3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy của phân lá
Giả sử (V,F) là một phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp H (không nhất thiết Hausdorff), có số chiềudimH = dimV + dimF mà được gọi làphỏng nhóm holonomy
của phân lá đã cho. Phép xây dựng H được đưa ra bởi Winkelnkemper ([8, Section 5] hoặc [2, Chương 4]).
Một phần tử γ của H được cho bởi hai điểm x =s(γ), y =r(γ) trong V và một lớp tương đương của các đường trơn γ(t), t ∈ [0,1], γ(0) = x, γ(1) = y tiếp xúc với phân thớ F (tức là γ0(t) ∈ Fγ(t),∀t ∈ [0,1], điều này suy ra x, y thuộc cùng một lá) bởi quan hệ tương đương sau: γ1 tương đương vớiγ2 nếu h(γ
2◦γ1−1) là phép đồng nhất.
Trong H có phép nhân tự nhiên như sau: với γ, γ0 ∈ H thì γ ◦γ0 có nghĩa khi
s(γ) =r(γ0). Với phép toán này thìH là một phỏng nhóm, do đó H còn được gọi là
phỏng nhóm holonomy hay đồ thị của phân lá (V,F).
Cấu trúc đa tạp trên V cho ta một tôpô trên H mà tiền cơ sở của nó là các tập có dạng:
Γ =nγ ∈H| x=s(γ)∈U, y =r(γ)∈U0, hγ(pr(x)) =pr0(y)o,
ở đó, U ∼= Π×(−1; 1)q
, U0 ∼= Π0 ×(−1; 1)q (q= codimF) là các bản đồ phân lá của
V, và pr:U →(−1; 1)q, pr0 :U0 →(−1; 1)q là các phép ngập lên tập hoành (−1; 1)q. Họ các tập Γ như trên cũng xác định một atlat trên H, và do đó H trở thành một đa tạp khả vi (dimV + dimF)-chiều. Khi đó, các ánh xạ r, s từ H vào V là các phép ngập, và ánh xạ (s, r) : H → V × V là một phép dìm có ảnh là tập
{(x, y)∈V ×V :x, y ∈L0 ∈V/F }. Nói về tính Hausdorff của H, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1.1. Đồ thị H của phân lá (V,F) là Hausdorff nếu và chỉ nếu: với mọi cặp điểm (x, y) thuộc cùng một lá L nào đó, và với mọi cặp đường trơn γ1, γ2 trên L
nối từ x đến y, các ánh xạ holonomy hγ1, hγ2 sẽ trùng nhau nếu chúng đồng nhất trên một tập con mở (của miền xác định) mà có bao đóng chứa x.