5- Câu hỏi và bài tập
4.2.4- Đại l−ợng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất
a- Đại l−ợng ngẫu nhiên
Là đại l−ợng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó với xác suất t−ơng ứng xác định.
Đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc ký hiệu bằng chữ in hoa: X, Y, Z… Các giá trị có thể nhận, ký hiệu bằng chữ in th−ờng: x, y, z,… Đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc chia thành hai loại:
- Đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: là đại l−ợng ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm đ−ợc (liệt kê đ−ợc).
- Đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng liên tục trên trục số, không thể liệt kê đ−ợc.
Bộ mơn Tự động hố http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện b- Quy luật phân phối xác suất của đại l−ợng ngẫu nhiên
Quy luật phân phối xác suất của đại l−ợng ngẫu nhiên X là hình thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của X với các xác suất t−ơng ứng.
* Bảng phân phối xác suất: Dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất cho đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc.
X x1 x2 x3 … xk p p1 p2 p3 … pk
* Hàm phân phối xác suất F(x): của đại l−ợng ngẫu nhiên X là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x với x là một số thực bất kỳ.
F(x) = p(X < x)
Nếu X là đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc thì i
i x x
F(x) p < =∑ Tính chất của hàm phân phối:
+ 0 ≤ F(x) ≤ 1 với mọi x.
+ F(x) không giảm nghĩa là x1 < x2 ⇒ F(x1) < F(x2). + p(x1 ≤ X ≤ x2) = F(x2) - F(x1) + F(+∞) = 1( xlim F(x) 1 →+∞ = ); F(-∞) = 0 ( xlim F(x) 0 →−∞ = )
* Hàm mật độ xác suất (chỉ áp dụng cho đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục) f(x): của đại l−ợng ngẫu nhiên X là đạo hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất của đại l−ợng ngẫu nhiên đó. Tính chất của hàm mật độ xác suât: + f(x) ≥ 0 với mọi x. + b a p(a < x < b) = f(x)dx∫ + x F(x) f(t)dt −∞ = ∫ + f(x)dx 1 ∞ −∞ = ∫
c- Các thông số đặc tr−ng của đại l−ợng ngẫu nhiên
* Kỳ vọng toán: kỳ vọng toán của đại l−ợng ngẫu nhiên đặc tr−ng cho giá trị trung bình của đại l−ợng ngẫu nhiên đó.
X là đại l−ợng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X x1 x2 x3 … xk
p p1 p2 p3 … pk
Kỳ vọng toán của X đ−ợc tính bởi cơng thức sau:
k i i i 1 E(x) x p = =∑
Nếu X là đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x): E(x) xf(x)dx
∞ −∞ = ∫
Tính chất của kỳ vọng tốn: + E(C) = C với C = const. + E(Cx) = C.E(x)
+ E(X+Y) = E(X) + E(Y)
* Ph−ơng sai: Ph−ơng sai của một đại l−ợng ngẫu nhiên đặc tr−ng cho độ phân tán các giá trị có thể có của đại l−ợng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng tốn của nó. Ph−ơng sai là kỳ vọng tốn của bình ph−ơng sai lệch giữa đại l−ợng ngẫu nhiên X so với kỳ vọng tốn của nó E(X):
D(X) = E([X - E(X)]2) = E(X2) - [E(X)]2
Nếu X là đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc thì:
k
2 2
i i i=1 E(X ) = ∑x p
Nếu X là đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục thì: E(X )2 x f(x)dx2 ∞
−∞ = ∫ Tính chất của ph−ơng sai:
+ D(C) = 0
+ D(CX) = C2.D(X)
+ Nếu X và Y là các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập: D(X+Y) = D(X) + D(Y)
* Độ lệch tiêu chuẩn σ của đại l−ợng ngẫu nhiên là căn bậc hai của ph−ơng sai của đại l−ợng ngẫu nhiên đó.
(X) D(X)
σ = , σ có cùng thứ nguyên với đại l−ợng ngẫu nhiên.