3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.3 K-lý thuyết đối với phân lá
Mục này sẽ giới thiệu sơ bộ về K-lý thuyết đối với phân lá được A. Connes đưa ra trong [8].
K-lý thuyết hình học là một lý thuyết đối đồng điều suy rộng với giá compact. Nó đặc biệt thích hợp với các cấu trúc đại số mà ở đó không gian Hausdorff, compact địa phương X được thay thế bởi C∗-đại số C0(X) các hàm liên tục trên X nhận giá trị phức và triệt tiêu ở vô cùng. Cụ thể, ta định nghĩaKi(X) = Ki(C0(X)).
Đối với phân lá, đáng tiếc là không gian các láV/Fthường có tôpô không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thayC0(V/F)bởiC∗(V,F), mà từ đó Connes định nghĩa:
Ki(V/F) = Ki(C∗(V,F)), (i= 0,1).
Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của một phân lá, thông thường ta cần phải đặc trưng C∗-đại số Connes liên kết với phân lá đó bằng phương pháp K-hàm tử. Bởi thế, đôi khi ta đồng nhất hai việc nghiên cứu này.
Khi phân lá (V,F) được cho bởi phân thớ p : V → B = V/F thì Ki(C∗(V,F))
thật sự trùng với K-nhóm hình học thông thường Ki(V/F) = Ki(B) của không gian các lá B =V/F.
Trong trường hợp tổng quát, nói chung các K-nhóm Ki(V/F) = Ki(C∗(V,F))
hoàn toàn không dễ tính. Tuy nhiên, nếu phân lá (V,F) được cho bởi tác động của nhóm Lie giao hoán Rn, việc tính Ki(V/F) có thể được thực hiện dễ dàng hơn nhờ các đẳng cấu Thom-Connes.
Mệnh đề 3.3.1 ([8, Section 5]). Giả sử phân lá(V,F)được cho bởi tác động ρ nào đó của nhóm Lie giao hoán Rn (n >0)sao cho phỏng nhóm holonomy (đồ thị) H của nó được cho bởi H =V ×Rn. Khi đó:
C∗(V,F)∼=C
0(V)oρRn.
Nhờ Mệnh đề 3.3.1, ta có đẳng cấu tự nhiên Thom-Connes sau đây
ϕi
ρ:Ki(C0(V))→Ki+n(C∗(V,F)) =Ki+n(V/F), (i= 0,1) ;
trong đó, tổng i+n được tính theo modulo 2.
Trong mục kế tiếp, ta sẽ nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng các C∗-đại số Connes liên kết với các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Chú ý rằng, theo Mệnh đề 3.1.4, các C∗-đại số Connes liên kết với các phân lá cùng kiểu tôpô là đẳng cấu nhau. Do vậy, ta sẽ dùng ký hiệu C∗(F1), C∗(F2), C∗(F3) để chỉ chung các C∗-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá tương ứng thuộc kiểu F1,F2 vàF3.