ. Theo Polya. G
thì: "Thời gian mà ta dành để chọn ký hiệu sẽ trả công rất hậu về sau; bởi,
thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn" [19]. Các ký
hiệu thường nhất quán và người ta thường dùng các chữ cái đầu tiên của tên đối tượng để ký hiệu nó; chẳng hạn ký hiệu t cho thời gian (xuất phát từ time), ký hiệu d cho khoảng cách xuất phát từ (distance),...
Ví dụ 2.11. Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157.
Đối với bài toán này nếu ta đặt ẩn số x và y thì ta có ngay hệ phương
trình bậc hai 2 217 157 x y x y + = + =
(1). Tuy nhiên nếu ta đặt số thứ nhất là x thì số
thứ hai là 17-x khi đó ta có phương trình x2 −(17−x)2 =157 (2). Việc giải phương trình (2) sẽ đơn giản hơn nhiều so với giải hệ phương trình (1).
Ví dụ 2.12. Một ô tô dự định đi quãng đường AB dài 60km trong một thời
gian nhất định. Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên ôtô chỉ đi với vận tốc ít hơn dự định 6km. Để đến B đúng dự định ô tô phải đi hết quãng đường còn lại mỗi giờ hơn dự định 10km. Tìm thời gian dự định để ô tô đi hết quãng đường?
Nếu ta đặt ẩn là cái cần tìm (thời gian dự định) thì phương trình lập được rất cồng kềnh. Ta thay đổi bằng cách đặt ẩn là vận tốc dự định. Khi đó việc phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số dễ dàng hơn. Tìm được vận tốc dự định ta có ngay thời gian dự định vì đã biết quãng đường. Vậy ở bài toán này ta nên hướng dẫn HS tiến hành lập mô hình như sau:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x>0). Khi đó thời gian dự
định đi hết quãng đường AB là 60
x (giờ). Vận tốc ô tô đi nửa quãng đường
đầu là x-6 (km/h) và thời gian đi là 30 6
x− (giờ). Vận tốc ô tô đi nửa quãng
đường sau là x+10 (km/h) và thời gian đi là 30 10
x+ (giờ).
Từ giả thiết bài toán cho ta co phương trình: 30 30 60
10 6
x + x = x
Giải phương trình (1) ta được x= 30. Vậy suy ra thời gian dự định để ô tô đi hết quãng đường AB là 2 (giờ).
c) Rèn luyện cho HS kỹ năng biểu thị BTTT thông qua những biểu thức chứa biến và bằng biểu đồ, đồ thị, hình vẽ
Vấn đề này liên quan chặt chẽ với hai vấn đề trình bày ở trên, là cơ sở để thiết lập mô hình TH cho BTTT. Nếu như không thực hiện được các công đoạn thứ nhất và thứ hai ở trên thì sẽ không có công đoạn này. Ở đây, GV cho HS biết được: một tổ hợp các mối liên hệ giữa các biểu thức chứa biến, mô tả quy luật của tình huống chính là mô hình TH của tình huống đó; biểu thức càng đơn giản mô hình TH càng tốt. Ngoài ra, cần cho HS thấy rằng: mô hình
TH mô tả tình huống có thể là hàm số, đồ thị, biểu đồ, hình vẽ,… Một tình huống có thể có nhiều loại mô hình TH mô tả. GV nên để cho HS thực hiện
đa dạng hóa các hình thức thể hiện; bởi chúng sẽ tạo nên rất nhiều cách thức
giải quyết vấn đề mà con người quan tâm. Một điều cần chú ý rằng là cần khai thác mô hình TH dạng đồ thị, biểu đồ, bản đồ, hình vẽ,... để mô tả các tình huống TT trong dạy học Toán. Thực ra, mô hình dạng đồ thị cũng có tính ưu việt riêng của nó. Trong chương trình toán phổ thông, người ta cũng dùng đồ thị để mô tả các hiện tượng Vật lý. Chẳng hạn, dùng đồ thị của hàm số để mô tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều, chuyển động tròn đều,... Các hiện tượng Vật lý này HS đã được học; bởi vậy họ có thể nắm vững các quy luật, tức là họ đã thực hiện mô hình hóa các hiện tượng đó bằng các công thức: S = v.t (chuyển động đều); S = v0.t + at2/2 (chuyển động nhanh đần đều); h=gt2/2 (chuyển động của vật rơi tự do),... Chúng tôi cho rằng: GV cần tổ chức cho HS mô tả các trạng thái đó dưới dạng đồ thị, khi dạy học các hàm số có liên quan. Một điều cần đặc biệt chú ý ở đây là HS phải có kỹ năng "đọc" đồ thị. Đây không những là yêu cầu để HS lập được mô hình dạng đồ thị mà còn giúp HS thông hiểu những bản tin về thời sự, kinh tế trên truyền hình hay góp phần giúp họ trong việc "đọc" các bản vẽ kỹ thuật,... Để thực
hiện được vấn đề này, HS cần có kỹ năng vẽ đồ thị. Cần truyền thụ cho HS các kỹ năng sau: kỹ năng vẽ bằng tay đồ thị các hàm số quen thuộc, kỹ năng sử dụng các phần mềm như: Maple, .... để vẽ đồ thị các hàm số tùy ý. Đồng thời với các hoạt động đó, HS phải thông hiểu ý nghĩa đặc trưng của các yếu tố trên đồ thị. Đây là một vấn đề quan trọng, nếu không thực hiện được điều này thì khó mà chuyển được các yếu tố của BTTT sang đồ thị hay bản vẽ trên trang giấy. Để đạt được điều đó, thông thường GV đặt ra các vấn đề sau đây cho HS:
- Các đại lượng A, B,C,... được mô tả bằng yếu tố nào trên đồ thị?
- Mối quan hệ giữa đại lượng A và đại lượng B được mô tả như thế nào trên hình vẽ?...
Với những câu hỏi như vậy, HS sẽ nắm một cách đầy đủ đồ thị mà mình vẽ được, tạo điều kiện thuận lợi cho việc "phiên dịch" BTTT sang tình huống trong Toán học.
Sau đây là ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.13. Một xe tải nhỏ ở trạng thái nghỉ chuyển động nhanh dần đều sau
8s đạt đến vận tốc 6 (m/s). Sau đó chuyển động đều. a) Tìm quãng đường đi của xe tải trong 20 (s) đầu tiên.
b) Sau 12 giây khi xe tải khởi hành, một chiếc taxi chuyển động nhanh dần đều, sau 8 (s) nó gặp xe tải. Tìm vận tốc của taxi khi gặp xe tải.
Bài toán có nội dung TT nói trên có thể lồng ghép vào phần ôn tập chương 2: "Hàm số bậc nhất và bậc hai" của Đại số lớp 10, với mục đích kép là ôn tập chương và rèn luyện kỹ năng xây dựng mô hình mô tả các BTTT. Mô hình của BTTT đã được các nhà khoa học sư phạm chính xác hóa; đây là một tình huống điển hình, HS đã được trải nghiệm qua học Vật lý. Trong bài toán này mối liên hệ thuộc dạng thứ nhất chỉ có: vận tốc tức thời của xe tải sau khi chuyển động được 8 (s) là 6 (m/s); các mối liên hệ khác thuộc dạng thứ hai (những mối liên hệ có được xuất phát từ vốn kiến thức của người
học). Bởi vậy, cần để cho HS liên tưởng tới những gì đã có, GV nên đặt ra các câu hỏi: Em đã gặp tình huống nào giống tình huống trong bài toán? Có gì khác không? Trong tình huống đã gặp công thức nào mô tả quy luật? Ý nghĩa của những công thức này là gì? ....; đồng thời cũng gợi ý cho HS: hàm số cho bởi nhiều biểu thức có thể mô tả BTTT nhiều trạng thái. Với những tác động sư phạm đó, HS liên tưởng tới các công thức S = V0t +at2/2; S =Vt là các quy luật của chuyển động nhanh dần đều và chuyển động đều. Để có thể mô tả được tình huống một cách cụ thể hơn, họ cần xác định các đại lượng có mặt trong các công thức nói trên. Nhờ vào mối liên hệ: vt = +v0 at (mối liên hệ dạng thứ hai) và giả thiết của bài toán v0 =0; chuyển động được 8s vận tốc đạt được 6m/s (mối liên hệ dạng thứ nhất), HS xác định được a=3 / 8( / )m s2 . Kết quả của sự liên tưởng của HS về những gì họ đã trải nghiệm, cùng với sự gợi ý tế nhị của GV, họ kết nối được các yếu tố của TT với các tư tưởng của TH. Từ đó, họ biểu lộ tất cả những vấn đề trong suy nghĩ của qua hoạt