5- Câu hỏi và bài tập
3.11- Ví dụ minh họa
Cho hệ điều khiển tự động sau có sơ đồ cấu trúc nh− trên hình 3.7 với các tham số nh− sau: u(t) = 1(t);
K1 = 100; T1 = 0,01; K2 = 0,5; T2 = 0,02.
B−ớc cắt mẫu chọn T = 0,001 Hãy mơ hình hóa hệ trên máy tính, viết ch−ơng trình trên máy tính bằng ngơn ngữ Pascal với các u cầu cụ thể sau:
- Tìm hàm quá độ.
- In ra 100 kết quả bằng số. - Vẽ đ−ờng cong quá độ y(t).
- Dùng phần mềm Matlab để kiểm tra kết quả tính.
Giải
1. Tìm ph−ơng trình sai phân của hệ
Ta có hàm truyền hệ kín nh− sau: + + = = + + + + + + + 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 K 1 s (T s 1)(T s 1) K W(s) K K 1 T T s (T T )s s K K 1 s (T s 1)(T s 1) Thay = − + 2 z 1 s
T z 1ta nhận đ−ợc hàm truyền gián đoạn của hệ W(z):
+ + + = = + + + 3 3 2 3 2 KT (z 3z 3z 1) Y(z) W(z) Az Bz Cz D U(z), trong đó: A = 8T1T2 + 4T1T + 4T2T + 2T2 + K1K2T3 B = 24T1T2 - 4T1T - 4T2T + 2T2 + 3K1K2T3 C = 24T1T2 - 4T1T - 4T2T - 2T2 + 3K1K2T3 D = 8T1T2 + 4T1T + 4T2T - 2T2 + 3K1K2T3 Ta có hàm sai phân sau:
Az3Y(z)+Bz2Y(z)+CzY(z)+DY(z) = K1T3[z3U(z)+3z2U(z)+3zU(z)+U(z)]
Dùng tính chất dịch gốc của biến đổi Z ta tìm đ−ợc ph−ơng trình sai phân t−ơng ứng với ph−ơng trình trên:
AY[k+3]+BY[k+2]+CY[k+1]+DY[k]=K1T3(U[k+3]+3U[k+2]+3U[k+1]+U[k]) Vì tín hiệu vào là tín hiệu nhảy cấp u(t) = 1(t) nên ta có:
U[k+3]=U[k+2]=U[k+1]=U[k]=1
Vậy ta có: AY[k+3]+BY[k+2]+CY[k+1]+DY[k] = 8K1T3
Cuối cùng ta tìm đ−ợc ph−ơng trình sai phân của hệ điều khiển tự động là: Y[k+3] = (-BY[k+2]-CY[k+1]-DY[k] + 8K1T3)/A
Từ ph−ơng trình sai phân ta viết ch−ơng trình máy tính để tìm đáp ứng ra y(t) của hệ khi tín hiệu vào là hàm nhảy cấp 1(t). ở phần sau là ch−ơng trình mơ hình hóa của hệ đã cho đ−ợc viết bằng ngôn ngữ Pascal.
1 s 1 1 2 K (T s 1)(T s 1)+ + K2 u(t) u(t)
2. Ch−ơng trình Pascal program MO_HINH_HOA; uses crt,graph;var a,b,c,d,max,k1,k2,t1,t2,t,tm,tod,xicma:real; gd,gm,k,km,ky,i:integer; y:array[0..1000]of real; st:string; BEGIN clrscr; k1:=100; k2:=0.5; t1:=0.01; t2:=0.02; t:=0.002; y[0]:=0; y[1]:=0; y[2]:=0; a:=8*t1*t2+4*t1*t+4*t2*t+2*t*t+k1*k2*t*t*t; b:=-24*t1*t2-4*t1*t-4*t2*t+2*t*t+3*k1*k2*t*t*t; c:=24*t1*t2-4*t1*t-4*t2*t-2*t*t+3*k1*k2*t*t*t; d:=-8*t1*t2+4*t1*t+4*t2*t-2*t*t+k1*k2*t*t*t; for k:=0 to 997 do begin y[k+3]:=(-b*y[k+2]-c*y[k+1]-d*y[k]+8*k1*t*t*t)/a; {in ra 100 gia tri}
end;
writeln('100 gia tri cach nhau'); for k:=1 to 100 do
begin
write('y[',k*10:3,']=',y[k*10]:5:4); if (k mod 6)=0 then writeln; if k=102 then readln; end; writeln; {tim gia tri ymax} max:=y[0]; for k:=0 to 1000 do if y[k]>max then begin max:=y[k]; km:=k; end;
{Tim khoang thoi gian on dinh Tod} k:=1000;
Bộ mơn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện while abs((y[k]-(1/k2))/(1/k2))<=0.05 do
k:=k-1; tod:=k*t;
{in cac gia tri ra man hinh}
writeln('Thoi gian on dinh la Tod:',tod:8:4); xicma:=(max-1/k2)*100/(1/k2);
writeln('Gia tri cuc dai la ymax=',max:8:4);
writeln('Do qua dieu chinh xicma=',xicma:8:4,'%'); writeln('Thoi gian dat cuc dai la tm=',km*t:8:4); {Ve hinh}
write('Hay cho he so gian truc y:ky='); readln(ky); gd:=detect;
initgraph(gd,gm,'C:\TP\BGI'); setbkcolor(white);
setcolor(blue); outtextxy(53,5,'Y');
outtextxy(600,360,'t(s)'); {Ve cac truc toa do}
outtextxy(240,390,'KHAO SAT QTQD HE THONG'); str(max:8:4,st);
outtextxy(20,410,'GIA TRI CUC DAI LA:Ymax='+st); str(km*t:8:4,st); outtextxy(320,410,'THOI GIAN DE DAT CUC DAI:Tmax='+st); str(xicma:8:4,st);
outtextxy(20,430,'DO QUA DIEU CHINH LA: xicma%='+st); str(Tod:8:4,st);
outtextxy(320,430,'THOI GIAN ON DINH LA: Tod='+st); setcolor(5);
line(50,350,620,350); {Ve truc toa do} line(50,5,50,350);
line(50,5,47,15); {Ve mui ten truc y} line(50,5,53,15);
line(620,350,615,347); {Ve mui ten truc t}
line(620,350,615,353); for k:=1 to 6 do {Khac do truc t} begin
str(100*(k-1)*t:2:1,st); outtextxy(k*100-60,357,st); line(k*100-50,347,k*100-50,353); end;
for k:=0 to 10 do {khac do truc y} begin
str(k/(5*k2):4:2,st);
outtextxy(5,345-round(ky*k/(5*k2)),st);
line(47,350-round(ky*k/(5*k2)),53,350-round(ky*k/(5*k2))); end;
str(max:6:4,st); outtextxy(round(tm/t)+60,340-round(ky*max),'Ymax='+st); str(1/k2:2:1,st); outtextxy(560,335-round(ky/k2),'Yod='+st); outtextxy(km+50,330,'Tmax'); outtextxy(round(tod/t)+50,330,'Tod'); outtextxy(round(tod/t)+70,315-round(ky/k2),'5%Yod'); moveto(50,350); setlinestyle(Dottedln,0,1); line(round(tod/t)+49,350-round(ky*y[round(tod/t)]),round(tod/t)+49,350); line(50,350-round(ky*max),km+50,350-round(ky*max)); line(km+50,350-round(ky*max),km+50,350);
line(50,350-round(1.05*ky/k2),620,350-round(1.05*ky/k2)); {duong sai so} line(50,350-round(0.95*ky/k2),620,350-round(0.95*ky/k2));
setlinestyle(SolidLn,0,1);
line(50,350-round(ky/k2),620,350-round(ky/k2)); {duong on dinh} line(round(tod/t)+100,350-round(1.05*ky/k2),round(tod/t)+100,330- round(1.05*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(1.05*ky/k2),round(tod/t)+97,340-round(1.05*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(1.05*ky/k2),round(tod/t)+103,340- round(1.05*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(0.95*ky/k2),round(tod/t)+100,370- round(0.95*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(0.95*ky/k2),round(tod/t)+97,360-round(0.95*ky/k2)); line(round(tod/t)+100,350-round(0.95*ky/k2),round(tod/t)+103,360- round(0.95*ky/k2)); {Ve do thi} for k:=1 to 560 do begin if GraphResult<>grOK then halt(1); setlinestyle(SolidLn,$C3,ThickWidth); setcolor(Blue);lineto(k+50,350-round(ky*y[k])); end; delay(1000);
repeat until keypressed; closegraph;
END.
Chạy ch−ơng trình cho ta kết quả nh− sau:
Các kết quả tính tốn đ−ợc chạy bằng ch−ơng trình mơ phỏng y[10] = 0.04337 y[20] = 0.29299 y[30] = 0.75050 y[40] = 1.31746 y[50] = 1.87936 y[60] = 2.34186 y[70] =2.64644 y[80] = 2.77405 y[90] = 2.74026
Bộ mơn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện y[100] = 2.58526 y[110] = 2.36174 y[120] = 2.12303
y[130] = 1.91377 y[140] = 1.76399 y[150] = 1.68700 y[160] = 1.68067 y[170] = 1.73107 y[180] = 1.81739 y[190] = 1.91701 y[200] = 2.00984 y[210] = 2.08120 y[220] = 2.12331 y[230] = 2.13507 y[240] = 2.12090 y[250] = 2.08878 y[260] = 2.04810 y[270] = 2.00773 y[280] = 1.97460 y[290] = 1.95293 y[300] = 1.94404 y[310] = 1.94674 y[320] = 1.95810 y[330] = 1.97431 y[340] = 1.99153 y[350] = 2.00656 y[360] = 2.01725 y[370] = 2.02267 y[380] = 2.02301 y[390] = 2.01929 y[400] = 2.01301 y[410] = 2.00581 y[420] = 1.99914 y[430] = 1.99403 y[440] = 1.99105 y[450] = 1.99025 y[460] = 1.99132 y[470] = 1.99366 y[480] = 1.99660 y[490] = 1.99951 y[500] = 2.00188 y[510] = 2.00343 y[520] = 2.00405 y[530] = 2.00383 y[540] = 2.00300 y[550] = 2.00182 y[560] = 2.00058 y[570] = 1.9995 y[580] = 1.99874 y[590] = 1.99836 y[600] = 1.99834 y[610] = 1.99862 y[620] = 1.99907 y[630] = 1.99959 y[640] = 2.00007 y[650] = 2.00044 y[660] = 2.00065 y[670] = 2.00070 y[680] = 2.00062 y[690] = 2.00045 y[700] = 2.00024 y[710] = 2.00003 y[720] = 1.99986 y[730] = 1.99975 y[740] = 1.99971 y[750] = 1.99972 y[760] = 1.99979 y[770] = 1.99987 y[780] = 1.99996 y[790] = 2.00004 y[800] = 2.00009 y[810] = 2.00012 y[820] = 2.00012 y[830] = 2.00010 y[840] = 2.00007 y[850] = 2.00003 y[860] = 1.99999 y[870] = 1.99997 y[880] = 1.99995 y[890] = 1.99995 y[900] = 1.99996 y[910] = 1.99997 y[920] = 1.99998 y[930] = 2.00000 y[940] = 2.00001 y[950] = 2.00002 y[960] = 2.00002 y[970] = 2.00002 y[980] = 2.00002 y[990] = 9.00001 y[1000] = 2.00000
3. Ch−ơng trình Matlab
Dùng phần mềm Matlab vẽ đ−ờng đặc tính quá độ của hệ điều khiển tự động nhằm đối chứng với kết quả của ch−ơng trình mơ phỏng.
K1 = 100; K2 = 0.5; T1 = 0.01; T2 = 0.02; Num = K1;%Tu so cua ham truyen W(s) Den = [T1*T2,T1+T2,K1*K2];
step(Num,Den)
title('Dac tinh qua do cua he DKTD') xlabel('t (s)') ylabel('y(t)') Kết qủa mơ phỏng bằng Matlab nh− hình 3.9 4. Nhận xét về kết quả mơ phỏng
Ch−ơng trình cho kết quả là tín hiệu ra y(k) d−ới dạng số, cứ cách 10 số in ra một số liệu. Ch−ơng trình cũng cho kết quả d−ới dạng đồ thị đ−ờng cong quá độ của hệ điều khiển tự động và tính các đặc tính q độ nh−: ymax, yơđ, σmax, Tmax, Tôđ. Kết quả cho thấy hai đ−ờng cong do
Hình 3.8- Kết quả mơ phỏng bằng ngơn ngữ Pascal
Bộ mơn Tự động hố http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện ch−ơng trình mơ hình hóa và phần mềm Matlab vẽ ra trùng nhau, điều đó chứng tỏ thuật tốn
mơ hình hóa là đúng.
3.12- Câu hỏi và bài tập
1. Hãy trình bày ph−ơng pháp tìm hàm sai phân của hệ điều khiển tự động liên tục. 2. Tìm hàm sai phân của hệ liên tục có hàm truyền sau:
= + + 2 K W(s) s(s 2a Ks K)
3. Hãy dùng máy tính mơ phỏng và khảo sát q trình q độ của hệ liên tục có sơ đồ cấu trúc nh− hình 4.8 với các thơng số sau:
K1 = 50; K2 = 0,2; T1 = 0,5; T2 = 0,1 B−ớc cắt mẫu T = 0,01; số b−ớc tính k = 1000 Yêu cầu: - Tính và in ra các chỉ tiêu đánh giá chất l−ợng sau đây:
+ Giá trị cực đại của tín hiệu ra: y(k)max. + Độ quá điều chỉnh: δmax. + Giá trị ổn định của tín hiệu ra: y(k)ơđ. + Thời gian đạt giá trị y(k)max: Tmax. + Thời gian đạt giá trị y(k)ôđ: Tqđ.
- Dùng Matlab vẽ đ−ờng cong quá trình quá độ của hệ trên. So sánh các kết quả và rút ra các kết luận về ph−ơng pháp mô phỏng.
1 1 2 K (T s 1)(T s 1)+ + K2 u(t) u(t)
Hình 4.10- Sơ đồ cấu trúc của hệ ĐKTĐ
Ch−ơng 4 - Mơ hình hóa các hệ ngẫu nhiên 4.1- Khái niệm về mơ hình hóa các hệ ngẫu nhiên
Hệ ngẫu nhiên là hệ trong đó có các biến ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên đ−ợc đặc tr−ng bởi luật phân phối xác suất.
Thực chất của ph−ơng pháp này xây dựng mơ hình xác suất là xây dựng trên máy tính hệ thống S với các quan hệ nội tại của nó trong đó có các biến ngẫu nhiên. Đầu vào của hệ có tác động mang tính ngẫu nhiên nh− số l−ợng các sự kiện xảy ra, thời gian giữa các sự kiện hoặc tác động của môi tr−ờng xung quanh E. Trên cơ sở đó phân tích các tín hiệu đầu ra ng−ời ta nhận đ−ợc dáng điệu phản ứng của hệ thống. Ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc gọi là ph−ơng pháp mô phỏng (Simulation). Mỗi một lần thực hiện phép thử ng−ời ta thu đ−ợc một lời giải chứa đựng những thông tin về dáng điệu của hệ thống S. Nếu số phép thử N đủ lớn thì kết quả thu đ−ợc bằng cách lấy trung bình theo xác suất sẽ ổn định và đạt độ chính xác cần thiết.
Ph−ơng pháp mơ phỏng th−ờng đ−ợc dùng để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên nh−ng đồng thời trong một số tr−ờng hợp cũng có thể dùng để giải các bài tốn đối với hệ tiền định.
4.2- Cơ sở lý thuyết xác suất 4.2.1- Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 4.2.1- Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1- Phép thử và biến cố
Khi thực hiện một số điều kiện nào đó ta nói rằng đã thực hiện một phép thử. Cịn hiện t−ợng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đ−ợc gọi là biến cố.
Ví dụ: Hành động tung một con súc sắc là thực hiện một phép thử cịn việc xuất hiện mặt nào đó đ−ợc gọi là biến cố.
Có 3 loại biến cố:
- Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử.
- Biến cố khơng thể có (V): là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. - Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra khi thực hiện phép thử.
1- Xác suất của một biến cố
Xác suất P(A) của biến cố A là một con số đặc tr−ng cho khả năng khách quan để xuất hiện biến cố A khi thực hiện phép thử.
1- Quan hệ giữa các biến cố:
- Tích các biến cố: Biến cố A đ−ợc gọi là tích của các biến cố A1, A2, …, An nếu A xảy ra khi cả n biến cố Ai (i = 1ữ n) cùng đồng thời xảy ra: A = A1, A2, …, An.
Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 môn, điều kiện để đỗ tốt nghiệp là khơng có mơn nào bị điểm liệt.
- Tổng các biến cố: Biến cố A đ−ợc gọi là tổng của các biến cố A1, A2, …, An nếu A xảy ra khi có ít nhất 1 trong số n biến cố Ai (i = 1ữ n) xảy ra: A = A1+ A2+ …+ An.
Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 môn, HS sẽ tr−ợt tốt nghiệp nếu có một mơn bị điểm liệt. - Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B đ−ợc gọi là xung khắc với nhau nếu chúng
Bộ mơn Tự động hố http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện Các biến cố A1, A2, …, An đ−ợc gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào
trong chúng cũng xung khắc với nhau. Các biến cố A1, A2, …, An đ−ợc gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn.
Ví dụ: Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ khi tung một con súc sắc thì A, B là hệ đầy đủ.
- Biến cố đối lập: A và A đ−ợc gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo thành hệ đầy đủ các biến cố hay nói cách khác là một và chỉ một trong hai biến cố phải xảy ra sau phép thử.
4.2.2- Định nghĩa xác suất
Ví dụ: Tung một con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Tìm P(A).
Khi thực hiện phép thử có 6 tr−ờng hợp đồng khả năng xảy ra, tuy nhiên chỉ có một kết quả. Trong đó có 3 tr−ờng hợp mà nếu chúng xảy ra sẽ làm cho biến cố xảy ra (đó là các tr−ờng hợp 2, 4, 6 chấm). Các tr−ờng hợp làm cho biến cố xảy ra đ−ợc gọi là các tr−ờng hợp thuận lợi cho biến cố.
P(A) = 3/6 = 0,5
Định nghĩa cổ điển về xác suất: Nếu trong một phép thử có tất cả n tr−ờng hợp đồng
khả năng xảy ra trong đó có m tr−ờng hợp thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A đ−ợc định nghĩa là P(A) = m/n.
Các tính chất của xác suất:
- Xác suất của biến cố ngẫu nhiên hoặc bất kỳ: 0 < P(A) < 1. - Xác suất của biến cố chắc chắn: P(A) = 1 (m = n).
- Xác suất của biến cố khơng thể có: P(A) = 0 (m = 0).
Định nghĩa thống kê về xác suất: Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số
giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử đ−ợc thực hiện.
Gọi số lần xuất hiện biến cố A là k và tần số xuất hiện biến cố A là f(A), ta có: f(A)=k/n. Nếu tần số xuất hiện biến cố A luôn luôn dao động xung quanh một số xác định p nào đó khi số phép thử tăng lên khá lớn mà tần suất xuất hiện biến cố A càng tiến gần tới p thì p đ−ợc gọi là xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê: p(A) ≈ f(A).
4.2.3- Các định lý xác suất
a- Định lý cộng xác suất:
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B). Tr−ờng hợp tổng quát: Nếu A1, A2,…, An là xung khắc từng đơi thì xác suất của tổng các biến cố bằng tổng các xác suất: n n i i i 1 i 1 p( A ) p(A ) = = = ∑ ∑ b- Định lý nhân xác suất
- Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố A đ−ợc tính với điều kiện biến cố B khơng xảy ra đ−ợc gọi là xác suất có điều kiện của A và đ−ợc kí hiệu là p(A/B).
- Biến cố độc lập: Biến cố A đ−ợc gọi là độc lập với biến cố B nếu việc A xuất hiện hay không cũng không ảnh h−ởng đến xác suất biểu hiện của B. Các biến cố A1, A2,…, An đ−ợc
gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một số bất kỳ biến cố trong các biến cố còn lại.
Định lý: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì p(AB) = p(A).p(B) = p(B).p(A/B)
Tổng quát: Nếu A1, A2, …, An các biến cố bất kỳ thì: p(A1A2…An) = p(A1)p(A2/A1)…p(An/A1A2…An-1)
Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,…, An độc lập tồn phần thì: p(A1A2…An) = p(A1)p(A2)…p(An)
c- Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayer
Giả sử H1, H2,…, Hn là hệ đầy đủ các biến cố. Biến cố A có thể xảy ra cùng với một trong những biến cố Hi (i = 1ữn). Khi đó:
n i i i 1 p(A) p(H )p(A / H ) = =∑ d- Công thức Bernoulli
- Dãy phép thử độc lập: các phép thử đ−ợc gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ khơng phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở các phép thử khác hay không.
- Tiến hành n phép thử độc lập. Mỗi phép thử chỉ có hai tr−ờng hợp xảy ra: hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra.
Xác suất để biến cố A xảy ra trong từng phép thử đều bằng p.
Xác suất để biến cố A không xảy ra trong từng phép thử đều bằng q = 1 - p.
Những bài toán thoả mãn các điều kiện trên đ−ợc gọi là tuân theo l−ợc đồ Bernoulli. Xác suất để trong n phép thử độc lập biến cố A xảy ra đúng k lần không kể thứ tự:
k k n k n n p (k)=C p q −
Xác suất để trong n phép thử đó biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần không kể thứ tự:
2 2 1 1 k k k k n k n 1 2 n n k k k k p (k , k ) p (k) C p q − = = = ∑ =∑
Ví dụ: Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,7. Tìm xác suất để có đúng 3 viên đạn trúng mục tiêu.
n = 5; k = 3; p = 0,7 ⇒ 3 3 2 5 5
p (5)=C .p .q =0, 441
4.2.4- Đại l−ợng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất
a- Đại l−ợng ngẫu nhiên
Là đại l−ợng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó với xác suất t−ơng ứng xác định.
Đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc ký hiệu bằng chữ in hoa: X, Y, Z… Các giá trị có thể nhận, ký hiệu bằng chữ in th−ờng: x, y, z,… Đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc chia thành hai loại:
- Đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: là đại l−ợng ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm đ−ợc (liệt kê đ−ợc).
- Đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng liên tục trên trục số, không thể liệt kê đ−ợc.
Bộ mơn Tự động hố http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện