4 Thuật giải và kết quả tính điện trở tuyến tính theo mô hình RSJ
4.1 Thuật giải hàm resistivity()
4.1.1 Phân tích bài toán
Để tính điện trở tuyến tính theo hệ thức Kubo, ta cần tiến hành qua hai bước chính.
Bước thứ nhất là tính giá trị của biến thăng giángαµ(t)tại mỗi thời điểm. Biến thăng giáng được tính thông qua siêu dòng và dòng nhiễu cho bởi công thức (3.36).
dαµ(t) dt =− 1 L3 X n [Sµ(n, t) +ηµ(n, t)] (4.1)
Để giải phương trình vi phân bậc nhất này, tại mỗi thời điểm ta cần phải biết giá trị của siêu dòng Sµ, nghĩa là phải biết giá trị của biến pha θ(n, t). Biến pha được suy ra từ việc giải hệ phương trình tuyến tính
M x=c (4.2)
trong đó x là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm N = L3 thành phần. Mỗi thành phần của nghiệm thực chất là đạo hàm theo thời gian của biến pha xi =
dθi(t)/dt (chỉ sối được tính từ công thức (3.20)). Từ đại lượng này ta có thể suy ra giá trị của các biến pha tại mỗi đảo siêu dẫn thông qua việc giải các phương trình vi phân bậc nhất độc lập ở mỗi đảo. Vế phải của hệ phương trình, vec-tơ c, gồm N
thành phần được xây dựng từ công thức (3.22). Ma trận M là một mảng có kích thước N ×N và có dạng như trong công thức (3.21).
Một số lưu ý trong việc lưu giá trị αµ(t) để sử dụng cho việc tính điện trở tuyến tính sau này:
1. Ta cần một khoảng thời gian hồi phục tr ban đầu đủ lớn để hệ về trạng thái cân bằng, do vậy trong khoảng thời gian này ta không cần lưu giá trị αµ. 2. Sau thời gian hồi phục, ta lưu các giá trị αµ từ thời điểm tr đến tr+ta để sử
dụng cho việc tính trung bình theo thời gian. Ta có thể lưu tất cả các giá trị của biến thăng giáng tại mỗi thời điểmt trong khoảng(tr, tr+ta)hoặc lưu các giá trị của biến thăng giáng tại các thời điểm cách nhau một khoảng ∆t.
Bước thứ hai, sau khi có giá trị của biến thăng giáng αµ tại các thời điểm, ta sử dụng hệ thức Kubo để tính giá trị điện trở tuyến tính. Công thức gần đúng tính điện trở tuyến tính theo hướng µcho bởi công thức (3.34)
Rµ' L 2 2T 1 Θ [αµ(Θ)−αµ(0)]2® (4.3)
Kí hiệu h. . .i mang ý nghĩa lấy trung bình theo thời gian. Giá trị điện trở tuyến tính của hệ sẽ là trung bình cộng theo ba hướng µ= x, y, z như công thức (3.35). Ngoài ra, để thu được kết quả tin cậy của điện trở tuyến tính, ta cần phải lấy trung bình trên nhiều mẫu khác nhau.
Lưu ý rằng, với việc sử dụng Landau gauge cho thế vec-tơ (3.24), điều kiện biên tuần hoàn cho biến pha θ(n) sẽ có dạng [39]:
θ(nx+L, ny, nz) = θ(nx, ny, nz) (4.4a)
θ(nx, ny+L, nz) = θ(nx, ny, nz)−2πf Lnx (4.4b)
θ(nx, ny, nz+L) = θ(nx, ny, nz) (4.4c)
Đại lượng −2πf Lnx xuất hiện trong (4.4b) để thoả mãn điều kiện
Ay(L).Ly−Ax(L).Lx = 2πl (4.5)
với l là một số nguyên không âm. Vế trái của phương trình trên là tổng từ thông đi qua mặt xy còn vế phải là một số nguyên lần của 2π. Do đó đây chính là điều kiện lượng tử hoá từ thông. Việc sử dụng điều kiện lượng tử hoá từ thông không làm mất đi ý nghĩa điều kiện biên tuần hoàn của bài toán vì các đại lượng vật lý quan sát được như siêu dòng, hiệu điện thế vẫn thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn.
Hàm resistivity()
Mục đích: tính điện trở tuyến tính theo công thức (4.3)
Input: tương tácJµ(n), thế vec-tơAµ(n), biến pha khởi tạoθ(n, t= 0)
Output: giá trị điện trở tuyến tínhρlin
Hàm con: hàmlhs(): xây dựng ma trậnM, hàmrhs(): xây dựng vec-tơc, hàm
LaLinearSolve(M,x,c): giải hệ phương trình tuyến tính M.x =c, hàminvert_base(i,&x,&y,&z): chuyển kí hiệu i→(x, y, z)
Thuật giải:
Bước 1: Tính và lưu giá trị biến thăng giángαµ(t) 1. αµ←0,m←0 và gọi hàmlhs() 2. Lặpttừ 1 đến tr+ta (a) gọi hàm rhs() (b) gọi hàmLaLinearSolve(M,x,c) (c) lặpitừ 1 đến L3 i. gọi hàm invert_base(i,&x,&y,&z) ii. θ(x,y,z)←θ(x,y,z) +H∗x[i] (d) αµ←αµ+H∗dαµ/dt
(e) nếu t≥tr vàt−tr chia hết cho ∆t
i. saveµ[m]←αµ
ii. m←m+ 1
Bước 2: Tính điện trở tuyến tínhρlin theo hệ thức Kubo
1. MAX←m−1,count←0,temp←0.0và NT2←Θ/∆t
2. Lặpmtừ NT2 đến MAX
(a) temp←temp+Pµ(saveµ[m]−saveµ[m−NT2])2
(b) count←count+ 1
3. ρlin=3Θ1 2LT2counttemp
Mục này chỉ nói đến hàm tính điện trở tuyến tính resistivity(), là hàm quan trọng nhất trong toàn bộ chương trình (cấu trúc toàn bộ chương trình chính có thể xem ở phụ lục B). Chi tiết thuật giải hàm resistivity()được trình bày ở hình 4.1. Hàm resistivty() được xây dựng gồm hai bước chính như đã phân tích ở phần trước. Trong bước thứ nhất có một số vần đề cần lưu ý:
1. Để có thể gọi hàm giải hệ phương trình tuyến tính LaLinearSolve(M,x,c), ta phải sử dụng thư viện LAPACK++. Thư viện LAPACK++ cho phép lập trình bằng ngôn ngữ C++, được xây dựng trên nền tảng là thư viện LAPACK cho ngôn ngữ
FORTRAN. Nguyên nhân sử dụng thư viện LAPACK++ là do tính đơn giản trong việc khai báo các hàm. Ví dụ để giải hệ phương trình A.x=B, ta có thể khai báo như sau
1 #include "lapackpp.h" 2
3 int main(int argc, char *argv[]) 4 { 5 int N; 6 LaGenMatDouble A(N,N); 7 LaVectorDouble B(N), x(N); 8 9 ... 10 11 LaLinearSolve(A,x,b); 12 }
Dòng 1 khai báo thư viện hàm lapackpp.h, dòng 6 khai báo mảng hai chiều kích thước N × N, dòng 7 khai báo vec-tơ B và vec x kích thước N, hàm
LaLinearSolve() ở dòng 11 dùng để giải hệ phương trình. Do vậy, ma trậnM
được xây dựng trong hàmlhs()phải khai báo là một mảng hai chiều như dòng 6 và vec-tơc trongrhs() được khai báo như mảng một chiều trong dòng 7 của đoạn mã giải (code) trên.
2. Như phân tích trong mục 3.4.1, để tránh khỏi tình trạng định thức của ma trận
Mbằng không, ta cố định gốc điện thế bằng cách thay một phương trình trong hệ phương trình tuyến tính bởi hệ thứcPndθ(n)/dt = 0. Điều này tương đương với việc thay tất cả các phần tử trong một dòng của ma trận M bởi phần tử 1 và thay phần tử tương ứng trong vec-tơc bởi phần tử 0.
3. Để giải phương trình vi phân cho biến thăng giáng cũng như biến pha, chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng bậc nhất Euler với bước nhảy thời gian
H = 0.05t0 (t0 là đơn vị thời gian). Để có kết quả tốt hơn, ta có thể sử dụng các phương pháp gần đúng bậc cao hơn như Runge-Kutta bậc 2 hay bậc 4. Tuy
nhiên thời gian tính toán tăng tỉ lệ thuận với số bậc của phương pháp nên chúng tôi tạm thời dùng phương pháp Euler.
Đối với bước thứ hai, có một lưu ý là thời gian Θcần đủ lớn (ΘÀt0) để đảm bảo sự gần đúng của công thức tính điện trở tuyến tính, cụ thể trong chương trình của chúng tôi Θ = 20.000 t0 tương đương với 4×105 bước nhảy. Giá trị này lớn hơn giá trị Θ = 16.000 t0 được sử dụng trong [41]. Có một cách để thu được kết quả đáng tin cậy hơn là thay vì chỉ sử dụng một giá trị Θ, ta có thể chạy cho nhiều Θ khác nhau [42]. Với mỗi Θ ta tính giá trị của hàm
f(Θ)≡ L2 2T P µ [αµ(Θ)−αµ(0)]2® 3 (4.6)
và giá trị điện trở tuyến tính ρlin được suy ra từ hàm f(Θ) = ρlinΘ. Tuy nhiên vì khối lượng tính toán lớn và giới hạn về thời gian cho một khoá luận nên chúng tôi chưa sử dụng được phương pháp này.
4.1.3 Những khó khăn trong tính toán
Khó khăn thứ nhất trong việc chạy chương trình mô phỏng điện trở tuyến tính là giải một hệ phương trình tuyến tính với kích thước lớn tại mỗi bước thời gian. Khó khăn này xuất phát từ mô hình mạng cầu Josephson ba chiều. Với mỗi kích thước L, ta phải xây dựng một hệ phương trình tuyến tính kích thướcN =L3. Giả sử kích thước của hệ tăng lên gấp đôi thì kích thước của hệ phương trình tuyến tính sẽ tăng lên gấp 23 = 8 lần và do đó thời gian tính cho những hệ kích thước lớn sẽ tăng lên rất nhiều. Dưới đây là bảng thống kê và đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của thời gian tính t vào kích thước hệ L cho trường hợp chạy thử với tr = 10.000 bước tính. Chương trình được chạy trên hệ thống cluster của phòng Vật lý tính toán, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên với cấu hình mỗi máy như sau:
• CPU Dual Core AMD Opteron 64-bit 2GHz , RAM 1GB
• Các máy nối mạng Ethernet 1Gigabit, Switch Gigabit + NIC (network Interface Card) Gigabit
• Hệ điều hành GNU/Debian Linux 64 bit.
• Phần mềm hỗ trợ: thư viện hàm LAPACK++ hỗ trợ giải hệ phương trình tuyến tính
L N t (phút) 4 64 0.09696 6 216 2.18798 8 512 23.44161 10 1000 132.63865 12 1728 610.07411 14 2744 2312.6936
Bảng 4.1: Bảng thống kê thời gian tính theo kích thước hệ chotr = 10.000bước
0 500 1000 1500 2000 2500 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t(min) L T = 1.2 tr = 10.000
Hình 4.2: Sự phụ thuộc của thời gian tính vào kích thước hệ với số bước tính tr= 10.000
Tuy nhiên, số liệu trên chỉ là kết quả chạy thử cho tr = 10.000 bước. Để thu được kết quả đáng tin cậy, như phân tích ở khó khăn tiếp theo, tr cần đạt tới khoảng 2.000.000 bước tính hoặc hơn. Với số bước tính này, thời gian tính cho một nhiệt độ và một mẫu của hệ L= 10 sẽ khoảng 26527 phút hay 18 ngày, với L = 12thời gian tính khoảng84 ngày và vớiL= 14thời gian tính lên đến 321 ngày. Do vậy trong giới hạn thời gian của một khoá luận, chúng tôi chỉ chạy đến kích thước L= 8.
Khó khăn thứ hai là xác định số bước tính cho thời gian hồi phục tr ở các nhiệt độ khác nhau bởi vì thời gian hồi phục quyết định đến sự ổn định của kết quả tính. Ta biết thời gian hồi phục càng lớn giá trị điện trở sẽ càng ổn định nhưng việc tăng thời gian hồi phục đồng nghĩa với việc tăng thời gian tính toán. Do vậy ta cần phải
xác định giá trị thời gian hồi phục thích hợp để kết quả thu được đáng tin cậy đồng thời tiết kiệm được thời gian tính toán. Đối với thời gian lấy trung bình ta, ta có thể chọnta= 2tr như trong [43]. Hình 4.3 là kết quả khảo sát sự phụ thuộc của điện trở tuyến tính ρlin vào thời gian hồi phục tr cho hai nhiệt độT = 1.2 và T = 0.5 đối với hệ có kích thước L= 4. (a) 0.0E0 2.0E-2 4.0E-2 6.0E-2 8.0E-2
0E0 1E6 2E6 3E6 4E6 5E6 6E6
ρlin tr T=1.2 (b) 0.0E0 2.0E-4 4.0E-4 6.0E-4 8.0E-4 1.0E-3 1.2E-3
0E0 1E6 2E6 3E6 4E6 5E6 6E6
ρ lin
tr
T=0.5
Hình 4.3: Sự thay đổi của điện trở tuyến tính theo thời gian hồi phục đối với hệ có kích thướcL= 4, (a) nhiệt độT = 1.2, (b) nhiệt độT = 0.5
• Ở nhiệt độ cao T = 1.2 (đồ thị (a)), điện trở thăng giáng mạnh trong khoảng thời gian hồi phục nhỏ hơn2×106 bước nhảy (tương đương với 100.000 t0). Từ thời gian này trở đi, giá trị điện trở ổn định và ít thăng giáng.
• Ở nhiệt độ thấp T = 0.5 (đồ thị (b)), điện trở vẫn thăng giáng đến những giá trị thời gian hồi phục khoảng 4×106 bước nhảy (200.000 t0). Đây là đặc trưng của hệ siêu dẫn mất trật tự vì ở nhiệt độ thấp, thăng giáng nhiệt không lớn nên hệ cần một thời gian hồi phục lớn để có thể trở về trạng thái ổn định. Tuy nhiên, từ đồ thị (b), ta cũng có thể thấy bắt đầu từ khoảng 2×106, độ thăng giáng của điện trở giảm đi đáng kể so với trước đó.
Do vậy, chúng tôi quyết định chọn bước tính thời gian hồi phục cho tất cả các nhiệt độ là 2×106 tương đương với tr = 100.000 t0. Đối với những nhiệt độ thấp, để thu được giá trị tin cậy chúng tôi chạy nhiều mẫu để lấy trung bình thay vì tăng thời gian hồi phục.
4.2 Kết quả mô phỏng điện trở tuyến tính
Trong khoá luận này, chúng tôi xét cho trường hợp f = 1/4. Đại lượng f đặc trưng cho độ lớn từ trường ngoài, cho bởi biểu thức (3.27). Giá trị f được chọn tương ứng với mật độ từ trường là 2π/4 trong hệ đơn vị của chúng tôi1. Nhiệt độ T được chọn trong khoảng từ [0.5,1.2]. Nguyên nhân chọn các thông số này là để so sánh trực tiếp với kết quả của tác giả H. Kawamura [17] (f = 1/4, T ∈ [0.6,1.1]), tác giả Peter Olsson [44] (f = 1/4, T ∈ [0.55,1.1]) và của nhóm tác giả Hoàng Dũng [18] [19] (f = 1/4, T ∈[0.25,1.2]).
Bước nhảy thời gian được chọn là ∆t = 0.05, số bước thời gian hồi phục là tr = 2×106 và cho thời gian tính trung bình làta = 4×106. Kích thước hệ được mô phỏng làL= 4,6và 8. Số mẫu lấy trung bình và sai số của kết quả được liệt kê ở các bảng 4.2, 4.3 và 4.4. Tất cả các tính toán được thực hiện trên hệ thống cluster của phòng Vật lý Tính toán, khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên TPHCM.
Hình 4.4 thể hiện sự phụ thuộc của điện trở tuyến tínhρlinvào nhiệt độ T cho kích thước hệ L= 8. Đối với các kích thướcL= 4, L= 6 đồ thị cũng có dạng tương tự.
Chúng tôi nhận thấy khi nhiệt độ giảm xuống, giá trị điện trở tuyến tính giảm mạnh về không. Điều này cho thấy khả năng tồn tại chuyển pha vortex-glass ở một
Nhiệt độ T 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Số mẫu 30 30 30 60 70 80 90 100
Sai số 4.0% 5.5% 4.0% 6.0% 7.5% 7.5% 10.5% 10.5% Bảng4.2: Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L= 4
Nhiệt độ T 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Số mẫu 20 20 25 25 35 60 60 60
Sai số 5.5% 5.5% 7.0% 6.0% 9.0% 10.5% 13.5% 15.0% Bảng4.3: Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L= 6
Nhiệt độ T 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Số mẫu 5 5 10 20 20 25 25 30
Sai số 9.5% 8.5% 10.0% 12.0% 13.0% 15.0% 18.0% 18.0% Bảng4.4: Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L= 8
0.0E0 5.0E-3 1.0E-2 1.5E-2 2.0E-2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ρ lin T L8
Hình 4.4: Sự phụ thuộc điện trở tuyến tính vào nhiệt độ đối với hệ có kích thướcL= 8
nhiệt độ khác không. Tuy nhiên hình vẽ trên chỉ mang ý nghĩa định tính chứ chưa thể cho kết luận về sự tồn tại của chuyển pha vortex-glass.
Để khảo sát chuyển pha vortex-glass, chúng tôi sử dụng định luật scaling cho hiện tượng tới hạn đã trình bày ở mục 2.4 chương 2. Ở gần điểm chuyển pha, điện trở
tuyến tính tuân theo dạng scaling (2.33)
ρlin(T, L) = Ld−2−zGe£L1/ν(T −Tc)¤ (4.7)
Lưu ý rằng công thức (4.7) chỉ đúng ở gần nhiệt độ chuyển pha vì tại đó độ dài tương quan ξ phân kì đến giá trị L. Ở xa nhiệt độ chuyển pha điện trở tuyến tính sẽ phụ thuộc vàoξ thay vìL. Do vậy điện trở tuyến tính khi ở xa nhiệt độ chuyển pha sẽ rất ít ảnh hưởng bởi kích thước vì khi đó ξ ¿L còn khi đến gần nhiệt độ chuyển pha sự ảnh hưởng vào kích thước của điện trở tuyến tính sẽ càng rõ rệt.
Đồ thị 4.5 thể hiện sự phụ thuộc của điện trở tuyến tính vào nhiệt độ cho các kích thước khác nhau là 4, 6 và 8 nhưng bây giờ trục tung (trục ρlin) được vẽ trên thang log. Nguyên nhân chuyển sang thang log vì khi vẽ trên thang thông thường, giá trị điện trở tuyến tính ở các nhiệt độ thấp của các kích thước đều rất nhỏ nên khó phân biệt trên hình vẽ.
Kết quả ở đồ thị 4.5 cho thấy, đối với nhiệt độ caoT = 1.2, điện trở tuyến tính của các kích thước 4,6 và 8 rất gần nhau. Do đó chúng tôi kết luận rằng nhiệt độ T = 1.2 ở xa nhiệt độ chuyển pha. Khi nhiệt độ giảm dần, sự ảnh hưởng của kích thước lên kết quả điện trở tuyến tính thể hiện rõ nét hơn. Theo định luật scaling cho điện trở tuyến tính, chúng tôi kết luận có tồn tại chuyển pha vortex-glass trong vùng nhiệt độ