1 Một số hàm số thường gặp
1.2Hàm số trùng phương y= f (x )= ax4 + bx2 +c (a ̸= 0)
• Tập xác định D=R
• Chiều biến thiên: y′ = 4ax3+ 2bx
Nếu a và b trái dấu thì y′ có 3 nghiệm phân biệt; hàm số có 3 cực trị. Nếu a và b cùng dấu thì y′ có 1 nghiệmx= 0, hàm số có 1 cực trị. • Đồ thị: nhận trục tung làm trục đối xứng.
Số nghiệm y′ = 0 a >0 a <0
3 nghiệm
Hình-5 Hình-6
1 nghiệm
Hình-7 Hình-8
• Các dấu hiệu và các trường hợp đặc biệt cần ghi nhớ:
∗ Hàm số trùng phương có 1 cực trị hoặc 3 cực trị.
▷ Nếua vàb trái dấu có 3 cực trị: một tại x= 0 và tại hai điểm đối nhau.
▷ Nếua vàb cùng dấu dấu có 1 cực trị tại x= 0.
∗ Luôn có cực trị tại x= 0.
∗ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ví dụ minh họa
Câu 1 (Giải tích 12).Hàm số y=x4−4x2−5
A. Nhận điểm x= 3 làm điểm cực tiểu
B Nhận điểm x= 0 làm điểm cực đại C. Nhận điểmx= 3 làm điểm cực đại D. Nhận điểm x= 0 làm điểm cực tiểu
Phân tích: a và b trái dấu, a >0, dạng đồ thị hình-5.
Đáp án chọn: B.
Câu 2.Cho hàm số y=x4+ (m−2)x2+m. Hàm số có 3 cực trị khi m:
A.0
B m <2 C. 2 D. m >2
Phân tích: có 3 cực trị khi a và b trái dấu: m−2<0.
Đáp án chọn: B. Câu 3.Phương trình x4+ 2x2−3 = m A. Khi m=−3 có 2 nghiệm B. Khi m= 0 có 4 nghiệm C. Khi m >−3có 3 nghiệm D Khi m >−3có 2 nghiệm Chọn đáp án đúng?
Phân tích: a và b cùng dấu, a >0, hình dạng đồ thị hình-7. Do đó loại đáp án: B, C
x= 0⇒y=−3
Đáp án chọn: D.
Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng A.1 B. 0 C. 2 D 3
Phân tích: + Với tính chất của hàm trùng phương có 1 cực trị hoặc 3 cực trị: loại đáp án
B, C.
+a và b trái dấu, nên có 3 cực trị.
Đáp án chọn: D.
Câu 5.Phương trình x4−2x2−m= 0 có 4 nghiệm khi A.0< m <1 B. m >1 C. m <0 D −1< m <0
Phân tích: + Hàm sốy=x4−2x2 cóavà ctrái dấu, hình dạng đồ thị hình-5. Do đó loại đáp án B, C. + Vớix= 0 ⇒y= 0. Đáp án chọn: D. 1.3 Hàm nhất biến y = f(x) = axcx++db (ad−bc ̸= 0) • Tập xác định D=R\{−d c } • Tiệm cận đứng: x=−d c; tiệm cận ngang:y = ac • Đạo hàm: y′ = ad−bc (cx+d)2
Khi ad−bc >0: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Khi ad−bc <0: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. • Hàm số không có cực trị.
• Đồ thị:
Hình-9 Hình-10
• Dấu hiệu và tính chất đặc trưng cần ghi nhớ
(a) Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định(−∞;−d c)
và (−d
c; +∞).
∗ Khi a.d−b.c >0: đồng biến trên từng các khoảng (−∞;−d c), (−d
c; +∞).
∗ Khia.d−b.c <0: nghịch biến trên từng các khoảng(−∞;−d c),(−d
c; +∞).
(b) Hàm số không có cực tri. Đồ thị không có điểm uốn.
(c) Đồ thị có hai tiệm cận:
∗ Tiệm cận đứng x=−d
c là nghiệm của mẫu.
∗ Tiệm cận ngang y= ac là tỉ số của hệ số của xở tử và mẫu.
∗ Đồ thị nhận giao điểm I(−d
c;ac) của hai tiêm cận là tâm đối xứng.
Bài tập áp dụng
Câu 1 (Giải tích 12).Đồ thị của hàm số y = 2xx−+12
A Nhận điểm (−1 2;12)làm tâm đối xứng; B. Nhận điểm(−1 2; 2) làm tâm đối xứng; C. Không có tâm đối xứng;
D. Nhận điểm (1 2;1
2) làm tâm đối xứng.
Phân tích: dựa vào dấu hiệu (c) và đối chiếu đáp án. Đáp án chọn: A.
Câu 2 (Giải tích 12).Cho hàm số y= xx−+32.
A Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định; B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞); C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định; D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).
Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (a), loại đáp án B, D.
Tínhad−bc= 5>0
Đáp án chọn: A.
Câu 3.Cho hàm số y= 22xx−+21. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Đồ thi của hàm số không có tiệm cận;
B. Đồ thi của hàm số không có tâm đối xứng;
C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định; D. Đồ thi của hàm số có 1 điểm uốn.
Phân tích: dựa vào dấu hiệu (b), (c) loại: A, B, D. Đáp án chọn: C.
Câu 4.Cho hàm sốy= 2xx+1+1. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1) và (−1; +∞); B. Hàm số nghịch biến trên R\ {−1} C Hàm số đồng biến trên (−∞;−1)và (−1; +∞)
D. Hàm số luôn đồng biến trên R\ {−1} Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (a) loại: B, D.
Tínhad−bc= 1>0
Đáp án chọn: C.
Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng A y= 2xx+1+1 B. y= xx+1−1 C. y= xx+1+2 D. y= x1−+3x
Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (c) về:
Tiệm cận đứng: loại D. Tiệm cận ngang: loại B, C.
Đáp án chọn: A.