Trong giáo trình này, định lý GTTG được đề cập ở chương 2: Tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình.
Tựa đề của chương đã nĩi rất rõ mục tiêu của chương: Tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình.
Định lý GTTG được đề cập trong mục 3 của bài 1: sự tồn tại nghiệm thực của phương trình f(x) = 0. Trong giáo trình đề cập đến hai phương pháp để xem nghiệm thực ấy cĩ tồn tại hay khơng trước khi tính nghiệm gần đúng của phương trình. Đĩ là: “phương pháp dùng đồ thị hoặc dùng định lý GTTG”.
Định lý 2.1: (Trích GT [b], trang 21)
Nếu cĩ hai số thực a và b ( a< b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu tức là f(a).f(b) < 0 đồng thời f(x) liên tục trên [a ; b] thì ở trong khoảng [ a; b] cĩ ít nhất một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.
Hình 2 -3
Điều đĩ cĩ thể minh họa trên đồ thị ( hình 2 – 3). Đồ thị của hàm số y = f(x) tại
nhất một điểm ở trong khoảng từ a đến b. Vậy phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm ở trong khoảng [a; b].
Trong giáo trình [2] định lý này khơng được chứng minh mà chỉ cĩ minh họa trên đồ thị.Giáo trình [2] nêu rất rõ mục đích của Định lý dùng để chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình.Theo sau định lý, trong giáo trình [2] cịn nêu khoảng phân li nghiệm (cịn gọi là khoảng cách li nghiệm hay khoảng tách nghiệm).
Định nghĩa 2.1 – Khoảng [a ; b] nào đĩ gọi là khoảng phân li nghiệm của phương trình nếu nĩ chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đĩ.
Để tìm khoảng phân li nghiệm ta cĩ định lí:
Định lí 2.2- Nếu [a ; b] là một khoảng trong đĩ hàm số f(x) liên tục và đơn điệu, đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a ; b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình.
Điều này cĩ thể minh họa bằng đồ thị
Đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hồnh tại một và chỉ một điểm ở trong [a ;b]. Vậy [a ; b] chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Nếu f(x) cĩ đạo hàm thì điều kiện đơn điệu cĩ thể thay bằng điều kiện khơng đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm khơng đổi dấu thì hàm số đơn điệu. Ta cĩ:
Định lí 2.3 – Nếu [a; b] là một khoảng trong đĩ hàm f(x) liên tục, đạo hàm f’(x) khơng đổi dấu và f(a), f(b) trái dấu thì [a ; b] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình.
Muốn tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0 thường người ta nghiên cứu sự biến thiên của hàm số y = f(x) rồi áp dụng định lí 2.3.
(Trích GT [2], trang 23-24).
Giáo trình [2] đã chỉ ra phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm bằng bảng biến thiên. Ngồi ra từ bảng biến thiên cũng giúp chỉ ra phương trình cĩ tồn tại nghiệm thực hay khơng, nếu cĩ thì cĩ bao nhiêu nghiệm thực vì tương ứng với một khoảng phân li nghiệm là 1 nghiệm của phương trình.
Phương pháp phân đơi trong giáo trình [2] được mơ tả giống như chứng minh định lí 3.7 trong giáo trình [1] nhưng với giả thuyết nĩ cĩ nghiệm thực αđã phân li ở trong khoảng [a; b]. Lấy một x∈[ ; ]a b làm giá trị gần đúng choαthì sai số tuyệt đối α α− < −b a. Để cĩ sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân li nghiệm bằng cách chia đơi liên tiếp các khoảng phân li nghiệm đã tìm được.
Giống như giáo trình [1] giáo trình [2] khơng cho phản ví dụ cũng khơng giải thích tường minh: tại sao hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại cĩ nghiệm thuộc khoảng (a, b)? liên tục khoảng (a, b) cĩ đủ khơng ? Tại sao nĩ khơng cĩ nghiệm thuộc đoạn [a, b] mà cĩ nghiệm trong khoảng (a, b)?
Tổ chức tốn học gắn liền với định lý GTTG cĩ mặt trong [2]
Trong giáo trình [2] xuất hiện các kiểu nhiệm vụ
Kiểu nhiệm vụ T: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong [a; b] với sai số tuyệt đối khơng vượt quáε.
Kiểu nhiệm vụ này cĩ kiểu nhiệm vụ con t: “Chứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ nghiệm thực”
Chẳng hạn, ví dụ trang 24:
“ Cho phương trình f(x) = x3
- x - 1 = 0 (2.9). Hãy chứng tỏ phương trình này cĩ nghiệm thực và tìm khoảng phân li nghiệm”
Giải
Trước hết ta xét sự biến thiên của hàm số f(x). Nĩ xác định và liên tục tại mọi x, đồng thời
'( ) 3 2 1 0
f x = x − = tại 1
3
x= ±
Ta suy ra bảng biến thiên
X −∞ 1 3 − 1 3 +∞ f’(x) + 0 - 0 + f(x) +∞ −∞ Trong đĩ: M = f( 1 3 − ) = 1 1 1 0 3 3 3 − + − <
Vậy đồ thị ( hình 1, trong giáo trình [1] ) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất, do đĩ phương trình cĩ một nghiệm thực duy nhất, kí hiệu nĩ là α.
Ta tính thêm f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 5 > 0
Vậy khoảng [1 ; 2] chứa nghiệm của phương trình. Nhưng vì phương trình này chỉ cĩ một nghiệm nên chính nghiệm ấy phân li ở trong [1; 2]
Tĩm lại, phương trình cĩ một nghiệm thực duy nhất α , phân li ở trong khoảng [1 ; 2].”
Kỹ thuật 1
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Xác định khoảng phân li nghiệm (a; b).
- Xuất phát từ khoảng (a, b) trên tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu bằng phương pháp phân đơi.
Kỹ thuật 2
- Vẽ đồ thị hàm số.
- Dùng đồ thị kết luận phương trình cĩ nghiệm thực, chỉ ra nghiệm gần đúng của phương trình.
Nhận xét:
M
- Trong giáo trình [2] cũng chỉ cho duy nhất 2 ví dụ nhưng phương trình chính là phương trình trong ví dụ trang 57 của giáo trình [1]. Nhưng trong giáo trình [1] yêu cầu tìm nghiệm gần đúng cịn trong giáo trình [2] lại yêu cầu chứng minh tồn tại nghiệm phương trình và tìm nghiệm gần đúng với sai số
ε.
- Trong giáo trình [2] việc chọn khoảng để xét được dựa vào bảng biến thiên chứ khơng phải chọn ngẫu nhiên như trong giáo trình [1]. Phương pháp dùng bảng biến thiên này hồn tồn khơng được đề cập đến trong giáo trình [1]. Trong giáo trình [1] khơng định nghĩa khoảng phân li nghiệm nhưng khoảng đề bài yêu cầu tìm nghiệm gần đúng đều là khoảng phân li nghiệm. Đặc biệt là cả hai giáo trình đều khơng nĩi đến phương pháp hình học để tìm khoảng phân ly nghiệm. Hình vẽ chỉ là cơng cụ để giải thích hay minh họa cho bài giải. Cả hai giáo trình đều ưu tiên cho phương pháp giải tích trong tìm khoảng phân ly nghiệm.
- Trong cả hai giáo trình đều xuất hiện kiểu nhiệm vụ T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 với sai số cho trước”. Cũng giống như giáo trình [1], giáo trình [2] khơng đề cặp đến kiểu nhiệm vụ dùng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Nhưng khác với giáo trình [1] là giáo trình [2] lại xuất hiện kiểu nhiệm vụ con của nhiệm vụ T là t: “Chứng minh tồn tại nghiệm phương trình” với kỹ thuật giải cĩ thể dùng đồ thị hoặc bằng định lý GTTG trong khi giáo trình [1] hồn tồn vắng bĩng kiểu nhiệm vụ này.
3. Kết luận
Trong chương I, chúng tơi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến định lý giá trị trung gian, cách trình bày định lý này trong các giáo trình Tốn ở bậc đại học. Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương I. Về mặt lịch sử tốn học ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng
hệ quả và như vậy xuất hiện trước ( mang tên Bolzano). Ta cĩ thể xem hệ quả là trường hợp riêng của định lý nhưng về phương diện tốn học chúng lại
hồn tồn tương đương với nhau. Định lý này xuất hiện với mục đích chứng minh tồn tại nghiệm phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu. Ngồi ra, Phương pháp chứng minh định lý này của Bolzano đã chỉ ra một phương pháp: “ tính gần đúng giá trị x với độ chính xác mong muốn”.
Định lý này trong giáo trình đại học chỉ ra thuật tốn ( yếu tố lý thuyết) với hai vai trị chính là tìm nghiệm gần đúng của phương trình và chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Vấn đề tính gần đúng nghiệm phương trình bằng phương pháp chia đơi mà phương pháp này là đơn giản, dễ lập chương trình chạy trên máy tính vì mỗi lần áp dụng phương pháp chia đơi, ta chỉ phải tính một lần giá trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng, tốc độ hội tụ chậm. Phải chăng đây là lý do sách giáo khoa 11 đã loại bỏ việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình bằng phương pháp phân đơi ra khỏi chương trình học chính thức mà chỉ giới thiệu trong bài đọc thêm cho học sinh tham khảo sau khi đã học xong định lý.
Định lý GTTG khơng tồn tại một mình mà nĩ cĩ ứng dụng chung với định lý giá trị trung bình ( định lý Lagrange, định lý Rolle,...) làm nên những ứng dụng khác rất đa dạng và rộng rãi.
Qua phân tích giáo trình đại học đã mơ hình được kiểu nhiệm vụ chính đĩ là T: “Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong [a; b] với sai số cho trước” và kiểu nhiệm vụ con của T: “chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình f(x) = 0”.
Điểm tinh tế của định lý là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại cĩ nghiệm thuộc khoảng (a, b). Tại sao nĩ phải liên tục trên đoạn [a;b] ? Liên tục trên khoảng (a;b) cĩ đủ khơng ? Tại sao nĩ khơng cĩ nghiệm thuộc đoạn [a;b]?
Tuy nhiên tất cả các giáo trình mà chúng tơi tham khảo (kể cả hai giáo trình trên) đều khơng giải thích tường minh hay cho phản ví dụ về vấn đề này. Chúng tơi chỉ tìm thấy một giáo trình đại học đề cập đến điều kiện liên tục trên đoạn của định lý trong một chú ý như sau: “nếu chỉ giả thuyết hàm số f liên tục trong khoảng (a, b) thì các định lí 2, 3, 4, 5 khơng cịn đúng nữa”
([3], trang 138). Những điểm vừa nêu cĩ thể là nguyên nhân dẫn đến một số kết quả khiếm khuyết về mối quan hệ cá nhân với khái niệm liên tục liên quan đến định lý. Nĩ gây ra do các giáo trình khơng hề giải thích hay đưa ra những phản ví dụ về vấn đề này.
Chương 2: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC GIẢNG DẠY
Mục tiêu của chương
Chương này nhằm mục đích làm rõ:
- Các đặc trưng của mối quan hệ thể chế với định lý giá trị trung gian cũng như vai trị, ví trí và chức năng của định lý trong thể chế dạy học tốn ở trường THPT Việt nam?
- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với định lý. Những khoảng cách nào từ mối quan hệ thể chế đối với định lý so với cấp độ tri thức khoa học do chuyển đổi didactic gây ra?
- Các quy tắc hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS liên quan đến định lý này?
Để đạt được mục tiêu này trên chúng tơi tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng ĐLGTTG – một đối tượng tri thức hiện diện trong dạy và học tốn ở trường THPT. Thể chế mà chúng tơi quan tâm là việc dạy học tốn theo chương trình và SGK hiện hành. Bằng cách phân tích chương trình và sách giáo khoa Tốn phổ thơng của Việt Nam và các tài liệu hướng dẫn giáo viên. Chúng tơi cố gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế cũng như sự chuyển đổi didactic ở đối tượng này.
Những kết quả đạt được của chương I sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu đầu tiên cho phân tích ở chương 2. Vì thế, chúng tơi tiến hành phân tích SGK, SBT, SGV của cả 2 chương trình nâng cao, cơ bản của lớp 11 và lớp 12.