3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.1.3 Không gian các nửa mật độ
•Cho (V,F) là phân lá k-chiều, định hướng được. Với mỗi x∈V, ta định nghĩa:
ở đây, ΛkFx là không gian véctơ thực một chiều các k-dạng tuyến tính đan dấu trên
Fx. Ta thấy ngay Ω1/2x cùng với phép toán thông thường trên các hàm là một không gian véctơ phức một chiều. Hơn nữa, họ Ω1/2x
x∈V là một phân thớ vectơ phức một chiều. Ta gọiΩ1/2x x∈V
làphân thớ các nửa mật độ trên V.
Với mỗi γ ∈ H, giả sử s(γ) = x, r(γ) = y, ta đặt Ω1/2γ = Ω1/2x ⊗Ω1/2y , thì Ω1/2γ là không gian véctơ phức một chiều.
• Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp H Hausdorff. Cụ thể, ta đặt:
Cc∞ H,Ω1/2
:=
f :γ ∈H 7→f(γ)∈Ω1/2γ
(trong đóf trơn và suppf compact), là không gian các nửa mật độ trơn có giá compact trên H.
Vì V định hướng nên ΛkFx
x∈V là phân thớ tầm thường trênV, do đó
Ω1/2x
x∈V cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường hoá v ∈ Ω1/2x
x∈V
∼
= V × C, tức là cố định một cơ sở cho mỗi Ω1/2x , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi
Ω1/2γ , γ ∈H. Khi đó ta có thể đồng nhất hàm f ∈ Cc∞(H) (không gian các hàm trơn trên H có giá compact và nhận giá trị phức) với hàmf.(v◦s⊗v◦r)∈Cc∞ H,Ω1/2
theo cách như sau: vớiγ ∈H,(f.(v◦s⊗v◦r)) (γ) = f(γ).(v◦s(γ)⊗v◦r(γ)), trong
đó (v◦s(γ)⊗v◦r(γ)) là một cơ sở cố định qua v của Ω1/2γ , nên khi đó luôn có
f(γ).(v◦s(γ)⊗v◦r(γ))∈Ω1/2γ .
• Xét trường hợpH không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của H để định nghĩa
Cc∞ H,Ω1/2
như sau: Với mỗi bản đồ địa phương (U, ϕ) của đa tạp H, ta xét các hàm thực h ∈Cc∞ Rn+k
,supph ⊂ϕ(U), ta có h◦ϕ∈Cc∞(U). Vì U Hausdorff nên có thể đồng nhất Cc∞(U) với Cc∞ U,Ω1/2
như trong trường hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa Cc∞(H) là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các h◦ϕ như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất Cc∞(H)với Cc∞ H,Ω1/2
là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của cácf ∈Cc∞ U,Ω1/2
.
Như vậy, ta đã định nghĩa được Cc∞ H,Ω1/2
cho cả hai trường hợp Hausdorff và không Hausdorff của H. Cc∞ H,Ω1/2
là một không gian véctơ và được gọi là không gian các nửa mật độ trơn trên H.