Cho học sinh giải và ghi nhớ một số yếu tố và thể tích của các khối đa diện thường gặp: 1. Khối chóp có một cạnh vuông góc với mặt đáy, hoặc có hai mặt bên cùng vuông
góc với mặt đáy.
(a) Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=b. • VS.ABCD = 13a2b
• Góc giữa SC, SB, SD với đáy(ABCD) lần lượt là: SCA[,SBA[, SDA[. • Góc giữa các mặt (SBC), (SCD), (SBD) với đáy (ABCD) lần lượt là:
[
SBA, SDA[, SOA[
• Khoảng cách từ điểmAđến các mặt phẳng(SBC),(SCD)vàSC lần lượt là:AH, AK,AL.
(b) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=b. • VS.ABCD = 13a24√3b
• Góc giữa SC, SB với đáy(ABC)lần lượt là: SCA[, SBA[. • Góc giữa mặt (SBC)với đáy (ABCD)là: SM A\.
• Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là:AH. 2. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với một mặt đáy.
(a) SAB là tam giác đều, (SAB)⊥(ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnha. • VS.ABCD = 13a32√3
• Góc giữa SA, SB, SC, SD với đáy (ABCD) lần lượt là: SAH[ = 60◦, \
SBH = 60◦, SCH[ =arctan√15
5 , \SDH =arctan√155 · 5 ·
• Góc giữa các mặt (SBC), (SCD), (SAD) với đáy (ABCD) lần lượt là: \
SBH = 60◦, SM H\ =arctan√3
2 ,SAH[ = 60◦.
• Khoảng cách từ điểm A, điểm B và đường thẳng AB đến mặt phẳng
(SCD)là: HK.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằngHK với HK = a√721·
• Khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng(SBC)bằng khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng (SAD) và bằng a√
32 · 2 ·
(b) SAB là tam giác đều cạnh a, (SAB)⊥(ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại C cạnh huyền.
• VS.ABC = a324√3
• Góc giữaSA,SB,SC với đáy(ABC)lần lượt là:SAH[ = 60◦,\SBH = 60◦, [
SCH = 60◦.
• Góc giữa các mặt (SBC), (SAC) với đáy (ABC) lần lượt là: SN H\ = \
SM H =arctan√
Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng • Khoảng cách từ Ađến mặt phẳng(SBC)bằng khoảng cách từB đến mặt phẳng (SAC) bằng a√ 21 7 · 3. Khối chóp đều
(a) Tứ diện đều cạnh a
• Độ dài đường cao: AH = a√36·
• Thể tích: VABCD = a312√2·
• Góc giữa cạnh bên và đáy: ABH\ =arctan√2 • Góc giữa mặt bên và đáy: AM H\ =arctan2√2. • Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện: M N = a√22·
• Tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp là trọng tâm Gcủa tứ diện. • Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = 34AH = a√46·
• Diện tích toàn phần: Stp =a2√
3.
(b) Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60◦: • Độ dài đường cao: SO = a√23·
• Độ dài cạnh bên: SA= a√25·
• Thể tích: VS.ABCD = a36√3·
• Góc giữa cạnh bên và đáy: SBO[ =arctan√6 2 ·
• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = 5a12√3·
• Diện tích xung quanh SXQ = 2a2. • Diện tích toàn phần Stp = 3a2
• Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)bằng
d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) =OH.
4. Khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b: • Thể tích: VABC.A′B′C′ =a2b√43· • VA′ABC =VA′BCB′ =VCA′B′C′ = 13VABC.A′B′C′ • VA.BB′C′C = 23VABC.A′B′C′ • Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BB′C′C) bằng khoảng cách từ A′ đến (BB′C′C) bằng khoảng cách giữa AA′ và B′C và bằng a√ 3 2 ·
5. Khối lập phương cạnh a:
• Thể tích Khối lập phương:V =a3.
• Độ dài các đường chéo: AC′ =A′C =BD′ =B′D=a√
3.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt đối diện luôn bằng
a.
Ví dụ: d(A′B, C′D) =a.
• Hai đường chéo không đồng phẳng lần lượt thuộc hai mặt đối diện thì vuông góc với nhau và tứ diện lập được từ 4 đỉnh đó có thể tích bằng một phần ba thể tích khối lập phương.
Ví dụ: A′B⊥C′D; VA′BC′D = 13a3.
• Ba đỉnh cùng thuộc một mặt cùng với một đỉnh thuộc mặt đối diện lập thành một tứ diện có thề tích bằng một phần sáu thể tích khối lập phương.
Ví dụ: VA′BCD = 16a3.
• Đường chéo của hình lập phương vuông góc với đường chéo của các mặt (không đồng phẳng với nó).
Ví dụ: B′D⊥A′C; AC′⊥BD.
• Góc giữa hai đường chéo không đồng phẳng của hai mặt liên tiếp bằng 60◦. Ví dụ: (BA′, B′C) = 60◦.