X Ởx> Ker[ sao cho fa có g= th,
Ocủa các ¡nôiun Mị, phần tử đối Ữcủa (X);eẠr là (Ở*),jer
(Ở*),jer
Ảnh xạ p¡: T Ở> Mỹ
(xi) CL to xị
hiền nhiên là tuyến tắah, Nó cũng là toàn ảnh vì nếu xị Ạ Mj với một j đi cho, thì ta có thể xét tronz TT hợ
các thành phản với cài số j là xị và thành phần với
chỉ số i:ẹ] là ử Ạ M¡. Nhi dó tA có Dy (XI jey = *x;
~
Ánh xạ pị ;ọi là phép chiếu chắnh tắc chi số }.
V-môđun T dựng như trên gọi là /ắch (re ?lZỮ của họ V-rnôđun đã cho và được kắ hiệu là T=s T1]
¡ẠI
Thắ đụ h), mục 2 ậ1 là một trưởng: hợp dặc biệt eủn tắch trục Liếp, tron có lập lợp chỉ số ắ chỉnh là
tập bọp X và các mécđun Mị cêu 'ằng M.
Nếu J = |1, 3,... n]} thiị1: cũng viết T = Mi X<... <M;
hay T = Í { Má
i=1
tu TẨ =s ửụ thì ] I là Ymì đun khẻê
¡e1
ự) Tỉnh chữi nnicécsan của (ắch (rực tiếp
Giả. sử 1 = Ị "mm là tắch trực tiếp của họ W-
I TOSxxặv~
môiinh (N,<Ẩ với các phép chiếu chắnh tắc pị. KhỈ đe, đổi với mọi V-nodun M và mọi họ ánh xạ tuyến tắnh fƯ- Số Ở> M¡, Ì Ạ l, Lồn tại một ảnh xạ tuyến tắnk
duy Liất f: MỞT sa- cho ViẠ lIta có
DƯ = ựi, tức là biều đồ sau giao hoán
(h. 9) TS= " TS= " Thật vậy xét ánh xạ f: M->T CSỢ xi ỂỂ)); cự Hình 9 5..." Ỷ
Ánh xa này là tuyến tắnh vì
rề.8 Ạ Ý, vxy,y Ạ M, ta có f(x -E By) = (fi(ềx -- Êy))¡ =
= (xftỂ)+EBfICY))r = (1K) + B(fi(y))y =+Ê x) + BÊ(y)
vx Ạ M ta có pj¡Í(x) = Dj(f(x))¡ = f¡(x). do đó
ì ĐI =fj, v]ị< 1I
ứếu tỒn tại mộ: đồn; cấu g:M-_+T s:ocho ;ụg =Ỳt
hì vxẠM, ta có pi¡:(x) = [i(x) Ở= pifx) Vậy thành
ghần chỉ số ¡ của g(x) trùng với thành phìn elỉ số ỉ tủa f(x), do đó f(x) Ở ụ(x), vxẠM, vậy FÍ=g.
e} Tắch trực tiếp của một họ ánh xa tuuến tịnh
Giả sử (Mi); và (Xi) là hai họ V-mỏđun chỉ số sóa bởi cùng một tập hợp L và (f¡: Mi xN¡) cụ là
một họ ảnh xạ tuyế:: tắnh. Í hi đó tồn Lại một ảnh xe
tcuagến tỉnh duy nÌấti f: Ị Ỉ R1; Ở> Ỉ Ỉ Nứị, sao cho vì Ạ1,
1 1
biểu đồ sau giao hoán: trorg đó
Ty =, THỦ, Dị và dị là những phép chiếu thắnh # ỳ ộ LỘ tác, Ảnh xì f cọ: lì (ắch 0rrr: trếp ] p của họ (f)i và được kắ hci là
1 f¡ hayf><..<fa nếu I=Ở|I, 2..., nỆ.
Htak ¡O 1]
ì
Thật vậy, xét họ ánh xa tuyến tắnh (fjpj);i từ I] 4
I
với ứg. Theo tắnh chỉt univecsan của tắch trụ tiếp HN, q:}), tồn tại đuụyv chất trội ánh xạ Liyến tắnh
T1 1 = TÌM, 1Ã ề
sao cho f¡pbị¡ =Ở= qiF.
Ta chủ ý rằng nếu (xi) Ạ ỳ ] M: thì
I
qIfỘXiỷ¡ = fjp¡((xip) = fj(Xi)