- Hoạt động ngôn ngữ là hoạt động thường xuyên xảy ra trong cả quá trình dạy học; bởi vậy, có nhiều cơ hội để thực hiện biện pháp này Tuy nhiên,
2.2.3.1. Mục đích của biện pháp: Biện pháp chủ yếu góp phần rèn luyện cho HS thành tố (4) trong các yếu tố về khả năng mô hình hóa TH các BTTT.
HS thành tố (4) trong các yếu tố về khả năng mô hình hóa TH các BTTT.
2.2.3.2. Chỉ dẫn thực hiện biện pháp
a) Tổ chức cho HS giải bài toán trên mô hình; đồng thời rèn luyện kỹ năng kiểm tra và điều chỉnh mô hình TH.
Giải toán là hoạt động TH chủ yếu ở trường phổ thông. Thông qua giải các bài toán, nhiều tri thức, kỹ năng được củng cố, góp phần phát triển toàn diện nhân cách HS. Đối với việc giải toán trên mô hình, ngoài những tác dụng như trên, còn nhằm vào mục đích là tìm câu trả lời cho bài toán có nội dung TT. Bởi vậy, các GV đều chú ý quan tâm rèn luyện hoạt động này cho HS. Điều này là một vấn đề rất tốt, cùng một lúc vừa rèn luyện tri thức, kỹ năng TH cho người học, vừa hướng HS vào những hoạt động vận dụng TH vào TT đời sống. Chúng tôi cho rằng: giải toán trên mô hình, theo một nghĩa nào đó
là sự chuyển đổi ngôn ngữ trong nội bộ môn Toán để biến mô hình TH ban đầu về một mô hình TH quen thuộc, mà việc giải quyết vấn đề đặt ra được dễ dàng. Năng lực giải toán của HS được thể hiện qua việc người học sử dụng NNTH để giải quyết bài toán. Thông qua hoạt động này có thể rèn luyện cho
người học về NNTH.
Việc kiểm tra được tiến hành trên hai phương diện: Kiểm tra lời giải bài toán trên mô hình và kiểm tra mô hình xây dựng được thực sự phù hợp với BTTT hay không?
Ở phương diện thứ nhất, cần thực hiện những vấn đề sau đây:
- Yêu cầu HS giải thích cả về ngữ nghĩa và cú pháp của các ký hiệu, thuật ngữ, công thức khi sử dụng chúng.
- Yêu cầu họ kiểm tra lại các bước suy luận có hợp lôgíc hay không?
Những hoạt động này được thực hiện đồng thời với quá trình HS trình bày lời giải của mình hay bình luận lời giải của bạn.
b) Tổ chức cho HS hoạt động sử dụng mô hình để dự báo, ước tính kết quả BTTT.
Mô hình có chức năng dự báo, đó là một chức năng quan trọng của mô hình. Bởi vậy, trong dạy học Toán GV phải tìm cách rèn luyện cho HS khai thác chức năng này. Cần tổ chức cho HS thực hiện những hoạt động sau đây: +) Thứ nhất, dùng mô hình vừa xây dựng được trong việc dự báo, ước tính. Hoạt động này có thuận lợi là HS nắm rất chắc mô hình TH: hiểu được cách thứ xây dựng lẫn phạm vi TT mà nó phản ánh; tù đó, việc sử dụng công cụ này trong việc dự báo, ước tính được thuận lợi hơn.
+) Thứ hai, sử dụng mô hình cho sẵn trước trong việc dự đoán, ước tính kết quả BTTT. Mô hình TH cho sẵn trước, có thể là hàm số, là biểu đồ,… Trong trường hợp này, trước hết HS cần phải nắm được NNTH dùng để xây dựng mô hình đó, lớp đối tượng TT mà nó phản ánh. Do dó, trước khi tổ chức cho HS dự đoán ước tính, cần phải kiểm tra người học vấn đề này và phải có phương án bổ sung (nếu thấy cần thiết).
Rất nhiều bài toán có nội dung TT trong SGK, mô hình TH của chúng đều có khả năng dự báo, GV nên lồng ghép một cách thích hợp để cho HS thấy rõ tầm quan trọng của chức năng này. Bên cạnh đó cũng cần khai thác những mô hình cho sẵn trước nhằm vào việc chuẩn đoán, ước tính. Các tác giả như Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Bùi Huy Ngọc trong các công trình của mình,... đều rất quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng cho HS phổ thông khả năng tính gần đúng, khả năng ước lượng, trong các hoạt động vận dụng TH vào TT. Trong hoạt động này, trước hết cần giúp HS hiểu được NNTH được sử dụng trong việc xây dựng mô hình và phạm vi thực tiễn nó phản ánh, trước khi thực hiện hoạt động dự đoán, ước tính.
Ví dụ 2.17. Hình vẽ dưới đây là một đồ thị mô tả vận tốc (tính bằng m/s) của một động tử. -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -2 2 4 6 t V hình 2.15
a) Hãy cho biết động tử chuyển động trong khoảng thời gian là bao lâu và ước lượng quãng đường đi được của nó?
b) Biết rằng đồ thị trên là một phần của một đường Parabol, với dữ kiện trên hình vẽ tính chính xác quãng đường mà động tử đi được trong thời gian chuyển động. So sánh kết quả này với kết quả đã ước lượng.
Đối với tình huống này, yêu cầu HS trả lời những câu hỏi sau:
- Mô hình TH cho dưới dạng nào? Mô hình TH phản ánh BTTT nào?
- Mối liên hệ giữa vận tốc và thời gian được biểu thị trên mô hình bằng mối quan hệ giữa các yếu tố nào?
- Mối quan hệ giữa thời gian và quãng đường đi được của động tử được biểu thị bằng đại lượng nào? Có thể trực quan được trên mô hình không? Có thể dùng mô hình để ước lượng được đại lượng đó không? Hãy thực hiện điều đó theo yêu cầu của bài toán.
c) Tổ chức cho HS thí nghiệm trên mô hình TH,nhằm đưa công cụ này xâm nhập sâu rộng vào trong đời sống TT.
Mô hình toán là mô hình ký hiệu; bởi vậy, thí nghiệm trên mô hình có thể hiểu là biến đổi mô hình TH thành những biến thể khác nhau theo dụng ý riêng (hướng tới mô tả một BTTT nào đó). Thực hiện được điều mà chúng tôi vừa trình bày thì một phần càng làm tăng mức độ xâm nhập của TH vào TT;
mặt khác góp phần tạo điều kiện cho HS phát triển ngôn ngữ (như ở phần trước đã trình bày).
Tìm GTLN của hàm f x y( , )=xyvới điều kiện: 2x + y =200; x,y > 0 (1)
Biểu thức này phản ánh tình huống trong bài toán sau: Một người dùng
200m lưới để rào mảnh vườn rau. Hỏi người đó có thể rào được mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m2; biết rằng một kích thước của mảnh vườn có thể lợi dụng bờ tường không cần rào.
Ta có thể thực hiện tương tự công việc đã làm đối với biểu thức (1), để nối dài các mô hình TH mô tả các BTTT khác nhau.
Ở biểu thức (1), nếu như chúng ta tổ chức cho HS hoạt động mô hình TH có dụng ý mô tả một BTTT nào đó, thì chỉ đạt được một khía cạnh; khía cạnh phát triển trí tuệ cho người học hầu như chưa được đề cập tới. Với ý tưởng tạo ra một mô hình TH, mà việc giải quyết bài toán trên đó cần phải xác lập lại cấu trúc nhận thức mới, ta thay đổi điều kiện ràng buộc trong biểu thức 1, để có biểu thức 2:
Tìm GTLN của hàm f x y( , )=xy; với điều kiện: 2x y+ ≤150; x y N, ∈
(2). Cần chú ý rằng sự thay đổi con số 200 trong biểu thức (1) và con số 150
trong biểu thức (2) là có dụng ý sư phạm. Nếu con số 150 trong biểu thức 2 là con số 200 thì HS cũng có thể giải được bài toán này mà chưa cần có sự thay đổi về cấu trúc nhận thức. Thực vậy, họ có thể nhận ra: GTLN của hàm
( , )
f x y =xy; với điều kiện: 2x y+ ≤200; x y, >0 cũng chính là GTLN của hàm f x y( , )=xy; với điều kiện: 2x y+ =200; x y, >0. Từ đó, họ có thể tìm được kết quả GTLN của hàm f x y( , )=xy; với điều kiện: 2x y+ ≤200;
, 0
x y > là 5000; đạt tại x =50;y=100. Vì hàm f x y( , )=xy đạt GTLN tại các
giá trị nguyên dương x=50;y=100 nên cũng có thể kết luận là GTLN của
hàm f x y( , ) =xy; với điều kiện: 2x y+ ≤200; x y N, ∈ là 5000, đạt được tại
50; 100
như trên, đến công đoạn tìm GTLN của hàm f x y( , )=xy; với điều kiện:
2x y+ ≤150; x y, >0 thì giá trị này đạt tại x=37,5;y=75. Ở đây, x N∉ nên HS đã gặp một chướng ngại buộc phải huy động tri thức xác lập quy tắc. Song song với việc huy động tri thức là hoạt động tổ chức tri thức; tăng cường các thao tác tư duy. Bởi vậy, trong quá trình hình thành quy tắc mới, là giai đoạn phôi thai cho sự trưởng thành về mặt trí tuệ. Để xác lập được quy tắc mới HS vừa phải liên tưởng tới những gì đã có đồng thời phải có những quyết định tạo báo dựa trên nền tảng những suy luận có lý. GV hướng dẫn HS thay điều kiện 2x y+ ≤150; bởi điều kiện 2x y+ =150, với mục đích "gần gũi hơn" với những gì đã có, để thu được biểu thức ( 2′):
Tìm GTLN của hàm f x y( , )=xy ; với điều kiện: 2x y+ =150; ,x y N∈ .
Từ ràng buộc của biểu thức ( 2′), có thể suy diễn y=150 2 ; ,− x x y N∈ . Kết quả này, dẫn HS đến kết luận: tập các điểm (x,y) thỏa mãn ràng buộc trong (2') là hữu hạn và có thể xác định được. Từ đó, lược đồ giải bài toán trên có thể trình bày như sau:
- Xác định các điểm (x,y) thỏa mãn ràng buộc bài toán, bằng cách thay lần lượt: x = 0,1,2..; tính các giá trị y tương ứng bằng công thức:
150 2 ; ,
y = − x x y N∈ ;
- Tính các giá trị của f(x,y) tại các điểm (x,y) tìm được, so sánh và kết luận. Cách thức giải quyết bài toán trên (2'), đã dẫn HS đến một quyết định táo bạo: áp dụng tương tự đối với bài toán trên biểu thức (2). Cái quy tắc ở đây HS cần xác lập là:
- Xác định miền phẳng D giới hạn bởi các điều kiện: 2x y+ ≤150; ,x y≥0;
- Xác định tập hợp D' các điểm có tọa độ nguyên thuộc D;
- Tính giá trị của hàm f(x,y) tại các điểm của D', so sánh và kết luận.
Rõ ràng với hoạt động xác định được quy tắc mới để giải quyết được bài toán trên (2), trí tuệ HS được phát triển lên một bước; đồng thời khả năng
ứng dụng TH vào trong TT cũng được nâng cao. GV có thể yêu cầu HS tìm các bài toán có nội dung TT mà biểu thức (2) mô tả. Ở một khía cạnh khác, trong tình huống này, GV mong đợi HS rút ra được nhận xét: Nếu điều kiện
ràng buộc trong ví dụ ban đầu, được thay bởi điều kiện xác định các điểm nguyên, giới hạn trong một miền kín, thì cho dù hàm f(x,y) có dạng như thế nào, lược đồ giải bài toán trên (2) vẫn có thể áp dụng được. HS nhận ra được kết quả này, chứng tỏ họ đã trưởng thành một bước trong sự phát triển trí tuệ và sản phẩm mà HS kiến tạo được là công cụ để giúp họ giải quyết được nhiều tình huống xảy ra trong cuộc sống.
Ví dụ 2.18. Một công ty dự định sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Các sản
phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số lượng đơn vị dự trữ từng loại nguyên liệu và số lượng đơn vị từng loại nguyên liệu cần dùng sản xuất ra một sản phẩm được cho trong bảng:
Loại nguyên liệu
Nguyên liệu dự trữ
Số nguyên liệu cần dùng sản xuất một sản phẩm
A B
I 8 2 1
II 24 4 4
III 8 1 2
Nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm loại A và bao nhiêu sản phẩm loại B để lãi thu về là lớn nhất? biết rằng mỗi sản phẩm loại A lãi 3 trăm triệu đồng, mỗi sản phẩm loại B lãi 5 trăm triệu đồng.
Với những kỹ năng được rèn luyện về xây dựng mô hình cho BTTT, HS dễ dàng lập được mô hình toán học:
2 8 4 4 24 2 8 , x y x y x y x y N + ≤ + ≤ + ≤ ∈ hay 2 8 (1) 6 (2) (**) 2 8 (3) , , (4) x y x y x y x y N + ≤ + ≤ + ≤ ∈
Với bài toán cụ thể đã cho, miền đa giác cần xác định là OABC, miền hình chữ nhật E là hình vuông dựng trên hai cạnh OA và OC (hình 2.6).
Tập các điểm có toạ độ nguyên không âm thuộc hình vuông trên là:
{ }
' ( , ) / , ;0 4; 0 4
E = x y x y N∈ ≤ ≤x ≤ ≤y .
Bằng cách thử trực tiếp ta dễ dàng nhận thấy các điểm (0;0), (0;1), (0;2), (0;3), (0;4), (1;0), (1;1), (1;2), (1;3), (2;0), (2;1), (2;2), (2;3), (3;0), (3;1), (3;2), (4;0) là các điểm của E’ đồng thời là các điểm nguyên của miền đa giác OABC. Từ đó, dễ dàng suy ra Maxf x y( , ) 21= (trăm triệu đồng), đạt được khi x=2,y =3.
- Ở một khía cạnh khác, GV hướng dẫn HS biến đổi mô hình trên theo
một hướng khác: thay đổi điều kiện ràng buộc trong biểu thức trên, bởi điều kiện xác định một hình tròn tâm I(p,q) bán kính R, ta được biểu thức:
86 6 4 8 6 B y x C A O Hình 2.6
Tìm GTLN và GTNN của hàm f x y( , ) =ax by a+ ; 2 + ≠b2 0, với điều kiện: (x p− )2 +(y q− )2 ≤R2
Rõ ràng, với biểu thức ta vừa ủy thác cho HS ở trên, đã đẩy họ gặp phải một chướng ngại: không thể dùng quy tắc giải ở ví dụ trên cho trường hợp này; buộc họ phải điều ứng tri thức xác lập quy tắc giải mới cho hợp với tình huống. Quá trình huy động tri thức được diễn ra một cách tích cực; đặc biệt là các tri thức phương pháp được vận dụng một cách sáng tạo. Điều đó được thể hiện cụ thể như sau: Ta biết rằng trực quan không thể thay thế cho chứng minh, nhưng nó là chỗ dựa cho suy luận dự đoán. Liên tưởng tới phương pháp như trong SGK đã trình bày trong ví dụ 2.17, HS có thể dự đoán được hàm f(x,y) đạt GTLN và GTNN tại các tiếp điểm của các tiếp tuyến với đường tròn:
2 2 2
(x p− ) +(y q− ) =R ,
Trong đó: các tuyến này song song với đường thẳng ax by+ =0(hình 2.7).
Từ đó, HS có thể đưa ra thuật toán giải quyết vấn đề trên như sau:
- Giải phương trình ẩn c: 2 2 ap bq c R a b + + = +
- Giả sử c1; c2 là các nghiệm của phương trình, khi đó: GTLN của f(x,y) là Hình 2.7
O x
{ 1 2}
ax ,
m − −c c ;GTNN của f(x,y) là min{− −c1, c2} .
Với sản phẩm của HS vừa kiến tạo được, chứng tỏ đã có một sự chuyển biến mới về chất: trí tuệ của họ được nâng lên một tầm cao mới. Dĩ nhiên, GV không quên yêu cầu HS của mình phải tìm được càng nhiều càng tốt các bài toán có nội dung TT mà mô hình vừa tạo lập mô tả. Dựa theo biểu thức đó, chúng tôi cũng đã xây dựng bài toán sau, cung cấp cho HS, nhằm tăng cường mối liên hệ giữa TH và TT.
Ví dụ 2.19. Một khu phố có hai trục đường chính là a và b vuông góc với nhau. Giá một loại phòng trọ ở ngã tư là 1 triệu đồng /1 tháng. Phòng trọ có đủ tiện nghi như thế, ở vị trí khác được định giá như sau: cách đường a mỗi km được giảm 30 ngàn đồng, cách đường b mỗi km được giảm 40 ngàn đồng. Cần thuê phòng trọ loại đó ở vị trí nào để chi phí phải trả là nhỏ nhất; biết rằng phòng trọ xa nhất cách ngã tư 5km và trong cự li đó thì chỗ nào cũng có phòng trọ.
Bài toán phản ánh một tình hình tương đối sát thực với cuộc sống hằng ngày: càng gần những nơi trung tâm thì giá cả càng đắt đỏ, thuê nhà ở cũng nằm trong tình trạng đó. Vận dụng kết quả ở trên, HS giải quyết vấn đề này như sau:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy, mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với trên thực
tế 1km (hình 2.8), trong đó trục tung mô tả đường thẳng a, trục hoành mô tả
Gọi (x,y) là vị trí phòng trọ; khi đó, giá thuê phòng là:
2 2 2
( , ) 1.000.000 30.000 40.000 ; 5 (1)
f x y = − x − y x + y ≤
Đặt X=|x|; Y=|y|. f(x,y) đạt GTNN khi và chỉ khi
g(X,Y)=30.000X+40.000Y, với X 2 +Y 2