4 Thuật giải và kết quả tính điện trở tuyến tính theo mô hình RSJ
4.2 Kết quả mô phỏng điện trở tuyến tính
Trong khoá luận này, chúng tôi xét cho trường hợp f = 1/4. Đại lượng f đặc trưng cho độ lớn từ trường ngoài, cho bởi biểu thức (3.27). Giá trị f được chọn tương ứng với mật độ từ trường là 2π/4 trong hệ đơn vị của chúng tôi1. Nhiệt độ T được chọn trong khoảng từ [0.5,1.2]. Nguyên nhân chọn các thông số này là để so sánh trực tiếp với kết quả của tác giả H. Kawamura [17] (f = 1/4, T ∈ [0.6,1.1]), tác giả Peter Olsson [44] (f = 1/4, T ∈ [0.55,1.1]) và của nhóm tác giả Hoàng Dũng [18] [19] (f = 1/4, T ∈[0.25,1.2]).
Bước nhảy thời gian được chọn là ∆t = 0.05, số bước thời gian hồi phục là tr = 2×106 và cho thời gian tính trung bình làta = 4×106. Kích thước hệ được mô phỏng làL= 4,6và 8. Số mẫu lấy trung bình và sai số của kết quả được liệt kê ở các bảng 4.2, 4.3 và 4.4. Tất cả các tính toán được thực hiện trên hệ thống cluster của phòng Vật lý Tính toán, khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên TPHCM.
Hình 4.4 thể hiện sự phụ thuộc của điện trở tuyến tínhρlinvào nhiệt độ T cho kích thước hệ L= 8. Đối với các kích thướcL= 4, L= 6 đồ thị cũng có dạng tương tự.
Chúng tôi nhận thấy khi nhiệt độ giảm xuống, giá trị điện trở tuyến tính giảm mạnh về không. Điều này cho thấy khả năng tồn tại chuyển pha vortex-glass ở một
Nhiệt độ T 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Số mẫu 30 30 30 60 70 80 90 100
Sai số 4.0% 5.5% 4.0% 6.0% 7.5% 7.5% 10.5% 10.5% Bảng4.2: Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L= 4
Nhiệt độ T 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Số mẫu 20 20 25 25 35 60 60 60
Sai số 5.5% 5.5% 7.0% 6.0% 9.0% 10.5% 13.5% 15.0% Bảng4.3: Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L= 6
Nhiệt độ T 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Số mẫu 5 5 10 20 20 25 25 30
Sai số 9.5% 8.5% 10.0% 12.0% 13.0% 15.0% 18.0% 18.0% Bảng4.4: Bảng thống kê số mẫu và sai số của hệ có kích thước L= 8
0.0E0 5.0E-3 1.0E-2 1.5E-2 2.0E-2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ρ lin T L8
Hình 4.4: Sự phụ thuộc điện trở tuyến tính vào nhiệt độ đối với hệ có kích thướcL= 8
nhiệt độ khác không. Tuy nhiên hình vẽ trên chỉ mang ý nghĩa định tính chứ chưa thể cho kết luận về sự tồn tại của chuyển pha vortex-glass.
Để khảo sát chuyển pha vortex-glass, chúng tôi sử dụng định luật scaling cho hiện tượng tới hạn đã trình bày ở mục 2.4 chương 2. Ở gần điểm chuyển pha, điện trở
tuyến tính tuân theo dạng scaling (2.33)
ρlin(T, L) = Ld−2−zGe£L1/ν(T −Tc)¤ (4.7)
Lưu ý rằng công thức (4.7) chỉ đúng ở gần nhiệt độ chuyển pha vì tại đó độ dài tương quan ξ phân kì đến giá trị L. Ở xa nhiệt độ chuyển pha điện trở tuyến tính sẽ phụ thuộc vàoξ thay vìL. Do vậy điện trở tuyến tính khi ở xa nhiệt độ chuyển pha sẽ rất ít ảnh hưởng bởi kích thước vì khi đó ξ ¿L còn khi đến gần nhiệt độ chuyển pha sự ảnh hưởng vào kích thước của điện trở tuyến tính sẽ càng rõ rệt.
Đồ thị 4.5 thể hiện sự phụ thuộc của điện trở tuyến tính vào nhiệt độ cho các kích thước khác nhau là 4, 6 và 8 nhưng bây giờ trục tung (trục ρlin) được vẽ trên thang log. Nguyên nhân chuyển sang thang log vì khi vẽ trên thang thông thường, giá trị điện trở tuyến tính ở các nhiệt độ thấp của các kích thước đều rất nhỏ nên khó phân biệt trên hình vẽ.
Kết quả ở đồ thị 4.5 cho thấy, đối với nhiệt độ caoT = 1.2, điện trở tuyến tính của các kích thước 4,6 và 8 rất gần nhau. Do đó chúng tôi kết luận rằng nhiệt độ T = 1.2 ở xa nhiệt độ chuyển pha. Khi nhiệt độ giảm dần, sự ảnh hưởng của kích thước lên kết quả điện trở tuyến tính thể hiện rõ nét hơn. Theo định luật scaling cho điện trở tuyến tính, chúng tôi kết luận có tồn tại chuyển pha vortex-glass trong vùng nhiệt độ [0.5,1.2]. 1.0E-5 1.0E-4 1.0E-3 1.0E-2 1.0E-1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 ρ lin T L468 L4 L6 L8
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 ln[ ρlin (L)/ ρlin (L’)]/ln[L/L’] T 46 48 68
Hình 4.6: Kết quả phân tích dữ liệu từ đồ thị 4.5 bằng phương pháp cắt
Để xác định nhiệt độ chuyển pha và chỉ số tới hạn z chúng tôi sử dụng phương pháp cắt. Thật ra, đây là cách vẽ lại đồ thị 4.5 theo một dạng khác. Tại nhiệt độ chuyển pha Tc, Ge trở thành hằng số và do đó công thức (4.7) có dạng
ρlin(Tc, L)∼Ld−2−z (4.8)
Đối với hệ ba chiềud= 3, từ công thức trên ta thu được ln [ρlin(L)/ρlin(L0)]
ln [L/L0] = 1−z (4.9)
Nếu vẽ đồ thị với trục tung là vế trái của phương trình (4.9) cho từng cặp kích thước (L/L0 = 4/6,6/8,4/8)và trục hoành là nhiệt độ T thì tại nhiệt độ chuyển pha tất cả các đồ thị sẽ cắt nhau tại một điểm. Toạ độ điểm cắt sẽ là (Tc,1−z). Đây là ý tưởng chính của phương pháp cắt.
Hình 4.6 là kết quả xử lý các dữ liệu từ đồ thị 4.5 theo phương pháp cắt. Chúng tôi nhận thấy cả 3 đường 46, 48 và 68 cùng cắt tại một điểm có toạ độ(0.615,−3.25). Vì vậy, chúng tôi rút ra một kết luận quan trọng chuyển pha vortex-glass xảy ra tại nhiệt độ hữu hạn.
Do bước nhảy nhiệt độ trong mô phỏng là 0.1 nên trong khoảng nhiệt độ [0.6,0.7] chưa có kết quả điện trở tuyến tính để xác định chính xác hơn giá trị nhiệt độ chuyển
pha. Vì vậy chúng tôi chỉ có thể kết luận được nhiệt độ chuyển pha nằm trong khoảng [0.6,0.7]
Tc= 0.65±0.05 (4.10)
Từ giá trị điểm cắt trên trục tung (khoảng−3.25), chúng tôi tính được giá trị của chỉ số tới hạn động học là z = 4.25. Từ sai số của giá trị điện trở tuyến tính, chúng tôi ước lượng được sai số của điểm cắt tương đương với 1 đơn vị trên trục tung. Do đó kết quả của chỉ số tới hạn động học z là
z = 4.25±1.00 (4.11)
Sai số của z lớn là do sai số của điện trở tuyến tính ở những nhiệt độ 0.6 và 0.7 khá lớn (xem bảng 4.2, 4.3, 4.4). Để xác định chính xác hơn giá trị của z cần thiết phải giảm sai số của điện trở tuyến tính.