3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.1.6Các tính chất cơ bản của C∗ (V, F)
Mục này sẽ nhắc lại các tính chất quan trọng của C∗(V,F), cần thiết cho các tính toán sau này.
Mệnh đề 3.1.3 ([22, Section 2]). Khi dimF =k > 0, C∗-đại số C∗(V,F) có tính ổn định, tức là ta có đẳng cấu:
C∗(V,F)⊗ K ∼=C∗(V,F)
ở đây (và trong suốt phần còn lại của luận án), K là ký hiệu để chỉ C∗-đại số các toán tử compact trên một không gian Hilbert vô hạn chiều tách được.
Mệnh đề 3.1.4 ([22, Proposition 2.1.4]). Nếu phân lá (V,F), (V0,F0) cùng kiểu tôpô thì các C∗-đại số Connes liên kết với chúng đẳng cấu nhau, tức là:
C∗(V,F)∼=C∗
(V0,F0).
Mệnh đề 3.1.5 ([7, Lemma I.1]). Giả sử
0 //J i //A µ //B //0
là một dãy khớp G-đẳng biến các C∗-đại số. Khi đó dãy
0 // b J bi // b A b µ // b B //0
của các tích xiên bởi G cũng khớp. Hơn nữa, nếu dãy đầu chẻ ra đẳng biến thì dãy thứ hai cũng chẻ ra.
Mệnh đề 3.1.6 ([22, Proposition 2.1.5]). Giả sử phân lá (V,F) được cho bởi tác động ρ của nhóm Lie G lên trên đa tạp phân lá V sao cho đồ thị H = V ×G. Khi đó C∗(V,F)∼=C
0(V)oG, ở đó tích xiên lấy theo tác động tự nhiên của G lên C0(V)
cảm sinh từ tác động của G lên V.
Mệnh đề 3.1.7 ([22, Proposition 2.1.6]). Giả sử phân lá(V,F)được cho bởi phân thớ (với thớ liên thông) p :V → B. Khi đó (V,F) không có holonomy và đồ thị H =
{(x, y)∈V ×V :p(x) = p(y)}là đa tạp con củaV×V, đặc biệtC∗(V,F)∼=C
0(B)⊗K.
Mệnh đề 3.1.8 ([22, Proposition 2.1.7]). Cho phân lá (V,F). Nếu V0 là một đa tạp con mở của đa tạp phân lá V và F0 = F |V0 là hạn chế của F lên V0 thì đồ thị H0 của (V0,F0) là tập con mở của đồ thị H của (V,F). Hơn nữa phép bao lồng
Cc∞ H0,Ω1/2
→Cc∞ H,Ω1/2
được mở rộng tới một ∗-đồng cấu (bảo toàn chuẩn) giữa các C∗-đại số i:C∗(V0,F0)→C∗(V,F).
XétV0 là tập con mở bão hòa của phân lá(V,F). Khi đóC∗(V0,F |V0)là một ideal của C∗(V,F). Hơn nữa, đồ thị H0 của (V0,F |V0) là một tập con mở trong H, do đó
H\H0 đóng trongH.
Nói chung H\H0 không phải là đồ thị của phân lá V\V0,F |V\V0
. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xác định biểu diễn πx (x∈V\V0) của ∗-đại số Cc∞ H\H0,Ω1/2 trong
L2 Hx\Hx0,Ω1/2
. Bổ sung đầy đủ theo chuẩn tương tự như trong phép xây dựng
C∗(V,F), ta thu được một C∗-đại số, và ký hiệu làC∗
V\V0,F |V\V0
.
Phép bao lồng i0 : H\H0 → H cho ta một ∗-đồng cấu µ0 : Cc∞ H,Ω1/2
→
Cc∞ H\H0,Ω1/2 bằng cách lấy thu hẹp của các hàm. Vì chuẩn được định nghĩa theo từng lá nênµ0 mở rộng được thành∗-đồng cấuµ:C∗(V,F)→C∗V\V0,F |V\V0
. Rõ ràng C∗(V0,F |V0)⊂kerµ, và vì mỗi phần tử bất kì của Cc∞ H\H0,Ω1/2 đều mở rộng được thành một hàm của Cc∞ H,Ω1/2
nên µ là toàn cấu. Do đó ta có dãy nửa khớp:
0→C∗(V0,F |V0)→C∗(V,F)→C∗V\V0,F |V\V0
→0.
Mệnh đề 3.1.9 ([22, Lemma 2.2.1]). Nếu (V,F) được cho bởi tác động của một nhóm Lie trung bình hóa G (các nhóm Lie Rn là trung bình hóa), sao cho H\H0 = V\V0×G thì dãy nửa khớp trên là khớp.
Nhận xét 3.1.10. Các mệnh đề trên rất có ích trong việc mô tả giải tích các C∗-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá, cũng như trong việc đặc trưng các C∗-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử. Cụ thể:
• Mệnh đề 3.1.6 và Mệnh đề 3.1.7 cho phép ta mô tả giải tích cácC∗-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá.
• Các Mệnh đề 3.1.8 và Mệnh đề 3.1.9 gợi ý cho ta cách xây dựng các mở rộng của các C∗-đại số bằng các phức C∗-đại số ứng với tập con mở bão hòa.
• Còn các Mệnh đề 3.1.3 và Mệnh đề 3.1.5 là các tính chất cần thiết cho việc tính toán các K-nhóm trong dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng đã dựng.