X Ởx> Ker[ sao cho fa có g= th,
OẤ> Z > ZỞ ZẤm Ở> Ô
trong đó f là puéjp nhân các số nguyên với số nguyên
m == 0 cố định, và g là phép chiếu chắnh tắc #2Ở> Zm =
= Zjm#Z. Đặt MI = Z+ trong (8), ta được đãy
OỞ>Homz(Zz, 2) Ở> Honi,(Z+., Z2) Ở> Hoiz(22m. Zm) Ở> O
Nếu ạ < Hom,(⁄+. Z) thì ta có mọ(I) = g(m) =
Vậy s(1) = 0. do đó g(k) =0, vk Ạ Zm. Từ đó
Hom(Zm, ZỘ) = Ô và đầy trên trở thành :
Ừ, O Ở Ô Ở> O Ở~ llomz(Zm, Zm) Ở> Ô
Nếu đĩìy này khúp thì Hom,(Zm, Zs) = (, điều này rõ ràng không đúng. Những V-môđun M sao cho đãy (đ) bao giờ cựng khớp, gọi là V-rnỏđfun xự ảnh, Những V-môđun X sao cho đầy (6')) bao giờ cũng khóỏp gọi là V-rmôđun nội +a.
ể- 8
d) Mạnh đe : Nếu đấu O-Ởx> E Ở> Ởx Ể Ở->() khớp, 0à
nếu T là một V-:nÔdunn tự do, thì đã cảm sinh
Homx(17, Ẩ} Hom+x(1r, g} =O Ở> Hoiny(T, E) ỞỞ-ỞỞ>~ llomy(T, F) Ở 1lom+x(¡T; g) Ở> Homy(T, G) Ở> O cũng khởr.
Như vậy, mới Ỳ-môđun tự do đều xa?ánh.
Thật vậy, chỉ còn phải chứng minh rằng đãy cắm
sinh khớp, tại Houa,CF, Ể), tức là Hom(Ir. g) là toàn
ánh, tức là ve &Ạ lloinvCT, Gì, 3 Ạ Hem,(T, C) sao cho
Hom(lx, ụ) (È) Ở= gỊ ==z $-
Vị T là lự do nên nó có mỘI cơ sở X. vx&ẠẢX,
ụắ'x) Ạ G, Vì g là toàn ánh nên 3a Ạ PP. sao cho ga) = sỦ(%), Theo định nghĩa của nmiỏđun tự do với cơ sở ẢX, có một V-đỏng cầu duv nhất d : TỞ> Ƒ sao cho d(x) Ở=
= ax. Khi đó g(xì =: gắ%x 2:x), vVx Ạ X. VÌ vậy
l
gùỞ=$.
' se: Mệnh #ề.: Nếu dảu, khớp: ngữn
- ẹO-.E-+E-+G-+O (th
-chẻ ra thì du cảm sinh
. Hom' 1, f} Hom(t, g)
O Ở>Hon:y(M, E} HomỈ(M, EF) ỞỞỞỞ~+'
Hom(t, g)
Ở> Hom.(M, G) Ở O (8)
-cũng khớp chẻ ra,
Đề chứng rainh dãy. (8) khóp, chỉ còn phải chứng
minh lom(t, ụ) là toàn ánh.
. Theo giả thiết đãy (7) chẻ ra. Vậy tồn tại một V-đồng cấu s: G-_>F sao cho ta có gs Ở= lo. Từ đó
..8AV TA:
Hom (la, g) Hom (1x, sỳ = Hom (Íw, gs) Ở= Hom *<
. 1 Í&@) = lirom(M, G)-