3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.2 Phép đặc trưng các C ∗-đại số bằng phương pháp K-hàm tử
3.2.5 Hệ bất biến chỉ số củ aC ∗-đại số
Ngoài việc sử dụng các đẳng cấu Thom-Connes và tính chất tự nhiên của chúng, kỹ thuật tínhIndexA = (δ0, δ1) thường khá thích hợp với các mở rộng (3.1) mà trong đó cả J lẫn B đều là các C∗-đại số dạngC0(X)⊗ K, với X là một không gian compact địa phương nào đó. Trong nhiều trường hợp phức tạp, nếu không thể nhúngC∗-đại số cần đặc trưng A vào một mở rộng (3.1) với J, B có dạng như thế. Khi đó, cần phải dùng tới các mở rộng lặp có dạng sau đây:
0 //J1 //A //B1 //0
0 //J2 //B1 //B2 //0
. . .
0 //Jk //Bk−1 //Bk //0
(3.7)
trong đó, các C∗-đại số J1, J2, . . . , Jk và Bk đều có dạngC0(X)⊗ K.
Bấy giờ, tất cả các phần tử γ1, . . . , γk trong các KK-nhóm Ext (B1, J1), . . . , Ext (Bk, Jk)tương ứng với các mở rộng trong (3.7) mới đủ xác định “kiểu ổn định” của
C∗-đại số cần đặc trưng A như là một phần tử của ⊕k
i=1
Ext (Bi, Ji). Dựa trên ý tưởng đó, H. H. Việt ([35]) đưa ra định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 3.2.5. Tập hợp {γ1, γ2, . . . , γk}gọi là hệ bất biến chỉ số của C∗-đại sốA, ký hiệu IndexA.
Như vậy, trong trường hợp này,IndexAsẽ được đồng nhất với phần tử((δ0i, δ1i))1≤i≤k
trong nhóm ⊕k
i=1
[HomZ(K0(Bi), K1(Ji))⊕HomZ(K1(Bi), K0(Ji))], ở đó(δi
0, δi
1)là cặp đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng trong (3.7).
Trên đây là tóm tắt các ý tưởng cơ bản của phép đặc trưng các C∗-đại số bằng phương pháp K-hàm tử. Và đây cũng chính là cơ sở lý thuyết cho các kết quả chính của chương 3 sẽ được giới thiệu trong mục 3.4.