Dự đoán: Tập hợp điểm H là đường tròn đổi xứng với đường tròn (0 ;R ) qua trục BC (Hình 2.2).
(Hình 2.2)
B ước 3: C hứ ng m inh q u ỹ tích
Xét hai trường hợp:
T H I: BC là đường kính của đường tròn (0;R ).
TH2: BC không là đường kính.
Gọi AH cắt đường tròn (0;R ) tại H \
Gọi A A ’ là đường kính của đường tròn (0 ;R ) Ta có: A ’B // CH do cùng vuông góc với AB
A ’C // BH do cùng vuông góc với AC
=> A ’BHC là hình bình hành =>BC đi qua trung điểm của H A ’.
Mặt khác BC // A ’H ’ do cùng vuông góc với AH => BC đi qua trung điểm H H ’ => H đối xứng với H ’ qua BC => H là ảnh của H ’ qua phép đối xứng trục BC.
Ta có H ’ e (0 ;R ) nên H nằm trên đường tròn cố định là ảnh của (0 ;R ) qua phép đối xứng trục BC.
B ước 4: K iểm tra q u ỹ tích
Dùng phép đối xứng trục BC kiểm tra thấy quỹ tích điểm H chính là ảnh của đường tròn (0 ;R ) qua phép đối xứng trục BC.
Bài toán này còn được gặp lại trong phần bài tập của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm. Quỳ tích điểm H có thể coi là ảnh của đường tròn (0;R ) qua các phép đối xứng tâm, tịnh tiến khác.
(H ình 2.3)
9
C ách d ù n g phép đôi x ứ n g tâm:
(Hình 2.4) Vẽ đường kính A A ’ của đường tròn (0 ;R ) Khi đó: BH // A ’C (vì cùng vuông góc với AC)
CH // A ’B (vì cùng vuông góc với AB) Suy ra: BHCA’ là hình bình hành.
Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định và I là trung điểm của H A ’. Vậy phép đối xứng qua tâm I biến A ’ thành H. Khi A chạy trên đường tròn (0;R ) thì A ’ chạy trên đường tròn (0;R ).
Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn (0;R ) qua phép đối xứng tâm I.
r
Cách dùng phép tinh tiên:
(Hình 2.5)
Kẻ đường kính B B ’ của đường tròn (0;R ). Ta có: A B ’ // CH vì cùng vuông góc với AB
C B ’ // AH v ì cùng vuông góc với BC
=> A B ’CH là hình bình hành => ÃH = B 'C (không đổi) => H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ B'C
=>Quỹ tích H là ảnh của đường tròn (0;R ) qua phép tịnh tiến theo vectơ B -C .
Như vậy cùng một quỳ tích của trực tâm H nhưng ta cỏ nhiều cách đê chứng minh. Geometer's Sketchpad giúp dự đoán được hình dạng của quỳ tích, định hướng để chứng minh quỹ tích.
Bài 2: (Bài toán 2/trang 17/sgk) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho đường tròn (0;R ) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M ’ sao cho MM' = MA + M B . Tìm quỳ tích điểm M ’ khi điểm M chạy trên (0;R ).
B ư ớc ỉ : Vẽ hình bài (oán
- Mở tệp bai2.gsp