X Ởx> Ker[ sao cho fa có g= th,
c)Quan hệ giữa tầng trực liếp ngoài pà tông lrụực
tiếp trong
Theo định nghĩa, nếu V-rnòƯcn M là Lông trực tiếp
trong của họ V-mmôỏdun con (My hì M dẳng cấu với
tòng trực Licp ngoài của họ V-môdun (Mị)\ vì trong trường hợp này, ánh xạ f: ĐÊM Ở% _ M; 1 (x;} I-> ; xi L là đẳng cấu.
Đão lại, nếu (M¡)x LÀ một họ V-inôđuũn thì M Ở @ Mỹ:
1
là tồng trực tiếp trong của một họ môđann een (MỸ)
của nó sao cho vi Ạ Í, Mi đẳng cấu chắnh tắc với Mụ
Thật vậy, nếu ta kắ hiệu j: lÀ phép nhúng chinh tắc My -> M = @ Mi, (thắ mọi phần tử xẠM viết được
1
một cách duy nhất đưới đạng x = 3Ể), treng đó
1
(xủùy là một họ với giá hùu hạn si cho xị ẠẹMj,, ÍẠ l
Theo đắc trưng b)ỳ cêa định lắ mở đần, điều mày cé
ngh?a là tòng trực tiếp trong của họ (11; = HÔM));
những mỏdun con của nó. Vì j¡ là một đồng cm
ánh, rẻn ta có ệ'j Ở= M¡.,
Vì iắ do trên, người ta thường không phân biệt hai
khải riệm lông trực UẾp ng và tong trực tiếp rong
và thường đùng cùng miột kắ liệu cho hai khái niệm ấy,
dỳ Hạng tử trực tếp
Đình nghĩa. Giá sử M là một V-mécđun và N là một móđun con của M. Ta nói rằng N là một hạng ặỨ trực
tiếp của M nếu và chỉ nêu tồn tni một môởđun con P của M sao cho M==N-+P. Ehi đó ta cùng nói rằng P
là một rnôđun con phụ của N trong M.
Nhân xét: Nếu M là mệt không gian véctơ hữt1 hạn chiều thì mọi không gian con của 41 đều có mét không
gian con p ụ. Rhung lắnh chất này khong mỡ rộng
được cho một móđun trên môi vành bất kì, Chẳng hạn, nếu V ỘM7 Z và Nen2 với "=- ỷ, tì VỚI IGỌI móđun con khác khêng P =< pZ của Z2 tạ coMUA PĐPsc0
vì np ỦN ệ%PĐ, đo đó tầng ND không th lÀ trực
tiếp được. Vậy nZ⁄2 khôn,: có mỏđuũn con phụ iroug Z2,
Song, nếu ứ có môdnn phụ là P, tức là M==N-+P, thì theo định lỉ đồng .ấu thứ lai M:R :=N + PỊN Ở
= PỊN AP=Ở= PịAÊ Ở=DP. Vậy tất cá các môỏđun con phụ
của móduin con N, nếu eó, đều đẳng cfấn với nhau.