Biện pháp 4: Hướng dẫn cho học sinh thông qua các hoạt động trí tuệ:

7. Đóng góp của Luận văn

2.3.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn cho học sinh thông qua các hoạt động trí tuệ:

so sánh,dự đoán, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa... để tổ chức tri thức, xác định bản chất của vấn đề,tìm cách giải quyết vấn đề và khái quát hoá vấn đề đó.

Điều quan trọng trong hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề chính là tìm cách phát hiện ra các dấu hiệu, điểm mấu chốt của bài toán, từ đó

xoay quanh mấu chốt để đi tìm cách giải. Do đó, để rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cần phải rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ giúp thuận lợi cho việc nhận biết các dấu hiệu bản chất của vấn đề trong tình huống gợi vấn đề mà giáo viên đưa ra hay bài toán đã cho.

Cũng cần chú ý rằng, so sánh tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa,… không những là phương tiện để tiến hành hoạt động nhận thức, giải quyết vấn đề mà còn là những tri thức phương pháp cần rèn luyện cho học sinh (mang tính mục đích của dạy học Toán). Tuy nhiên, ở nhà trường phổ thông, chúng ta không có điều kiện và không nên dạy tường minh một cách độc lập và chuyên biệt các thao tác tư duy này.

Như với vấn đề dạy học khái niệm Toán học theo hướng rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, chúng tôi nghĩ, nên ưu tiên con đường qui nạp trong việc xây dựng khái niệm. Bằng con đường này, các thao tác tư duy, mà đặc biệt là so sánh, tương tự và khái quát hóa có vai trò quan trọng trong việc hình thành khái niệm. Quá trình nhận thức khái niệm theo con đường qui nạp thường diễn ra như sau: Trên cơ sở phân tích, so sánh các mô hình cụ thể, các đối tượng tương tự trong thực tế, học sinh tiến hành khái quát hóa, bỏ qua các tính chất riêng tư của sự vật, giữ lại những dấu hiệu chung để phát hiện ra cấu trúc định nghĩa.

Nguyễn Bá Kim đã chỉ rõ: “Một hoạt động quan trọng là cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học khái niệm là khái quát hóa,… Ngược lại với hoạt động này là đặc biệt hóa” [10, tr.189].

Kĩ năng thực hiện các hoạt động trí tuệ (đặc biệt là dự đoán và khái quát hóa) có vai trò quan trọng trong dạy học Toán, đó cũng là yếu tố cấu thành năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Dạy học định lí cũng không

phải là ngoại lệ, cần chú ý đến khai thác các thao tác lật ngược vấn đề, so sánh, tương tự….

Ví dụ 2.3. Khi dạy bài Định lí côsin trong tam giác , ta có thể thực hiện theo các cách như sau:

*) Khám phá và chứng minh định lí theo con đường có khâu dự đoán. Hoạt động 1: Gợi động cơ nhằm phát hiện định lí.

- Xét tam giác vuông ABCcó cạnh huyền BC a= , hai cạnh góc vuông

AC b= , AB c= . Ta đã có mối liên hệ giữa các cạnh theo định lí Pitago: 2 2 2

a = +b c (1).

- Như vậy, khi biết hai cạnh b c, và góc xen giữa BAC· =900 thì có thể tính được cạnh a nhờ công thức (1).

- Vậy thì nếu BAC· =α: 00 < <α 1800 thì việc tính a như thế nào? So sánh với công thức (1), công thức tính a phụ thuộc b c, , còn phụ thuộc α hay không?

Cùng với học sinh, thầy giáo dẫn dắt học sinh suy nghĩ… - Giả sử giữ nguyên độ dài các cạnh b c, và cho α thay đổi.

Nếu α >900 thì cạnh BC của tam giác này lớn hơn cạnh huyền của tam giác vuông ABC. Khi đó tam giác ABCcó góc BAC· bằng α thì a2được biểu diễn qua b c, là: 2 2 2 a = + +b c d với d >0; C B C B C A A Hinh 13 A B

- Ta thử xét một trường hợp suy biến: nếu α =1800 thì B A C, , thẳng hàng và có ngay a b c= + . Từ đó: a2 = + +b2 c2 2bc.

- Từ đó, có thể dự đoán trong trường hợp α >900 thì ta có: 2 2 2 2

a = + ±b c bce (2), e là số thực.

- Hãy xét xem số e trong đẳng thức (2) phụ thuộc α như thế nào?

- Đối chiếu với hệ thức (1) số e có thể là hoặccosα hoặc cotα vì nếu

0 90

=

α , khi tam giác ABC vuông tại A thì e=0 dẫn đến a2 = +b2 c2 .

- Từ hệ thức (2) suy ra số e không là cotα vì nếu α =1800 thì cotα

không xác định. Vậy dự đoán e=cosα . Khi đó thay vào (2) với cosα = − =1 e

và chọn dấu (-) trong đẳng thức (2) sẽ thoả mãn.

2 2 2 2 . 2 2 2 .( 1) 2 2 2

a = + −b c bc cosα = + −b c bc − = + +b c bc

Nếu α <900 thì cạnh BCcủa tam giác tương ứng bé hơn cạnh huyền nên 2 2 2 2 .

a = + −b c bc cosα là hợp lí, khi đó cosα >0 nên 2 .bc cosα >0... Tiếp tục dẫn dắt học sinh dẫn đến định lí côsin trong tam giác.

Với mọi tam giác ABC ta có:

a2 = b2 + c2 - 2bc. cosA; b2 = a2 + c2 - 2ac. cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab. cosC.

Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh chứng minh định lí, chúng tôi đồng ý với cách trình bày SGK Hình học nâng cao 10, bởi như thế phù hợp với nhận thức của học sinh và thời gian trên lớp (sử dụng phương pháp vectơ, xem [96, tr. 53]).

*) Khám phá định lí theo con đường suy diễn.

Đã có định lí Pitago trong tam giác vuông, nên trong tam giác thường, không mất tính chất tổng quát ta xét cho tam giác ABC nhọn. Với ý tưởng tạo ra tam giác vuông để sử dụng định lí Pitago.

Trong tam giác ABC, kẻ đường cao BH (Hình 14), H thuộc cạnh AC (vì tam giác ABC nhọn). Khi đó đặt HA x= , áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác NHC BHA, ta có: 2 2 ( )2 2 2 2 2 2 . BC =BH + AC x− =AB − +x AC + −x AC x =AB2+AC2−2.AB AC. .cosA hay a2 = + −b2 c2 2 .cosbc A (*)

Tương tự cho tam giác ABC tù, ta cũng có (*), từ đó ta có định lí Cosin trong tam giác.

*) Cũng nói thêm rằng, có thể phát hiện và chứng minh định lí một cách khác khi tổng quát hơn về nửa đường tròn đơn vị, và phương pháp gắn tọa độ cho bài toán Hình học phẳng. Việc này cũng dễ chấp nhận khi học sinh học hệ trục tọa độ Oxy và biết cách xác định tọa độ của điểm. Một số bài toán Hình học có thể giải đẹp hơn bằng phương pháp véctơ (trường hợp đặc biệt là chuyển về tọa độ). Cách phát hiện và chứng minh dưới đây đi theo con đường suy diễn.

Để phát hiện hay chứng minh định lí côsin, có thể dạy khi học sinh vừa học xong nửa đường tròn lượng giác, điểm M nằm trên cung lượng giác thì dễ suy ra tọa độ của M , từ đó có thể chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, sao cho A trùng gốc toạ độ, C b( , 0); với AB c= suy ra toạ độ

( cos ; sin ) B c A c A (Hình 15). B C H A Hinh 14

Khi đó: 2 2 2 2 2

( cos ) (0 sin ) 2 cos

BC = −b c A + −c A = + −b c bc A

uuur

.

Như vậy, trên đây chúng ta đã chỉ ra các cách thức khác nhau để phát hiện cũng như chứng minh định lí côsin trong tam giác. Một lần nữa ta lại thấy được vai trò quan trọng của kĩ năng thực hiện các hoạt động trí tuệ, nếu các kĩ năng đự đoán, khái quát hóa, đặc biệt hóa càng linh hoạt và hiệu quả thì việc phát hiện hay chứng minh định lí càng trở nên dễ dàng hơn và có nhiều lựa chọn hơn, qua đó tạo thêm hứng thú, say mê trong học tập môn Toán. Bài toán chưa kết thúc khi học sinh giải quyết xong, người thầy với những trải nghiệm của mình hãy “truyền lửa” để khuyến khích học sinh đi tìm những cách tiếp cận mới, thay đổi cách nhìn để tìm ra cách giải khác, góp phần bồi dưỡng niềm đam mê với môn học, cũng là tránh đi những giờ học kém hứng thú, hiệu quả khi mà đối với học sinh giỏi, thì việc tìm ra một cách giải bài toán trong SGK không phải là quá khó.

Ở góc độ của người thầy, việc dạy học định lí cho học sinh cần phải đảm bảo các yêu cầu: Làm cho học sinh nắm được hệ thống định lí và mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng vào hoạt động giải Toán cũng như các hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề trong thực tiễn; học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh, thấy được chứng minh định lí là một yếu

( cos ; sin )

B c A c A

A x

y

tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học; học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày chứng minh, nâng lên mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.

Dưới góc độ giáo viên, cần thấy được các con đường chính để hình thành và chứng minh định lí (xem sơ đồ Hình 16), trong trường hợp có thể cũng nên nói phần nào đó cho học sinh để họ có ý thức đi tìm những kết quả mới phù hợp với những “trải nghiệm” của họ.

Đồng thời hai con đường dạy học định lí trên, mỗi con đường có những ưu điểm riêng, chẳng hạn con đường có khâu suy đoán, thì khuyến khích được sự tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại kiến thức Toán học đã có sẵn, học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt giữa suy đoán và

Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn

Gợi động cơ phát hiện định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lí Dự đoán và phát biểu định lí

Các con đường dạy học định lí

chứng minh định lí (điều mà rất nhiều em nhầm lẫn), và đặc biệt là khuyến khích được năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… Con đường này, các giáo viên ở phổ thông đang còn bị hạn chế, bởi nhiều nguyên nhân khác nhau như mất nhiều thời gian, và một phần vì những hạn chế về chuyên môn. Còn đi theo con đường suy diễn thì việc chứng minh định lí và việc dự đoán phát hiện định lí được nhập lại thành một bước (xem sơ đồ Hình 16), những nhược điểm khi đi theo hướng suy diễn này đối lập với những ưu điểm của con đường đã trình bày trên. Tuy nhiên nó cũng có ưu điểm là ngắn gọn và tạo cho học sinh cơ hội tập dượt tự học theo sách báo Toán học. Trong quá trình dạy học, nó vẫn được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để học sinh tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn dẫn tới định lí là đơn giản và ngắn gọn. Giáo viên không được coi trọng quá con đường này cũng như xem nhẹ con đường kia, mà trong từng trường hợp cần có sự vận dụng hợp lí tùy thuộc vào vốn kiến thức sẵn có của học sinh.

2.3.5. Biện pháp 5: Hướng dẫn, tập dượt cho học sinh phân tích, xác định mối quan hệ bên trong và những biểu hiện bề ngoài của vấn đề, tìm ra những đặc điểm chung và riêng của vấn đề đó nhằm giúp các em phân loại các bài toán Hình học.

Biện pháp này dựa trên cơ sở mối quan hệ của cặp phạm trù quan hệ giữa cái chung và cái riêng. Cái riêng được dùng để chỉ một sự vật một hiện tượng một quá trình riêng lẻ nhất định, còn phạm trù cái chung được dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chung không những có ở một mặt kết cấu vật chất nhất định mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật hiện tượng hoặc quá trình riêng lẻ khác nữa.

Trong Toán học, việc dự đoán những quy luật xuất phát từ việc xem xét những trường hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng. Chẳng hạn như trong Bài toán tìm quỹ tích, Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không sử dụng đến đạo hàm.

Việc sử dụng cặp phạm trù cái chung cái riêng đóng một vai trò hết sức quan trọng. Bởi vì Toán học là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung cái riêng. Việc xây dựng chương trình Toán học phổ thông rõ ràng là theo hướng dẫn dắt học sinh từ những trường hợp riêng rồi đến khái quát dần lên những cái chung.

Các chân lí Toán học cũng như chân lí thực nghiệm là sự phản ánh gần đúng hiện thực; chúng luôn luôn cần được hoàn thiện để phản ánh chân thực hơn nhằm đáp ứng cao hơn nhu cầu thực tiễn của con người. Cái thay đổi trong toán học là sự thay đổi quan điểm từ đó nhìn nhận những kết quả đã thu được qua nhiều quá trình. Từ sự thay đổi đó, các định lí Toán học được phát minh ra vẫn đúng trong một chừng mực nào đó khi con người khám phá ra nó, vẫn luôn luôn tồn tại mà không bị định lí khác thay thế; tuy nhiên từ vị trí cơ bản nhất, chúng trở thành cái quan trọng nhất, cái riêng trong hệ thống Toán học.

Như vậy, nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi từ cái chung chuyển hoá thành cái riêng, theo tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình cho rằng, xét đến phương diện nào đó thì cái chung và cái riêng mâu thuẫn, nhưng xét ở những phương diện khác thì cái chung và cái riêng lại thống nhất: cái chung bao trùm lên cái riêng và cái riêng nằm trong cái chung, mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung như vậy cũng ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự thống nhất giữa cái chung và cái riêng. Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái

quát thành nhiều cái chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại được một cái riêng và cứ như thế qua nhiều giai đoạn phát triển lên thành cái mới.

Chẳng hạn, Tam giác đều vừa là trường hợp riêng của hình Tứ diện đều vừa là trường hợp riêng của Tam giác cân. Xét về số chiều thì Tam giác đều và Tứ diện đều là mâu thuẫn, nhưng xét về tính chất thì có tất cả các cạnh bằng nhau là thống nhất.

Theo Nguyễn Bá Kim [10, tr. 360-381], khái niệmToán học được hình thành chủ yếu theo ba con đường: con đường quy nạp, suy diễn và con đường kiến thiết. Con đường quy nạp là xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (cái riêng) để dẫn dắt học sinh tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện trong một trường hợp cụ thể, từ đó đi đến khái niệm (cái chung); Con đường suy diễn là con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh, trong đó việc định nghĩa mới khái niệm xuất phát từ định nghĩa khái niệm mà học sinh đã biết, đó là từ cái chung đi đến cái riêng. Còn con đường kiến thiết thì thường mang cả những yếu tố qui nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố qui nạp thể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng đối tượng riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa. Do đó, trong quá trình dạy học khái niệm Toán học cần rèn luyện cho học sinh đi từ cái riêng đến cái chung, có nghĩa là rèn luyện khả năng khái quát hoá trong Toán học.

Trong dạy học định lí:cũng như trong dạy học khái niệm Toán học cần phải