PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TRONG CÁC CẤU KIỆN THÉP
2.3.2. Thuật toán DT3D ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) trong bài toán truyền nhiệt ba chiều
bài toán truyền nhiệt ba chiều
2.3.2.1. Mô hình phần tử hữu hạn
Khảo sát sự phân bố nhiệt độ của một phần tử 6 mặt bất kỳ có 8 nút
(1,2,3,4,5,6,7,8) lần lượt được đánh số như trên hình 2.8a trong tọa độ X(x,y,z)
Với mục đích đơn giản hóa việc xác định giải tích cho phần tử có dạng phức tạp này, phương pháp PTHH đưa ra khái niệm phần tử tham chiếu [4]. Phần tử tham chiếu thường là những phần tử đơn giản, được xác định trong không gian tham chiếu mà từ đó có thể biến đổi nó thành phần tử thực nhờ một phép biến đổi hình học re. Phép biến đổi này phải thỏa mãn các tính chất sau:
- Phép biến đổi phải có tính song ánh đối với mọi điểm trong hoặc trên biên phần tử quy chiếu, tức là mỗi điểm thuộc phần tử quy chiếu ứng với một và chỉ một điểm thuộc phần tử thực và ngược lại.
Phần tử bậc nhấtPhần tử bậc hai Phần tử bậc ba Hình 2.7a. Phần tử tham chiếu 3 chiều - dạng tứ diện
45
Phần tử bậc nhấtPhần tử bậc hai Phần tử bậc ba Hình 2.7b. Phần tử quy chiếu 3 chiều - dạng lập phương
- Mỗi phần biên của phần tử quy chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó phải ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Xét một phần tử 6 mặt có hình dạng bất kỳ, thực hiện phép biến đổi về phần tử tham chiếu xác định trong hệ tọa độ địa phương W(x,h,z) (hình 2.8b). Khi đó hàm nhiệt độ T(x,y,z) biến thiên theo tọa độ x,y,z sẽ biến đổi thành hàm hợp T[x(x,h,z), y(x,h,z), z(x,h,z)] biến thiên theo tọa độ địa phương x,h,z.
(a) Trong hệ tọa độ tổng quát X(x,y,z)
Hình 2.8. Mô hình phần tử 6 mặt khảo sát 2.3.2.2. Xây dựng hàm dạng
Phần tử khảo sát có vecto nhiệt độ tại các nút Te = [T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8]’ (b) Trong hệ tọa độ địa phương W(x,h,z)
46
Lý thuyết PTHH đưa ra khái niệm hàm dạng N để biểu thị mối quan hệ giữa nhiệt độ T tại điểm M bất kỳ trong phần tử và nhiệt độ tại các nút. Xây dựng hàm dạng Ni
có dạng: Ni(x,h,z) bằng đơn vị tại nút i và bằng 0 tại các nút còn lại (hàm dạng Lagrange) [4]. Cụ thể Ni được xác định cho từng nút như sau :
N1 = (1-x)(1-h)(1-z)/8
N2 = (1+x)(1-h)(1-z)/8
N3 = (1+x)(1-h)(1+z)/8
N4 = (1-x)(1-h)(1+z)/8
Khi này, ta có thể biểu thị nhiệt độ T tại một điểm M(x,y,z) bất kỳ trong phần tử khảo sát như sau:
8
T( x,y,z,t ) = åNi ( x,y,z )Ti ( t ) (2.21)
i =1
Nhờ nguyên tắc mô tả đẳng tham số, ta cũng có thể biểu thị tọa độ của điểm
M(x,y,z) theo tọa độ các nút:
x = åNi xi ;
i =1
Xét hàm nhiệt độ T(x,y,z) = T[x(x,h,z), y(x,h,z), z(x,h,z)]. Thực hiện lấy đạo hàm hàm hợp T:
Hay viết dưới dạng ma trận: é
ê ê ê
ê
ê
ê ê
47 é ¶x ê ê ¶x Đặt J = ê ê ¶h ê ¶x ê ë ¶z ¶y ¶x ¶y ¶h ¶y ¶ z ¶x ¶z ú û J13 ù J23 ú ú là ma trận Jacobien, (2.25) J 33 ú û
é ¶T ù ê ú ê ¶xú ê ¶T ú ® = J ê ¶h ú ê ú ê ¶T ú ê ú ë ¶z û
2.3.2.3. Xây dựng ma trận truyền nhiệt của hệ
Quay lại thực hiện giải phương trình truyền nhiệt tổng quát (2.18) theo phương pháp Galerkin [8]. Xem phần tử đang xét là một miền tính toán V, vì phần tử gồm 8 nút nên chia miền tính toán V thành 8 phần tử con và lời giải của phương trình có
8
dạng T* ( x,y,z,t ) = åfi Ti ( t ) với fi ( x,y,z ) là hàm thử được chọn sẵn, phải liên
i =1
tục trên toàn miền tính toán và xác định trong từng phần tử con. Trong trường hợp này ta chọn hàm thử fi ( x,y,z ) theo hàm dạng Ni ( x,y,z ) (vì Ni
kiện cần thiết của hàm thử). Thay T* vào (2.18) ta có số dư:
¶
Phương pháp Galerkin thiết lập công thức dưới dạng tích phân để cực tiểu số dư
ở (2.28), khi đó các giá trị Ti được tính toán từ hệ phương trình sau:
òwj ê çl
¶x
ê
è
Vë
với wj ( x,y,z ) là hàm trọng số bất kỳ, nếu chọn wj ( x,y,z ) = N j ( x,y,z ) thì (2.29) được viết lại dưới dạng:
¶ æ l
¶y ç
áp dụng định lý Green-Gauss (tích phân từng phần 3 chiều) và định lý phân kỳ Stokes [63], phương trình (2.30) được viết dưới dạng:
æ æ ¶N j ¶T* - ç l ç òç V è è S
với S là diện tích biên bao của miền tích phân V. Sử dụng điều kiện biên (2.19) thì:
æ ¶T lò N j ç S è æ ¶N j ¶ ® -l òç Vè - òN j qodS - òN j h(Tc - T* )dS = 0 S S 8 8
Thay T* ( x,y,z,t ) = åfi ( x,y,z )Ti ( t ) = åNi ( x,y,z )Ti ( t ) vào (2.33):
i=1 i =1 (2.31) (2.32) (2.33) -l + òç NjQ - Nj Ni rC ö )÷dX + ø - NiTi ( t ))dS = 0 (2.34)
49
là ma trận truyền nhiệt của cả hệ
[C] = òN j Ni rCdX
V
{f } = òN jQdX - òN j qodS - ò N j hTcdS
V S S
Phương trình (2.34) có thể viết gọn dưới dạng: ì¶T ü [C]í ý + [K ]{T} = {f } (2.35) (2.36) (2.37) (2.38)
2.3.2.4. Rời rạc hóa các bước thời gian trong quá trình khảo sát
Giá trị nhiệt độ T thay đổi phụ thuộc vào thời gian, có thể sử dụng chuỗi Taylor
[63] để mô tả mối quan hệ giữa nhiệt độ T tại bước thời gian n+1 và bước thời gian
n:
Hình 2.9. Sự biến thiên nhiệt độ T từ bước thời gian n đến n+1
T( n+1 ) = Tn + Dt
50
Trên hình 2.9, nếu thừa nhận sự biến thiên T là tuyến tính thì tại thời điểm t(n+k)
trong bước thời gian từ n đến n+1: T ( n+ k ) = kT ( n+1 ) + (1 - k )T n
Thay (2.40) và (2.41) vào (2.38), ta có: ì T ( n+1 ) [C]í Dt î ([C]+ kDt [K ])T ( n+ 1 ) = ([C]- (1 - k )Dt [K ])T n + Dt (k {f }( n+1 ) + (1 - k ){f }( n ) ) (2.42) Trong các công thức từ (2.28) đến (2.35), giá trị độ dẫn nhiệt l được xem như không đổi trong suốt quá trình tính. Tuy nhiên đối với vật liệu thép, độ dẫn nhiệt la
thay đổi đáng kể phụ thuộc vào nhiệt độ theo công thức (2.15). Vì vậy ma trận truyền nhiệt [K] thay đổi theo các bước thời gian, cần thiết chọn khoảng Dt đủ nhỏ để sai số của hệ số dẫn nhiệt giữa hai bước thời gian là chấp nhận được, tức là:
å (d( la((ni+)1 ) ))2
Giá trị sai số tương đối D( la( i ) ) =
Trong đó: d( l( n+ 1 ) ) = l ( n+1 ) - l( n )
a( i )
ở bước thời gian thứ n+1.
Khi đó có thể lấy k=0,5 và áp dụng công thức (2.42) để xác định nhiệt độ theo từng bước thời gian đã được rời rạc hóa. Các bước tính của thuật toán DT3D ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt ba chiều có thể được trình bày theo sơ đồ khối hình 2.10.
51
52