4 Thuật giải và kết quả tính điện trở tuyến tính theo mô hình RSJ
3.2Hai loại mất trật tự trong mạng cầu Josephson, (a) mất trật tự liên
(a) (b)
Hình3.2: Hai loại mất trật tự trong mạng cầu Josephson, (a) mất trật tự liên kết, (b) mấttrật tự vị trí trật tự vị trí
Mất trật tự liên kết là loại mất trật tự liên quan đến hằng số tương tác Jij. Tương tác này không bằng nhau tại mọi nơi mà phụ thuộc vào từng nút mạng i và j. Còn mất trật tự vị trí đặc trưng bởi từ trường ngoài tại các cầu nối
Aij = 2π/Φ0
j
Z
i
Trong trường hợp này các đảo siêu dẫn được xem như không còn nằm tại vị trí các nút mạng. Điều này dẫn đến giá trị Aij không còn như nhau tại mỗi cầu nối. Như vậy, để mô tả chất siêu dẫn nhiệt độ cao mất trật tự, ta có thể cho đại lượngJij hoặc
Aij nhận những giá trị ngẫu nhiên. Với mỗi cách chọnJij hay Aij mà ta có những mô hình khác nhau. Sau đây ta sẽ khảo sát một số mô hình thông dụng nhất được dùng để nghiên cứu trạng thái vortex-glass cho hệ ba chiều.
3.2 Các mô hình thông dụng
Các mô hình được sử dụng để khảo sát trạng thái vortex-glass khá phong phú, trong đó nhiều mô hình xuất phát từ mô hình XY. Giống với mô hình XY trong sắt từ, mô hình XY ở đây có pha của thông số trật tự φ quay trong không gian hai chiều. Mục này chỉ tập trung trình bày các mô hình ba chiều (3D) xuất phát từ mô hình XY bao gồm mô hìnhgauge glass, mô hìnhXY bất đẳng hướng và mô hìnhmạng XY ( lattice XY model).
Mô hình gauge glass
Mô hình gauge glass là mô hình được sử dụng sớm nhất và phổ biến nhất để nghiên cứu các chất siêu dẫn nhiệt độ cao mất trật tự [10]. Mô hình này giả sử yếu tố mất trật tự chỉ nằm ở biến thế vec-tơ Aij, còn tương tác Josephson Jij được xem là hằng số J. Hamiltonian có dạng:
H=−JX
hi,ji
cos (θi−θj −Aij) (3.4)
Trong đó, tổng được lấy theo các cặp lân cận gần nhất. Biến Aij có thể nhận những giá trị ngẫu nhiên trong khoảng (0,2π) hoặc (−π, π).
Mô hình này tuy đơn giản nhưng vẫn chứa yếu tố đặc trưng cho pha vortex- glass là mất trật tự. Các tính toán dựa trên mô hình này cho hệ ba chiều đã cho thấy chuyển pha vortex-glass xảy ra tại nhiệt độ xác định với các chỉ số tới hạn
ν '1.3, z '4−5[10] [11].
Mặc dù vậy mô hình này vẫn có một số nhược điểm: thứ nhất, yếu tố mất trật tự của mô hình gauge glass nằm trong thế vec-tơ nhưng thực tế yếu tố mất trật tự lại nằm ở tương tác JosephsonJij;thứ hai, trong mô hình này thế vec-tơ hoàn toàn đẳng hướng do Aij được lấy ngẫu nhiên. Điều này khác với thực tế vì từ trường trong các chất siêu dẫn có hướng xác định.
Mô hình XY bất đẳng hướng
Để tránh khỏi nhược điểm của mô hình gauge glass một số mô hình khác đã ra đời trong đó có mô hình XY bất đẳng hướng [13] và mô hình mạng XY [12]. Cả hai mô hình đều đưa yếu tố mất trật tự vào tương tácJij và từ trường ngoài được giả sử theo hướng z. Hamiltonian của mô hình XY bất đẳng hướng có dạng
H =−X iµ
Jiµcos (θi−θi+ˆµ−Aiµ+δµ) (3.5)
với θi là pha của thông số trật tự tại đảo thứ i và tổng được lấy theo tất cả các liên kết µ= x, y, z với đảo i. Từ trường đưa vào theo hướngz có độ lớn đặc trưng bởi f
và được chọn Aix = 2πf yi, Aiy = Aiz = 0. Còn biến δµ là đại lượng dùng cho điều kiện biên xoắn (twist boundary condition). Trong mô hình này, sự mất trật tự được đưa vào tương tác Jiµ như sau
Jiµ=J⊥(1 +p²iµ), µ=x, y Jiµ=Jk, µ=z
trong đó, ²iµ là các biến độc lập tuân theo phân bố Gauss, h²iµi= 0 và h²iµi2 = 1, p
là đại lượng đặc trưng cho độ mất trật tự. Mô hình này được gọi là bất đẳng hướng vì Jk thường được chọn nhỏ hơnJ⊥, ví dụ như Jk =J⊥/40 [13].
Kết quả mô phỏng của mô hình này cũng cho thấy chuyển pha vortex-glass xảy ra ở nhiệt độ hữu hạn. Kết quả các chỉ số tới hạn tĩnh học ν = 1.5±0.3 cho thấy mô hình này cùng nằm trong một lớp phổ quát với mô hình gauge glass.
Mô hình mạng XY
Mô hình mạng XY được đề xuất bởi Kawamura [12] vào năm 2000 để khảo sát trạng thái vortex glass. Mô hình này cũng đã được sử dụng rất hiệu quả để khảo sát nhiều lĩnh vực khác trong siêu dẫn nhiệt độ cao như giải thích hiệu ứng Meissner thuận từ [37], điện trở xoay chiều trong chất siêu dẫn mất trật tự [38],... Hamiltonian của hệ lập phương L×L×L trong từ trường theo hướngz có dạng
H=− X <i,j> Jijcos (θi−θj −Aij) (3.6) Aij = 2π φ0 j Z i A(r)dr (3.7)
trong đó tổng hi, jicũng được lấy theo các cặp gần nhất. Thế vec-tơ được Kawamura chọn trong Landau gauge và có dạng Ai = (Ax
i, Ayi, Az
i) = (0, h.ix,0)với h= 2πf và 1 ≤ ix ≤ L. Yếu tố mất trật tự được đưa vào trong tương tác Josephson bằng cách cho Jij nhận những giá trị ngẫu nhiên trong khoảng [0,2J] với J >0.
Bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phân tích scaling cho tỉ số Binder, Kawamura tìm thấy chuyển pha vortex-glass xảy ra ở nhiệt độ hữu hạn khác không nhưng với chỉ số tới hạn tĩnh họcν = 2.2 [12]. Sự khác biệt này với các mô hình khác là do sử dụng điều kiện biên mở. Trong bài báo tiếp theo [17] Kawamura thay bằng điều kiện biên tuần hoàn và chỉ số tới hạn được tìm thấy là ν = 1.1. Nhóm Hoàng Dũng đã kiểm tra lại kết quả của mô hình này bằng phương pháp mô phỏng động học Langevin và phân tích scaling cho điện trở phi tuyến [18]. Kết quả của nhóm khẳng định lại kết quả của Kawamura là chuyển pha vortex-glass xảy ra tại nhiệt độ hữu hạn và chỉ số tới hạn tĩnh là ν = 1.1±0.2. Ngoài ra nhóm cũng tìm được chỉ số tới hạn động z = 5.1±0.3. Kết quả này cho thấy mô hình vortex-glass cũng nằm cùng lớp phổ quát với hai mô hình trên.
Mục đích của bài tiểu luận này là kiểm tra lại kết quả của Kawamura và nhóm Hoàng Dũng bằng mô hình động học RSJ và khảo sát các tính chất tới hạn của điện trở tuyến tính. Các phần tiếp theo của chương này sẽ trình bày kĩ về mô hình động học RSJ và cách tính điện trở tuyến tính của mạng cầu Josephson ba chiều mất trật tự.
Để thuận tiện cho tính toán về sau ta chuyển kí hiệu trong Hamiltonian của mô hình mạng XY. Vị trí mỗi đảo siêu dẫn sẽ được kí hiệu làn= (nx, ny, nz), vec-tơ chỉ hướng mạng làµ=xˆ,ˆy,ˆzvà liên kết giữa 2 đảo lân cận ivà j bây giờ trở thành liên kết giữa nvà n+µ(liên kếtij ≡ liên kết n, µ). Các biến liên quan đến i, j được viết lại: θi−θj →θ(n+µ)−θ(n) (3.8) Aij →Aµ(n) = 2π φ0 n+µ Z n A(r)dr (3.9) Hamiltonian trở thành: H=−X n,µ Jµ(n) cosθµ(n) (3.10)
trong đó, biến pha mới θµ(n) được định nghĩa:
3.3 Mô hình động học RSJ
Để khảo sát tính chất động học của mạng cầu Josephson người ta thường sử dụng mô hình động học RSJ (Resistively-Shunted-Junction). Mô hình này giả thiết ngoài dòng siêu dẫn Is, giữa các đảo siêu dẫn còn có thêm dòng điện thường In và dòng nhiễu Langevin IL. Các dòng giữa đảo n và n+µđược định nghĩa như sau:
Is= 2e ~Jµ(n) sinθµ(n, t) (3.12) In= V R0 = ~ 2eR0 dθµ(n, t) dt (3.13) IL=ηµ(n, t) (3.14)
Để thuận tiện cho việc tính toán về sau, ta chuyển sang các đại lượng dạng không thứ nguyên. Hệ đơn vị được sử dụng là:
• đơn vị dòng điện I0 = 2eJ0/~.
• đơn vị thời gian t0 =φ0/2πI0R0.
• đơn vị điện thếV =R0I0.
• đơn vị nhiệt độ T =J0/kB.
• đơn vị năng lượng là J0.
Như vậy, dòng đi qua cầu Josephson giữa hai đảo siêu dẫn thứ n và n+µ là
Iµ(n, t) = dθµ(n, t)
dt +Jµ(n) sinθµ(n, t) +ηµ(n, t) (3.15)
Sự bảo toàn dòng tại đảo thứnở một thời điểmtbất kỳ được cho bởi công thức [39] X
µ
[Iµ(n)−Iµ(n−µ)] = 0 (3.16)
Thay (3.15) vào (3.16), ta thu được phương trình động học tại nút n
X µ · dθµ(n) dt − dθµ(n−µ) dt ¸ =−X µ [Sµ(n) +ηµ(n)−Sµ(n−µ)−ηµ(n−µ)] (3.17) trong đó Sµ(n) kí hiệu cho siêu dòng tại thời điểm đang xét
Phương trình (3.17) cho ta một phương trình động học của các biến pha tại nút
n trong mạng cầu Josephson ba chiều. Như vậy, khi xét tất cả các nút ta có một hệ
N =L×L×L phương trình động học cho N biến pha. Hệ phương trình này có thể viết lại dưới dạng rút gọn sau
M x=c (3.19)
trong đó x là một ma trận cột N thành phần, mỗi thành phần là đạo hàm theo thời gian của biến pha xi = dθi/dt với i = 1,2, ..., N. Việc đánh số thứ tự của θi thông qua biến pha θ(n)≡θ(nx, ny, nz) được thực hiện như sau
i=n2x.L2+ny.L+nz (3.20)
Ma trậnM có kích thướcN×N được xây dựng từ vế trái (l.h.s) của phương trình động học (3.17) l.h.s= X µ · d[θ(n+µ)−θ(n)] dt − d[θ(n)−θ(n−µ)] dt ¸ = dθ(n+ ˆx) dt + dθ(n+ ˆy) dt + dθ(n+ ˆz) dt + + dθ(n−xˆ) dt + dθ(n−yˆ) dt + dθ(n−ˆz) dt −6 dθ(n) dt = dθ(nx+ 1, ny, nz) dt + dθ(nx, ny+ 1, nz) dt + dθ(nx, ny, nz+ 1) dt + dθ(nx−1, ny, nz) dt + dθ(nx, ny−1, nz) dt + dθ(nx, ny, nz−1) dt −6dθ(nx, ny, nz) dt
Viết đầy đủ tất cảN phương trình và sử dụng kí hiệu (3.20) ta sẽ thu được ma trận
M có dạng như sau: Mij = −6 µ= 0 (i=j) 1 µ=±1 0 µ6= 0,±1 (3.21)
Vectơ c được xây dựng từ vế phải của phương trình (3.17) bằng cách hoàn toàn tương tự. Với mỗi nút n ta có một giá trị của c(n)
c(n) =−X µ
[Sµ(n) +ηµ(n)−Sµ(n−µ)−ηµ(n−µ)] (3.22)
Chuyển sang kí hiệu theo i ta sẽ thu được các thành phần ci của vec-tơ c.
Như vậy, sử dụng mô hình RSJ ta đã xây dựng được một hệ phương trình động học cho các biến pha. Giải hệ phương trình này, ta có thể tìm được giá trị của các
biến pha θ(n) và từ đó tính được giá trị điện trở của hệ. Trước khi trình bày cách tính điện trở tuyến tính thông qua biến pha ta tìm hiểu kĩ hơn về các biến và tham số trong mô hình RSJ.
3.4 Các đại lượng trong mô hình RSJ
3.4.1 Biến pha θ(n, t)
Biến phaθ(n)chính là pha của thông số trật tự tại đảo siêu dẫn thứ n = (nx, ny, nz)
Ψ(n) = |Ψ(n)|eiθ(n) (3.23)
Trong mô hình RSJ, biến động học chỉ là pha của thông số trật tự. Điều này đồng nghĩa với việc ta đã giả sử mật độ điện tử siêu dẫn ns = |Ψ|2 là như nhau tại mọi điểm trong hệ siêu dẫn. Do pha của thông số trật tự tuần hoàn theo chu kì2π nên ta có thể chọn các giá trị của θ(n) nằm trong khoảng(−π, π).
Có một chú ý quan trọng là pha của thông số trật tự không xác định đơn trị đối với một trạng thái vật lý cho trước. Nguyên nhân là biến pha có tính đối xứng U(1): nếu ta quay một góc bất kỳ tất cả các biến pha của hệ thì hệ phương trình động học của chúng ta sẽ không thay đổi. Điều này dẫn đến giá trị điện thế tại mỗi đảo siêu dẫn V(n) = dθ(n)/dt cũng không xác định đơn trị. Do vậy khi xây dựng ma trận M
ta sẽ gặp phải tình trạng định thức của M bằng không. Để tránh khỏi điều này, ta cần phải cố định một giá trị điện thế nào đó ví dụ như điện thế tại đảo n= (L, L, L). Có nhiều cách để cố định như bỏ đi một dòng và một cột có chứa biến V(L, L, L)[40] hay cho V(L, L, L) bằng không [39] hoặc cho tổng PnV(n) bằng không [39].
3.4.2 Thế vec-tơ Aµ(n, t) và biến thăng giáng αµ(t)
Đối với thế vec-tơ ta biết rằng phải luôn chọn điều kiện gauge cho nó. Ở đây ta sử dụng điều kiện Landau gauge [39]
Ax =−Hy, Ay =Az = 0 (3.24)
Với cách chọn này, từ trường H=rotA sẽ hướng theo trục z và có độ lớn bằng H. Trong phương trình động học (3.17) thế vec-tơ cho đóng góp vào dòng siêu dẫn (3.18) dưới dạng Aµ(n) được cho bởi công thức (3.9). Bây giờ ta tính cụ thể các giá trị của Aµ(n). Trước tiên, ta kí hiệu lại thế vec-tơ này bằng A0
xét đến thăng giáng. Ta sẽ xét đến sự thăng giáng sau khi khảo sát thế vec-tơA0
µ(n). Đối với trường hợp µhướng theo trục x, ta có
A0 x(n) = 2π φ0 (n+ˆZx)a na A(r)dr= 2π φ0 (n+ˆZx)a na (−Hy)dx =−2π φ0 H(nya)a (3.25)
Trong đó a là hằng số mạng, y = nya là khoảng cách theo trục y từ gốc tọa độ (nx, ny, nz) = (0,0,0) đến nút thứ n. Đối với trường hợp µ= ˆy và µ = ˆz, tích phân sẽ triệt tiêu A0y(n) =A0z(n) = 0 (3.26) Đặt f = Ha 2 Φ0 (3.27)
là đại lượng đặc trưng cho độ lớn từ trường ngoài1. Ta thu được các giá trị củaA0
µ(n) theo f
A0
x(n) =−2πf ny (3.28a)
A0y(n) =A0z(n) = 0 (3.28b)
Bây giờ ta xét đến sự thăng giáng của thế vec-tơ. Nguyên nhân thăng giáng của vec-tơ xuất phát từ việc đưa dòng ngoài vào hệ. Điện trường của dòng ngoài sẽ làm ảnh hưởng và thay đổi thế vec-tơ. Như vậy thế vec-tơ lúc này có dạng [39]
Aµ(n, t) =Aµ(n)−αµ(t) (3.29) Trong đó αµ(t)là đại lượng đặc trưng cho thăng giáng. Việc xét đến thăng giáng của thế vec-tơ là vô cùng quan trọng. Sự thăng giáng của thế vec-tơ sẽ dẫn đến sự thăng giáng của hiệu điện thế. Mà theo hệ thức Kubo thăng giáng của điện thế là cơ sở để tính điện trở tuyến tính của hệ. Ta sẽ trình bày về cách tính điện trở tuyến tính ở mục sau.
3.4.3 Năng lượng tương tác Josephson Jµ(n)
Jµ(n) là đại lượng đặc trưng cho năng lượng tương tác giữa đảo siêu dẫn n vàn+µ. Trong bài toán đối xứng "sóngs",Jµ(n)luôn dương và nhận giá trị ngẫu nhiên trong khoảng 0 đến 2J0 , với J0 là năng lượng tương tác cực đại giữa 2 đảo siêu dẫn. Việc
Jµ(n)nhận giá trị hoàn toàn ngẫu nhiên như vậy tương ứng với hệ siêu dẫn của chúng ta bị mất trật tự hoàn toàn. Đây chính là ý tưởng của mô hình mất trật tự mạng XY.
1Đại lượngf còn được gọi là chỉ số frustration liên quan đến các hiện tượng frustration trong mạng cầu Josephson [25]
3.4.4 Dòng nhiễu Langevin ηµ(n, t)
Dòng nhiễu ηµ(n) là đại lượng đặc trưng cho hiện tượng thăng giáng nhiệt. Dòng nhiễu Langevin thỏa mãn hệ thức tương quan:
hηµ(n, t)i= 0, (3.30)
hηµ(n, t), ηµ0(n0, t0)i= 2kT
R0
δµ,µ0δn,n0δ(t−t0) (3.31)
3.5 Công thức điện trở tuyến tính
Mục đích chính của khóa luận là tìm điện trở tuyến tính của hệ bằng mô hình động học RSJ. Điện trở tuyến tính của hệ theo hướngµcó thể được tính từ hệ thức Kubo. Hệ thức này cho ta mối liên hệ giữa điện trở tuyến tính của hệ với thăng giáng của điện thế. Thật ra hệ thức Kubo là một dạng của fluctuation-dissipation theorem. Định lý này tính các đáp tuyến (linear response) đối với trường ngoài (applied field) thông qua các thăng giáng khi không có trường ngoài của đại lượng liên quan (fluctuations in an associated quantity). Hệ thức Kubo cho điện trở tuyến tính có dạng cụ thể như sau: Rµ= 1 2T +∞ Z −∞ dthVµ(t)Vµ(0)i (3.32)
Trong đó h. . .i kí hiệu việc lấy trung bình theo thời gian,T là nhiệt độ,t là thời gian và Vµ(t) là thăng giáng của điện thế theo hướng µ tại thời điểm t. Thăng giáng của điện thế được tính theo công thức [39]
Vµ(t) =Ldαµ(t)
dt (3.33)
với L là kích thước của hệ. Bằng tính toán gần đúng (xem Phụ lục A), ta có thể đưa công thức điện trở tuyến tính (3.32) từ dạng tích phân về dạng
Rµ' L 2 2T 1 Θ [αµ(Θ)−αµ(0)]2® (3.34)
Ta chú ý rằng công thức trên chỉ đúng cho Θ đủ lớn nghĩa là Θ À t0, với t0 là đơn vị thời gian. Điện trở tuyến tính của hệ được tính bằng trung bình cộng của điện trở theo ba hướng x, y, z. ρlin= 1 3 X µ Rµ (3.35)
Ta thấy để tính điện trở tuyến tính ta cần biết giá trị của biến thăng giángαµ tại mỗi thời điểm, nghĩa là cần biết phương trình động học cho biến αµ(t). Theo Marconi và
Dominguez [39], phương trình động học cho αµ(t)có dạng: dαµ(t) dt =− 1 L3 X n [Sµ(n, t) +ηµ(n, t)] (3.36)
với tổng lấy trên tất cả các nút của hệ.