Thực nghiệm của chúng tơi được tiến hành vào tháng 9 năm 2012, với HS ở 4 lớp thuộc 3 trường THPT:
• Trường THPT Phan Văn Trị - Thành phố Cần Thơ: lớp 12C2, 12C8 gồm 79 HS
• Trường THPT Nguyễn Việt Hồng - Thành phố Cần Thơ: lớp 12A2
gồm 35 HS
• Trường THPT Nguyễn Việt Dũng - Thành phố Cần Thơ: lớp 12C2 gồm 36 HS
Tổng số HS tham gia trả lời thực nghiệm là 150, để thuận lợi cho phân tích chúng tơi đã mã hĩa 150 phiếu1 thực nghiệm là H1 đến H150 đối với câu 1 và G1 đến G150 đối với câu 2. Sau đây chúng tơi sẽ phân tích kết quả thu được từ thực nghiệm.
Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 1
Chiến lược Số lượng Tỉ lệ
S1.1. Dùng đồ thị nhận xét 0
S1.2. Chiến lược định lý GTTG 75 50%
S1.3. Nhẩm nghiệm 5 3,3%
S1.4: Chiến lược “giới hạn vơ cực” 2 1,3%
S1.5.K: Chiến lược đại số (chiến lược khác)
65 43,3%
Bỏ trống 13 2,1%
Thống kê số lượng cho câu hỏi 2a Khơng đồng ý với An Đồng ý với An Khơng trả lời Tổng Số lượng 115 30 5 150 Tỉ lệ 76,6% 20% 3,4% 100%
Thống kê số lượng cho câu hỏi 2b Khơng đồng ý với Bình Đồng ý với Bình Khơng trả lời Tổng Số lượng 61 79 10 150 Tỉ lệ 40,7% 52,7% 6,6 100%
Từ bảng thống kê trên đây cho thấy:
- Trong quá trình thống kê, những lời giải thích vơ lý của HS được chúng tơi xếp chung vào “chiến lược khác”. Trong đĩ số HS cho điểm 10 là 20/150 chiếm 13,3% và điểm trên 5 là 64/150 chiếm 42,7% và HS đánh giá sai và cho điểm dưới 5 là 86/150 chiếm 57,3% ( 25,3% cho là sai vì phương trình vơ nghiệm).
- HS sử dụng phương pháp đại số khá nhiều như vậy định lý GTTG thật sự mờ nhạt đối với HS sau đã học xong định lý.
- Câu 2a chúng tơi thấy rằng cĩ đến 76,6% HS khơng đồng ý với ý kiến của An, HS đồng ý với ý kiến của An 20%. Phần lớn HS khơng đồng ý do theo định lý thì HS phải liên tục trên đoạn [a, b] nên liên tục trên khoảng như An phát biểu là sai, Khơng đồng ý do hàm số liên tục trên (a, b) thì khơng đảm bảo c nằm trong đoạn [a, b]. Thuộc đoạn [a, b] thì ta mới xác định được giá trị của a, b ⇒giá trị của f(a) và f(b) để kết luận cịn nếu thuộc khoảng thì sẽ khơng xác định được giá trị cụ thể. Qua câu 1a và 2a chúng tơi cĩ thể khẳng định được rằng thật sự HS chưa thật hiểu tại sao hàm số phải liên tục trên đoạn [a, b].
- Riêng câu 1b phần lớn HS đều cho rằng sai vì làm sai đề ( đề hỏi nghiệm trong khoảng nhưng lại kết luận nghiệm trên đoạn), cịn HS trả lời đúng do (a, b) ⊂[a, b] nên cĩ nghiệm trên đoạn thì sẽ cĩ nghiệm trên khoảng. Đi kèm câu 1b là câu 2b, Trong 61 HS ( chiếm 40,7%) khơng đồng ý với Bình cĩ 571 HS đánh giá Bình sai và nhận xét như sau: vì Hàm số liên tục trên [a, b]
theo định lývà tồn tại ít nhất 1 điểm c thuộc (a, b) là đúng. Đồng ý vì nếu là đoạn [a, b] thì hàm số đã cho cĩ c phải nằm trong [a, b] cịn nếu nĩi là (a, b) thì chưa đủ. Cĩ được 2 HS giải thích được vì sao ý kiến của Bình là sai. Qua 2 câu trên chúng tơi cũng nhận thấy rằng HS cũng chưa thật sự hiểu được tại sao phương trình lại cĩ nghiệm trên (a, b) mà khơng phải là đoạn [a, b].
Trích lời nhận xét của HS câu 1a
H1a: cịn thiếu xét trên một điểm để suy ra cĩ nghiệm hay khơng trên khoảng (-1, 0) H4a: Suy luận của bạn đúng
H25: Đúng nhưng vấn tắt
H26a: lời giải của An là sai vì phương trình trên vơ nghiệm. H50a: Đúng nhưng hình thức sơ sài, hình thức khơng thỏa đáng.
Trích lời nhận xét của HS câu 1b
H1b: Theo đề bài cho là thuộc đoạn (-1,0) (khơng lấy -1 và 0). Cịn bài giải là lấy -1 và 0. ⇒Sai
H4b: Theo đề bài thì phải chứng minh nghiệm của nĩ thuộc ( -1, 0) ⇒thí sinh sai khi lấy trên đoạn.
H17b: Sai. Hàm số liên tục trên R chưa chắc hàm số liên tục trên [ -1, 0] vì nếu như vậy định lý sẽ sai.
H29: Đúng nhưng vấn tắt.
H36: vì câu trả lời trên đúng với định lý.
H39: kết luận sai vì phương trình cĩ nghiệm thuộc khoảng mà kết luận thuộc đoạn. H45: liên tục trên [a, b] nên sẽ liên tục trên khoảng (a, b).
Trích lời giải thích của HS câu 2a
G1a: Hàm số liên tục trên cả đoạn [a, b] và (a, b) vì (a, b) đã nằm trong đoạn [a, b]
G2a: Hàm số f phải liên tục trên [a, b] vì cĩ thể tại giá trị a, b hàm số cĩ thể bằng 0.
G3a: khơng đồng ý Vì đồ thị đĩ cắt trục hồnh tại 3 điểm mà 3 điểm đĩ nằm trong [a, b] chứ khơng cần nằm trong khoảng (a, b) < 0 thì sẽ tồn tại ít nhất 1 điểm c
∈(a, b) để f(c) = 0 cĩ f liên tục trên [a, b] thì định lý mới đúng.
G17a: khơng đồng ý Vì theo định lý nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì sẽ tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈(a, b) để f(c) = 0 cĩ f liên tục trên [a, b] thì định lý mới đúng
G18a: khơng đồng ý bởi vì khi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đã bao gồm khoảng (a,b).
G27a: Khơng đồng ý do hàm số liên tục trên (a, b) thì khơng đảm bảo c nằm trong đoạn [a, b].
G36a: khơng đồng ý, nếu hàm số liên tục trên (a, b) thì khơng thể tính được f(a), f(b).
G41a: đồng ý vì theo định lý trên bạn An đã rút ra được 1 kết luận khá khách quan đĩ là: hàm số f chỉ cần liên tục trên khoảng (a, b) là đủ chứ khơng cần phải liên tục trên [a, b].
G55: khơng đồng ý vì liên tục trên khoảng và đoạn.
G57: Đồng ý An vì thuộc khoảng (a, b) hay đoạn [a, b] thì cũng tồn tại ít nhất 1 điểm liên tục.
G89: Thuộc đoạn [a, b] thì ta mới xác định được giá trị của a, b ⇒giá trị của f(a) và f(b) để kết luận cịn nếu thuộc khoảng thì sẽ khơng xác định được giá trị cụ thể.
G35a: Khơng đồng ý. Hàm số liên tục trên [a, b] chứ khơng phải (a, b) vì hai giá trị a, b sẽ bị bỏ qua nếu xét trên khoảng (a, b).
Trích lời giải thích của HS câu 2b
G1b: Hàm số liên tục trên hết đoạn [a, b]
G2b: Vì liên tục trên đoạn [a, b] thì liên tục trên khoảng (a, b).
G3b: Vì Bình đã nĩi là hàm số này thuộc (a, b) mà (a, b) nằm trong [a, b] nên sẽ thuộc nghiệm.
G27b: đồng ý vì nếu là đoạn [a, b] thì hàm số đã cho cĩ c phải nằm trong [a, b] cịn nếu nĩi là (a, b) thì chưa đủ.
G30b: khơng đồng ý vì Hàm số liên tục trên [a, b] theo định lý và tồn tại ít nhất 1 điểm c thuộc (a, b) là đúng.
G41b: vì nếu c ∈[ , ]a b thì cĩ thể f(a) = f(c) = 0 hoặc f(b) = f(c) = 0 thì f(a).f(b) = 0.
G 79: khơng đúng vì định lý.
3.5. Kết luận
Với kết quả thu thập được ở thực nghiệm đối với HS cho thấy HS chưa hiểu nhiều về định lý GTTG và phần lớn HS đồng nhất. Quan sát ứng xử của HS khi đứng trước điều kiện khoảng (a, b) và đoạn [a, b] chúng tơi nhận thấy phần lớn HS chưa thấy được sự khác nhau giữa đoạn và khoảng trong định lý này.Với kết quả đĩ cho phép chúng tơi khẳng định tính thỏa đáng của giả thuyết H.
Trong thực tế giảng dạy đối tượng định lý GTTG ở trường THPT, GV sẽ giảng dạy các hoạt động như thế nào? Gv cĩ tạo ra các tình huống để HS thật sự hiểu được định lý khơng? Để điều chỉnh kiến thức về định lý GTTG cho HS chúng tơi sẽ tiến hành thực nghiệm 2 ( phiếu 2).
KẾT LUẬN CHUNG
Sau đây là một số kết quả chính trong nghiên cứu của chúng tơi:
1.
Kết quả nghiên cứu các cơng trình lịch sử và khoa học luận của định lý GTTG ở chương 1, cho phép làm rõ các giai đoạn phát triển, đặc trưng và các hình thức của định lý.
Trong chương I, chúng tơi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến định lý giá trị trung gian, cách trình bày định lý này trong các giáo trình Tốn ở bậc đại học. Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương I. Về mặt lịch sử tốn học ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng
hệ quả và như vậy xuất hiện trước ( mang tên Bolzano). Ta cĩ thể xem hệ quả là trường hợp riêng của định lý nhưng về phương diện tốn học chúng lại hồn tồn tương đương với nhau. Định lý này xuất hiện với mục đích chứng minh tồn tại nghiệm phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu. Ngồi ra, Phương pháp chứng minh định lý này của Bolzano đã chỉ ra một phương pháp: “ tính gần đúng giá trị x với độ chính xác mong muốn”.
Định lý này trong giáo trình đại học chỉ ra thuật tốn ( yếu tố lý thuyết) với hai vai trị chính là tìm nghiệm gần đúng của phương trình và chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Vấn đề tính gần đúng nghiệm phương trình bằng phương pháp chia đơi mà phương pháp này là đơn giản, dễ lập chương trình chạy trên máy tính vì mỗi lần áp dụng phương pháp chia đơi, ta chỉ phải tính một lần giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng, tốc độ hội tụ chậm. Phải chăng đây là lý do sách giáo khoa 11 đã loại bỏ việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình bằng phương pháp phân đơi ra khỏi chương trình học chính thức mà chỉ giới thiệu trong bài đọc thêm cho học sinh tham khảo sau khi đã học xong định lý.
Định lý GTTG khơng tồn tại một mình mà nĩ cĩ ứng dụng chung với định lý giá trị trung bình ( định lý Lagrange, định lý Rolle,...) làm nên những ứng dụng khác rất đa dạng và rộng rãi.
Qua phân tích giáo trình đại học đã mơ hình được kiểu nhiệm vụ chính đĩ là T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong [a; b] với sai số cho trước” và kiểu nhiệm vụ con của T: “chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0”.
Điểm tinh tế của định lý là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại cĩ nghiệm thuộc khoảng (a, b). Tại sao nĩ phải liên tục trên đoạn [a;b] ? Liên tục trên khoảng (a;b) cĩ đủ khơng ? Tại sao nĩ khơng cĩ nghiệm thuộc đoạn [a;b]?
Tuy nhiên tất cả các giáo trình mà chúng tơi tham khảo (kể cả hai giáo trình trên) đều khơng giải thích tường minh hay cho phản ví dụ về vấn đề này. Chúng tơi chỉ tìm thấy một giáo trình đại học đề cập đến điều kiện liên tục trên đoạn của định lý trong một chú ý như sau: “nếu chỉ giả thuyết hàm số f liên tục trong khoảng (a, b) thì các định lí 2, 3, 4, 5 khơng cịn đúng nữa” ([3], trang 138). Những điểm vừa nêu cĩ thể là nguyên nhân dẫn đến một số kết quả khiếm khuyết về mối quan hệ cá nhân với khái niệm liên tục liên quan đến định lý. Nĩ gây ra do các giáo trình khơng hề giải thích hay đưa ra những phản ví dụ về vấn đề này.
2.
Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về PPQNTH trong chương II đã cho thấy: Liên quan đến định lý GTTG cĩ các kiểu nhiệm vụ sau: Trong SGK Đại số & Giải tích 11 NC
T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a; b] với độ chính xác cho trước”.
T2: “ Tìm giá trị gần đúng của một số với sai số ε”
T3: Phương trình f(x) =0 cĩ f(a). f(b) < 0.Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 khơng cĩ nghiệm thuộc khoảng (a; b).
Ngồi ra kiểu nhiệm vụ T1: “Chứng minh tồn tại nghiệm phương trình f(x) = 0” khơng xuất hiện tường minh trong SGK Đại số & Giải tích 11 NC. Dấu vết của T1 được thể hiện qua các kiểu nhiệm vụ sau:
T’11: Chứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất m nghiệm trong khoảng (a; b).
T ‘12Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c∈( ; )a b sao cho f(c) = d.
SGK Đại số & giải tích 11 CB
T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a; b] với độ chính xác cho trước”.
T1: “Chứng minh tồn tại nghiệm phương trình f(x) = 0”
T’11: Chứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất m nghiệm trong khoảng (a; b).
T’13: Chứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất m nghiệm.).(m : nguyên dương)
T’14: Chứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm với mọi tham số m.
Định lý GTTG được giới thiệu trong thể chế với mục đích giúp HS cĩ thêm một phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm phương trình và tính gần đúng nghiệm phương trình. Trong đĩ thể chế quan tâm nhiều đến chứng minh tồn tại nghiệm phương trình cịn tính gần đúng nghiệm phương trình khơng được thể chế quan tâm. Nĩ chỉ được giới thiệu trong bài đọc thêm chỉ để HS tham khảo.
Hợp đồng này đã được kiểm chứng trong luận văn thạc sĩ của TRẦN ANH DŨNG: “ Khái niệm liên tục - một nghiên cứu khoa học luận và didactic”
SGK chỉ yêu cầu HS nắm và vận dụng định lý để chứng minh tồn tại nghiệm phương trình. SGK khơng nêu các ứng dụng của định lý trong đời sống nhằm gây hứng thú cho HS khi học định lý này.
SGK khơng đưa các hoạt động, hay giải thích cũng như khơng đưa ra các bài tập hay các phản ví dụ để HS thật sự hiểu được điểm tinh tế sau của định lí GTTG : hàm số phải liên tục trên đoạn [a;b] nhưng lại cĩ
nghiệm thuộc khoảng (a; b). Tại sao nĩ phải liên tục trên đoạn [a;b]? Liên tục trên khoảng (a;b) cĩ đủ khơng? Tại sao nĩ khơng cĩ nghiệm thuộc đoạn [a; b]?Điều này cĩ thể tạo nên kết quả khiếm khuyết về mối quan hệ cá nhân HS với khái niệm liên tục liên quan đến định lý này.
Thiếu vắng những tình huống làm cho HS hiểu được và cĩ nhu cầu sử dụng định lý GTTG trong giải tốn.
Yêu cầu của thể chế là làm cho HS hiểu và vận dụng được định lý GTTG chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình.Vậy liệu GV cĩ tự
tìm cho mình những tình huống để giúp HS hiểu được điểm tinh tế như đã nêu ở trên của định lý này khơng?
RP1: Giáo viên chỉ yêu cầu học sinh những phương trình f(x) = 0 cĩ những đặc trưng sau đây:
+ Phương trình khơng giải được bằng các phép biến đổi đại số.
+ Phương trình khơng cĩ nghiệm nguyên trên khoảng đã cho.
+ Khoảng [a; b ] cĩ độ dài rất nhỏ và khá gần 0. + Khoảng yêu cầu (a;b) thì f(a).f(b) < 0
RE1: Đểchứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ m nghiệm trên một khoảng (a;b), học sinh cĩ trách nhiệm làm các phép thử chỉ với số nguyên a và b thỏa mãn f(a).f(b) < 0
Qua nghiên cứu thể chế chúng tơi rút ra một số giả thuyết nghiên cứu sau đây: Giả thuyết (H):
Với trình bày của SGK HS khơng hiểu được điểm tinh tế của định lý GTTG .
3.
Để hợp thức hĩa các giả thuyết đã nêu được chúng tơi tiến hành thực nghiệm trên HS, thực nghiệm ở chương III cho thấy: Người học chưa chiếm lĩnh được ý nghĩa của định lý này. Nghiên cứu thực nghiệm ở chương III đã khẳng định được rằng:
HS gặp khĩ khăn khi hiểu bản chất của định lý. Đối với họ định lý chỉ mang tính hình thức: Chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình.
Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn:
Nghiên cứu của chúng tơi cho thấy việc thiếu các tình huống giải thích cho định lý, dẫn đến việc HS đã khơng hiểu được ý nghĩa của định lý. Vì vậy mong muốn của chúng tơi là: Xây dựng tiểu đồ án didactic đưa định lý vào dạy học Tốn ở trường THPT.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến (2009),
Những yếu tố cơ bản của didactic Tốn, NXB Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh.
[2]. Nguyễn Đình Trí (2010), Tốn học cao cấp, tập 2: Giải tích, NXBGD. [3]. Tạ Văn Đĩnh (2008), Phương pháp tính, NXBGD.
[4]. Trần Anh Dũng (2006). Khái niệm liên tục - một nghiên cứu khoa học luận và didactic. (Luận văn Thạc sỹ, Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh, Tp. Hồ Chí Minh). Truy lục từ thư viện Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh
[5]. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Ngơ Trúc Lanh, Cam Duy Lễ, Ngơ Xuân Sơn (2000), Đại số và Giải tích 11. NXBGD.
[6]. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Ngơ Trúc Lanh, Cam Duy Lễ, Ngơ Xuân Sơn (2000), Đại số và Giải tích 11-SBT. NXBGD.
[7]. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Ngơ Trúc Lanh, Văn Như Cương (2000),
Tài liệu hướng dẫn giảng dạy tốn 11. NXBGD.
[8]. Edwards, Jr., C. H. (1979). The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
[9]. Dhombres, Jean G. (1978). Nombre, mesure et continu: Epistémologie et histoire. Paris: Cedic/Nathan.
[10]. Wikipedia, bách khoa tồn thư miễn phí. Intermediate value theorem: Định lý giá trị trung gian(2012). Truy lục về từ trang
[11]. http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem:_%C4%90%E1%B B%8Bnh_l%C3%BD_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_trung_gian
[12]. Brodie, Scott E. (1997). How to Prove Bolzano's Theorem. Truy lục về từ trang http://www.cut-the-knot.org/fta/brodie.shtml
[13]. Fauvel Ed J. and Gray J. (1987). The History of Mathematics: Intuition and Rigor. Truy lục về từ trang http://www.cuttheknot.org/fta/bolzano.shtml