X Ởx> Ker[ sao cho fa có g= th,
ềf(Bx Ẽ Ty )= ề(f(Bx E YY) )= Ủ(BfQ) + Yf(Y) )=
= s(8fG)) + z(YfG)) = (281 f@Ủ) -E (&Y) ặ @) =
= (8#) f (x) + (yx)f (y) = B(+f) (x) + r(+f) (y)- HE Như vậy quy tắc: V Ừ% ilomy (M, N) + Homiy (MI, N) Như vậy quy tắc: V Ừ% ilomy (M, N) + Homiy (MI, N)
(z, f! I¡Ở> Ủf
xác định một phép nhân vò hướng trong Hiomy CMI, N}
Ta dễ dàng kiềm tra rằng phép nhân vô hướng này
trang bị cho nhóm Aben cộng Hoiny (M, ứN) mnột cấu
trúc V-moỏđun, lức là ta có: Vơ, BC V, vyf ục
Ạ Pomy (M, ứN):
Ủ(f + g) = ềỦỲf -L Ủ8; (+ -+ B)f = ềf + 8ặ;
(B8) f = z(BÍ) ;
1Ặ = f.
Ý-môđun llomy (M, N) gọi là môđun các V-dong câu
từ M tới N.
Ta chú ý rằng nếu f: M->N và g:N-Ở+ĐP là những
W-đồng cấu thì ta có vỦềề< V: g(zf) = x(gf) = (zg)f. Tiiật vậy vx ẠM, ta có 6(zỳ) (x) = g(eề(Í(x)) Ở=
= z(8()) = x(gf) (x)ỉ= (&g) (Í(x)) = ((xg) f) (x). IN
cì Đẳng cấu giữa cóc V-môodun Ho (V, 37) oà AE
Mẹnh đè: Với mọi V Ở rmỏodunrt À7, darth xạ :
Ủ@: liom, (V, M) >M
fiỞ> (1) = FC!) :là mội đẳng cặu của V-inođuỉ.
Thật vậy vz, 3 Ạ V, vf, ụgẠ Honmny (V, M); ta có : (ềf -E- Bg) = (zf + đg) (1) = xf(1) + Bg(1) = =x;z(ặ) + Be@Ủ). Vậy @ là một V-đỏng cấu, -E ụ là đồng ánh, vì nếu g(f) = @(g), tức f(1) Ở g(1), thì ve V, ta có f(@Ủ)== f(x. 1) == zf(1) =ag(1) = = g(+ỳ) = g(ề), tức là f Ởụ. + ụ là toàn ánh, vì nếu m Ạ M, thì ảnh xạ : f:V Ở *I Ủ[|Ở> f(z) = zm rõ ràng là một V-đỏng cấu, và ta có f(1) =m tức là ề(f) Ở mì.
đ) Vành các tự đồng cấu của một V-môđun
Trước hết ta chứng mình các luật phân phối của
phép hợp thành đối với phép cộng các V-mỏdun.
Mệnh đè: Cho ba V-môdun LM, N ad các V - đồng cấu:
f,gụg:LỞ>M,h:MỞ>N,j,k:NỞTP f h ] LẨ+M-+N TP 8 k đhỉ đó ta có các hệ thức : hỢ + g) = hị + hụ: (j + kìh = jh + Áh.
Ta hãy chứng mìỉnh chẳng hạn luật phần phối thứ nhất. Thật vậy vx Ạ LƯ ta có
h(Ặ + gì (x) =r hỢ -E gụ) (X) = h(f(x) -} 3(x)) Ở=
= h(f(x)) + h(z(x)) = (hắ) (x) + (hớ) (x)
= (ChỲ -+ hg}) (x).
Hệ quả: Giá sử AẶ là một V-môđun. Tạp hợi
End,(M) = Hom, (M, Mỳ các tự đồng cấu của 7, cùng
ĐỚớiI cúc phép tfoún :
Ể, g) > f Đế. Ể, g)lÌ> f.F
là mỘt ảnh, gọi là pành các tự đồng cấu của M.
` Thật vậy, đối với phép cộng, Homy(M, Mỳ là mội nhóm, Aben., Đối với phép nhân, nó" là rniột vị nhóm, vì phép hợp thành kết hợp và có đơn vị là 1a. Sau
cùng, phép hợp thành phân phối hai phắa đối với phép
cộng.
Vành End,(M) nói chung không giao hoàn.