X Ởx> Ker[ sao cho fa có g= th,
1.chứng minh f; là đơn ánh, ta chứng tỗ rằng
Ộnếu xa Ạ Ma thỏa mãn fz(x;) Ở=0 thì xạ Ở 0.
Thật vậy, ta có Ú Ở vsz(D} = vsfz(xs) Ở fƯus(x;j, do
hình vuông thứ la giao hoán. Vì f, là đen ánh nên
0z(x3) Ở 0, tức là xs CC Ker u; = Imu;, do dòng trên
khớp. Do đó tồn lại xa Ạ Mạ sao cho xs eHz(x;). Vắ
0= fs(u3) nên 0O = fzu;(xz) = vzfƯ(xs), do lìịnh vuông
thứ hai giao hoán. Vậy Fz(x:) Ạ Rervz = Imv;, đo dòng đưởi khớp. Do đó Lồa tại yy Ạ N¡ sao cho fa(X;) Ở V2(Y1)ồ
Vì f¡ là toàn ánh, nên tồn tại x; Ạ MƯ sao cho fi(x;) =
=y.. Do đó fz(xƯ) == Vị(Y4) = VIfI(XI) == Ỳzu((xi}, do
hình vuông thứ nhất giao hoán. Vi f;Ư là đơn ánh, nên
lừ ZđÓG suy Tra xa==UI(XI), VÌ X; == U2(Xz) HÊNnN x3 =>
= zUi(x¡) = 0, đo động trên khớp.
2. Đề chứng minh fs là toàn ánh, ta chứng tổ rằng
mọi phần tử ya Ạ NƯ đều có tạo ảnh bởi f.
sỌ Thật vậy, ta có v;(y3) Ạ Nự. Vì f, là toàn ánh nên
tồn tại x; Ạ M, sao cho fF,(xƯ) = vs(ys). Đuỏi theo
trên biều đồ, ta được va4fƯ(x,) = V4V3fy3) = 0, đo đồng
đưới khớp. Vì hình vuong thứ tư là giao hoán nên ta
CÓ fsUa(XƯ) = vVạFf4(xi) Ở 9). VÌ fs 'à đơn cấu, nên
u4(xa) =0. Vậy xƯã Ạ Reru, Ở= Ímuas. đo đòng trên
khớp. 12o đó tỏa tại xa Ạ ÀiƯ sao cho xá =Ở M2(x;). ĐuỷỌ
theo trên biều đồ, ta được fƯ(xƯ) = f,ua(xs). Vì hình
vuông thứ ha là giao hoắn nên ta có F,(x4) = v:fszfxa}.
Vi Fa(x4) == Va(ya), nên ta có Va(yƯ) =Ở= Vafa(xsi, tù đó
đòng đưởi khớp. Do đó tồn tại yƯ Ạ Na sao clho vs +
Ở fa(xe) Ở VvƯz(ys). \ì fz là toàn ánh, nên tòn Lại xạ Ạ M
sao cho yg = fa(xƯ), tử đÓ Va(Yz) = vƯfz(Xz) == Và Ở Ífs(xãa
Do hình vuông thứ hai ià giao hoán, ta có f;uUu(xƯ)
z== y8 Ở fs(xs). Do hình vuông thư hai là giao lhoán,
có fgua(x;) Ở vafz(xz) = Vy Ở Ía(x;:ì). Và từ Cd v3 == ỳz(U2(Xz) -} Xe).
3J. Suy ra lừ I) và 2). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Một trường hợp dặc biệt của bỏ đề ỏ là cbỗ đề nắn
ngắn Ừ sau đây.
l1
b) Hệ quả: Cho biều: do táo hoƯn cóc V~inỏdÌtn 0| Y-đồng cấu sau, trong đẻ các đòng (à khớp: Y-đồng cấu sau, trong đẻ các đòng (à khớp:
táng cau ỞP >4,
z l. }Ừ
4đỞ> 8 Ở>N Ột Ộ, ỞỞ>+/ Hinh 32
#) Nến Ặ uà h lk đơnm cấu thì g cũng ĐẠu. 2) Nếu Ặ Ừà ựh là (toàn .ãu thì g cũng Đậu.
3) Nếu Ặ pả h là đẳng cấu thì g@ cũng nạu.
4$. Hàm tử Hem vẻ đãy khớp
ệ) Mẹnh đề : Vếu 3 ?à ¡hột V-inOdun bất 6ì oả
ỘỞ :
Ẩ ặ
O>N >N +NỢ q]
là một dầu khóp bất kì những V-modun ỪƯ V-đồng
cấu, thì dầu cảm sinh những V-mođun uà VỀ-đồng cấu là một dãy khớp ngắn thì liều các đãy sau đây
Hom(1, Í} Hom(1w, 9) ẹ Ở+ Hom,(M,N') Ở Hom,(M,N) - Hem(1ẤỈ ậ) _ Hom,(M, XNỢ') (2) cũng kiởm. 70
Chỉ cRn chứng minh rằng đầy (2) khớp tại Hom,(M, ứ),