3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.2 Phép đặc trưng các C ∗-đại số bằng phương pháp K-hàm tử
3.2.1 K-lý thuyết và mở rộng các C ∗-đại số
Thông thường, để đặc trưng mộtC∗-đại sốAnào đó (đặc biệt là bằng phương pháp K-hàm tử), ta sẽ tìm cách nhúngA vào một mở rộng dạng
0 //J i //A µ //B //0 (3.1)
vớiJ là một ideal (đã biết) đóng trongA, cònB ∼=A/J cũng là mộtC∗
-đại số đã biết. Các mở rộng dạng (3.1) có liên quan mật thiết với K-lý thuyết. K-lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng. Giả sử A là một C∗-đại số có đơn vị. Khi đó, K0(A) được định nghĩa là bao nhóm Grothendieck của vị nhóm các lớp đẳng cấu các A-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Trường hợp A không có đơn vị, ta đặt K0(A) = kernK0Ae→K0(C) = Zo, trong đó Aelà C∗-đại số thu được từ A bằng cách thêm phần tử đơn vị(1). Khi n >0, ta đặt:
Kn(A) =K0(A⊗C0(Rn))
Các K-nhóm có tính ổn định: Ki(A) ∼= K
i(A⊗ K) (K vẫn là ký hiệu chỉ C∗-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn chiều tách được). Đồng thời chúng cũng có tính tuần hoàn Bott:
Kn(A)∼=K
n+2(A).
Bởi vậy, thực chất ta chỉ cần xét hai nhómK0(A),K1(A). Hơn nữa,K0, K1 còn là các hàm tử đồng điều suy rộng.
Mở rộng (3.1) sinh ra một dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần (còn gọi là dãy khớp K-lý thuyết) của các K-nhóm: K0(J) //K0(A) //K0(B) δ0 K1(B) δ1 O O K1(A) o o oo K1(J) (3.2) (1)Xem Phụ lục B
Các mũi tên thẳng đứng δ0,δ1 gọi là các đồng cấu nối của (3.2). Việc xác định cặp
(δ0, δ1) cho phép ta tính các nhóm K0(A) và K1(A). Thật ra, ta còn thu được nhiều thông tin hơn trong phép tính cặp (δ0, δ1), cụ thể là cặp này xác định cho ta “kiểu ổn định” ([22]) của C∗-đại số A được xét, một khái niệm mà ta sẽ làm rõ ngay sau đây. Mọi việc bắt đầu từ sự kiện là: dãy khớp (3.1) xác định một phần tử trong KK-nhóm
Ext (B, J) của Kasparov ([14]).