Chương 2 Chất bán dẫn
2.3.2. Nồng độ hạt dẫn và mức Ferm
Như đã biết tính chất dẫn điện của chất
bán dẫn phụ thuộc vào nồng độ các hạt dẫn. Để giải thích được các đặc tính điện của bán dẫn cần phải biết nồng độ hạt dẫn và các yếu tố chi phối sự di chuyển của chúng.
Như trên đã biết các điện tử chỉ chiếm những mức năng lượng nhất định. Chúng ta đã mô tả chúng bằng giản đồ vùng năng lượng. Nếu bán dẫn có cả donor và acceptor thì giản đồ năng lượng như hình 2.10.
Xác suất để điện tử chiếm mức năng lượng E trong bán dẫn được tính theo biểu thức (2-9): (2-9) 1 T= 0 0K 1 EF Hình 2.10. Mô hình vùng năng lượng có cả donor và acceptor.
Hình 2.11. Xác suất điện tử chiếm chỗ ở T= 00K và T>00 K . EC EV EA ED EF E EF f(E) f(E) T> 0 0K E Hình 2.9. Mức năng lượng EA và lỗ trống
43
Trong đó K là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ (K), EF là mức năng lượng Fermi. Mức năng lượng Fermi có ý nghĩa rất quan trọng trong lý thuyết bán dẫn. Từ biểu thức trên ta thấy rằng mức năng lượng Fermi chính là mức năng lượng mà xác suất chiếm chỗ của điện tử là ½. Nếu ở nhiệt độ không tuyệt đối, các mức năng lượng E<EF bị chiếm đầy hoàn toàn và ngược lại thì bị bỏ trống. Khi nhiệt độ lớn hơn 00K thì xác suất chiếm chỗ của điện tử giảm dần từ mức năng lượng thấp đến mức năng lượng cao như được minh họa trên hình 2.11. Xác suất chiếm chỗ của lỗ trống chính bằng 1-f(E).
Để tính nồng độ hạt dẫn trong vùng dẫn và vùng hóa trị, ngoài hàm xác suất cần biết nồng độ phân bố các trạng thái năng lượng. Nồng độ trạng thái năng lượng ở gần đáy vùng dẫn có thể tính được theo biểu thức (2-10):
(2-10) Vùng gần đỉnh vùng hóa trị (E<EV) được xác định bằng biểu thức:
(2-11)
Trong các biểu thức trên mn* và mp* lần lượt là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong vùng dẫn và lỗ trống trong vùng hóa trị. Đối với bán dẫn thuần nồng độ trạng thái trong vùng cấm N(E)=0.
Hàm phân bố nồng độ điện tử trong vùng dẫn bằng tích số giữa hàm phân bố nồng độ trạng thái trong vùng dẫn và hàm xác suất chiếm các mức năng lượng đó. Do đó lấy tổng của hàm này từ đáy vùng dẫn đến biên phía trên của nó ta sẽ được nồng độ điện tử trong vùng dẫn:
(2-12) Tương tự như vậy ta có nồng độ lỗ trống trong vùng hóa trị:
(2-13)
Các kết quả trên đây được tính một cách gần đúng, tuy nhiên kết quả thu được cũng khá tin cậy. Lý do vì ta chỉ tính cho các vùng gần đáy và đỉnh của vùng dẫn và vùng hóa trị. Mặc dù vậy ta chỉ cần biết nồng độ trạng thái năng lượng của các vùng đó cũng có thể tính được nồng độ hạt dẫn.
44
Như vậy, ta thấy rằng nồng độ điện tử trong vùng dẫn và lỗ trống trong vùng hóa trị của chất bán dẫn thuần là bằng nhau.
Giả thiết rằng chất bán dẫn đang xét có mức Fermi nếu nằm gần vùng dẫn thì vẫn cách đáy vùng này một khoảng lớn hơn 2KT; nếu nằm gần vùng hóa trị thì cũng cách vùng này một khoảng lớn hơn 2KT. Chất bán dẫn có đặc tính như vậy gọi là chất bán dẫn không suy biến. Khi đó xác suất chiếm mức năng lượng của điện tử và lỗ trống có thể viết lại là:
(2-14) (2-15)
Đặt các biểu thức (2-10) và (2-14) vào biểu thức (2-12) ta thu được: (2-16)
Tương tự ta có:
(2-17)
Trong đó Nc và Nv lần lượt là nồng độ trạng thái hiệu dụng trong vùng dẫn và vùng hóa trị và được tính như sau:
(2-18)
(2-19) Nếu lấy tích của hai biểu thức (2-16) và (2-17) ta sẽ có:
(2-20)
Theo biểu thức trên thì tích số giữa nồng độ điện tử và lỗ trống của bán dẫn không suy biến bất kỳ chỉ phụ thuộc vào độ rộng vùng cấm và nhiệt độ mà không phụ thuộc vào nồng độ pha tạp và mức năng lượng Fermi của chất bán dẫn. Do đó nếu biết nồng độ của điện tử có thể biết nồng độ của lỗ trống và ngược lại biết nồng độ của lỗ trống ta tính được nồng độ của điện tử.
45
Để phân biệt bán dẫn thuần và bán dẫn pha tạp ta dùng kí hiệu ni và pi để chỉ nồng độ của điện tử và lỗ trống trong bán dẫn thuần. Ta viết lại như sau:
(2-21) (2-22) Như trên đã nói ta có ni = pi.
Dựa vào các biểu thức trên ta tìm được mức năng lượng Fermi: (2-23) Từ biểu thức trên ta thấy mức Fermi nằm ở gần giữa vùng cấm.
Đối với bán dẫn thuần trong điều kiện cân bằng nhiệt động có thể viết: nipi = ni2
ni được gọi là cặp điện tử lỗ trống và được xác định bởi biểu thức sau:
(2-24) Trong đó A được tính bởi:
(2-25)
Từ các phân tích trên ta có thể viết lại: n0p0 = ni2.
Các biểu thức (2-16), (2-17) xác định nồng độ hạt dẫn bất kỳ trong bán dẫn bất kì, ta có thể biến đổi chúng thành dạng trong đó các nồng độ này được xác định bằng biểu thức cặp điện tử lỗ trống của bán dẫn thuần và sự biến đổi của mức Fermi:
(2-26) (2-27) Hai biểu thức trên rất thuận lợi khi tính toán.
Bây giờ ta xét bán dẫn không thuần, bán dẫn pha tạp chất. Khi pha tạp chất mức Fermi của chất bán dẫn sẽ không nằm ở giữa vùng cấm như với chất bán dẫn thuần nữa mà tùy theo loại pha tạp mà nó bị dịch chuyển đi. Những tạp chất donor làm cho mức năng lượng này dịch lên gần sát đáy vùng dẫn còn tạp chất acceptor làm cho mức Fermi
46
dịch chuyển xuống gần sát đỉnh vùng hóa trị. Lượng pha tạp càng nhiều thì độ dịch chuyển càng lớn.
Xét bán dẫn loại N:
Giả sử rằng ở nhiệt độ phòng các donor đều bị ion hóa hoàn toàn. Khi đó trong vùng dẫn của bán dẫn nồng độ điện tử tăng lên một lượng gần bằng nồng độ tạp chất donor ND. Như đã biết nồng độ hiệu dụng các trạng thái năng lượng có thể bị chiếm trong vùng dẫn là Nc. Các trạng thái này có thể bị điền đầy bởi các đienẹ tử từ vùng hóa trị hay từ các donor. Trong thực tế, các điện tử từ donor sẽ chiếm đầy các trạng thái chính ở những vị trí thấp nhát của vùng dẫn. Có thể tính gần đúng trạng thái bị chiếm bởi tỷ lệ ND/Nc. Do đó, những điện tử nhảy từ vùng hóa trị lên vùng dẫn phải có năng lượng đủ lớn để chiếm các mức năng lượng cao của điện tử là rất nhỏ bởi vậy xác suất xuất hiện lỗ trống trong vùng hóa trị cũng rất nhỏ. Nồng độ điện tử trong vùng dẫn của bán dẫn pha tạp loại N lớn hơn rất nhiều so với nồng độ lỗ trống trong vùng hóa trị. Ta gọi điện tử là hạt dẫn đa số, lỗ trống là hạt dẫn thiểu số.
Phân tích tương tự như vậy với bán dẫn loại P. Trong bán dẫn loại P, điện tử là hạt dẫn thiểu số, lỗ trống là hạt dẫn đa số.
Trong bán dẫn pha tạp số hạt dẫn trội lên không phải do quá trình phát xạ cặp điện tử lỗ trống mà do quá trình ion hóa các tạp chất được pha tạp. Do đó để tìm nồng độ hạt dẫn pha tạp cần tính được nồng độ của tạp chất. Các nguyên tử tạp chất tạo ra trong vùng cấm các mức năng lượng mà hạt dẫn có thể chiếm chỗ. Mỗi trạng thái theo nguyên lý Pauli chỉ có một hạt dẫn chiếm chỗ. Khi đó nồng độ tạp chất được tính bởi các biểu thức sau:
(2-28) (2-29)
Trong đó NA, ND lần lượt là nồng độ tạp chất acceptor và donor. NA-, N+D lần lượt là nồng độ tạp chất donor và acceptor bị ion.
47
Giả sử rằng bán dẫn là đồng nhất, khi đó ở trạng thái cân bằng nhiệt động bao giờ cũng thỏa mãn điều kiện trung hòa về điện tích, nghĩa là:
q( N+D + NA- + p0 + n0 ) = 0 (2-30)
Áp dụng điều kiện trung hòa về điện cho bán dẫn pha tạp cả donor và acceptor ta sẽ có:
Trên cơ sở biểu thức này ta có thể tìm được vị trí mức Fermi trong bán dẫn pha tạp đã cho. Việc giải phương trình trên rất khó khăn. Để giải nó người ta phải thêm vào một số điều kiện làm kết quả thu được kém phần tổng quát.
Giả thiết ở nhiệt độ phòng các tạp chất đều bị ion hóa hoàn toàn, nghĩa là ND = ND+, NA = NA-. Nếu điều đó xảy ra ta thấy các số hạng e mũ trong biểu thức (2-28), (2- 29) rất nhỏ so với 1. Đơn giản biểu thức trên ta có:
(2-31)
Theo đó ta tính được sự di chuyển của mức Fermi trong bán dẫn pha tạp tạp chất. Đối với bán dẫn loại N vì ND >> NA nên sự di chuyển của mức Fermi có thể theo biểu thức sau:
(2-32)
Ta thấy rằng mức Fermi nằm trên mức Fermi chuẩn của bán dẫn khi chưa pha tạp. Mức Fermi càng dịch chuyển lên đáy vùng dẫn khi lượng pha tạp càng lớn tức là ND càng lớn.
Dựa vào mức Fermi ta có thể tính được nồng đọ điện tử nn (hạt dẫn đa số) và nồng độ lỗ trống (hạt thiểu số) trong bán dẫn loại N:
(2-33)
48
Tương tự như vậy với bán dẫn loại P khi để ý rằng NA>>ND, ta có: