* Phần bài học: (vị trí giáo viên)
Sau khi nêu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn và định lý 1, sách giáo khoa tiếp tục nêu tính chất liên tục của hàm số liên tục. Ở đây SGK đưa ra định lý 2 (định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục) và hệ quả của nĩ.
“ Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]. Nếu f a( )≠ f b( ) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈(a; b) sao cho f(c) = M”
Định lý này khơng được chứng minh. Theo giải thích của các tác giả SGK là “Phép chứng minh định lý trên vượt ra ngồi phạm vi chương trình THPT ( Tài liệu hướng dẫn giảng dạy tốn 11, trang 75).
Tuy nhiên, yếu tố cơng nghệ giải thích cho định lý này lại hiện diện dưới dạng minh họa hình học (SGK, trang 171). Nội dung định lý 2 được giải thích như sau:
“Ý nghĩa hình học của định lý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm cĩ hồnh độ c ∈ (a; b) (h. 4.15)
- Giải thích này khơng được noosphère xem như một chứng minh.
Hệ quả của định lý 2
“Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
( ; )
c∈ a b sao cho f(c) = 0”
Ý nghĩa hình học của hệ quả: “Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) <
0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hồnh ít nhất tại một điểm cĩ hồnh độ ( ; )
Ví dụ 4 ( SGK, trang 171) Cho hàm số P(x) = x3 + x -1
Áp dụng hệ quả chứng minh rằng phương trình P(x) =0 cĩ ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải
Hàm số P liên tục trên đoạn [0 ;1 ], P(0) = -1 và P(1) = 1.
Vì P(0).P(1) < 0 nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c ∈(0;1) sao cho P(c) = 0.
x = c chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0.
H4: (SGK, trang 172) Cho hàm số ( ) 2 5 2 2 2 x x f x x + − = + .
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c ∈(0; 2) sao cho f(c) = -0,8.
- Hệ quả này chính là yếu tố cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ: “chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình” mà ta sẽ phân tích trong phần sau.
- Thuật ngữ “hệ quả” làm ta nghĩ rằng định lý 2 đĩng vai trị là một lý thuyết, nghĩa là cơng nghệ của hệ quả này. Tuy nhiên, theo trình bày của SGK thì hệ quả này cũng khơng được chứng minh, mà tương tự như đối với định lý 2, nĩ được giải thích bằng trực giác hình học thể hiện trong hình 4.16.
Trong lịch sử, từ thế kỷ 17 và 18, khái niệm liên tục xuất hiện trước hết trên phương diện trực giác hình học và cĩ tính tổng thể. Mãi đến thế kỷ 19, những định nghĩa đầu tiên về hàm số liên tục mới xuất hiện và nĩ bắt đầu được tiếp cận trên
phương diện số và cĩ tính địa phương. “địa phương” theo nghĩa người ta xem xét tính liên tục tại một điểm xác định. Xét về mặt lịch sử, tính chất giá trị trung gian đã được nêu qua định nghĩa về tính liên tục của các hàm giá trị thực trước khi định nghĩa hàm liên tục được chập nhận. Định lý này được phát biểu dựa trên tính hồn chỉnh của số thực. Định lý này khơng đúng đối với số hữu tỉ Q. Ví dụ, hàm f(x) = x2 − 2 với x ∈ Q thỏa mãn điều kiện f(0) = −2 và f(2) = 2. Tuy nhiên, khơng cĩ số hữu tỉ x nào sao cho f(x) = 0, vì √2 là số vơ tỉ. Điều này đã khơng được SGK giải thích.
- Định lý giá trị trung gian, hệ quả được SGK trình bày theo cách tiếp cận địa phương trên phương diện hình học. Về mặt sư phạm, tiếp cận tổng thể về phương diện hình học thường dễ dàng hơn đối với học sinh. Tiếp cận địa phương trên phương diện số cho phép trình bày khái niệm một cách chính xác về mặt tốn học nhưng thiếu trực quan.
- Từ trước đến nay, SGK của chúng ta luơn trình bày định lý GTTG sau:
Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm trên khoảng
Tiếp cận địa phương trên Tiếp cận địa phương trên phương diện số phương diện hình học
- Trong lịch sử tốn học ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng hệ quả và như vậy xuất hiện trước (mang tên Bolzano). Hệ quả là trường hợp riêng của định lý nhưng về phương diện tốn học chúng lại hồn tồn tương đương với nhau. SGK trình bày định lý theo logic lịch sử tốn học và hồn tồn trái ngược với giáo trình đại học (nghĩa là định lý chính là hệ quả và hệ quả chính là định lý được trình bài trong giáo trình đại học). Cũng giống như
Nhận xét về đồ thị hàm số trên một khoảng
Minh họa hình học định lý giá trị trung gian.
giáo trình ở bậc đại học định lý này xuất hiện với mục đích chứng minh tồn tại nghiệm phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu.
Câu hỏi đặt ra là: Định lý giá trị trung gian được trình bày trong SGK như thế cĩ làm mất đi ý nghĩa của nĩ khơng?
-Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a ; b], theo định lý của giá trị trung gian, một hàm số liên tục sẽ nhận tất cả các giá trị giữa f(a) và f(b). Nếu ta chọn bất kỳ giá trị nào, M, mà nằm giữa giá trị của f(a) và f(b) và vẽ một đường thẳng y = M, đường kẽ này sẽ chạm vào đồ thị tại ít nhất một điểm. Nĩi cách khác, ở một nơi nào đĩ giữa a và b, hàm số sẽ nhận giá trị của M. Điều quan trọng để lưu ý rằng học thuyết giá trị trung gian chỉ ra rằng hàm số sẽ nhận giá trị M ở một nơi nào đĩ giữa a và b nhưng nĩ khơng cho biết cụ thể giá trị đĩ là giá trị nào. Nĩ chỉ nĩi rằng giá trị đĩ tồn tại trong khoảng (a; b). Chẳng hạn, cho hàm fliên tục trên đoạn [1, 2], nếu f(1) = 3 và f(2) = 5 thì hàm fphải cho ra giá trị 4 đâu đĩ giữa 1 và 2.
- Tiếp theo, SGK đưa vào một số ví dụ áp dụng nhằm giúp HS vận dụng định lý và hệ quả để giải quyết các bài tập. Qua ví dụ và H4 cho ta thấy rằng vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình khơng được quan tâm đến mà chỉ quan tâm đến vấn đề chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình. SGV cũng nêu rõ mục đích, yêu cầu là: “HS hiểu và biết áp dụng định lý và hệ quả của nĩ để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản”. Cụ thể trong ví dụ này ta chỉ cần chứng minh là tồn tại số c là nghiệm thực của phương trình trong khoảng ( 0 ;1) chứ khơng cần biết cụ thể c cĩ thể nhận giá trị là bao nhiêu. Mặt khác, vấn đề tính gần đúng nghiệm của phương trình cũng hồn tồn khơng được đặt ra chính thức trong SGK và SBT mà chỉ được đưa vào SGK dưới hình thức là bài đọc thêm cũng giống như SGK Đại số và Giải tích 11 CB. Điều này cho thấy thể chế khơng quan tâm đến vấn đề tính gần đúng nghiệm của phương trình.
- Tựa đề Bài đọc thêm “Tính gần đúng nghiệm phương trình bằng phương pháp phân đơi”. Ngay từ tựa bài đã cho ta kỹ thuật tìm nghiệm gần đúng phương trình bằng phương pháp phân đơi khoảng chứa nghiệm phương trình. Trong bài đọc thêm định lý GTTG xuất hiện trong hai kiểu nhiệm vụ.
T: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a; b] với độ chính xác cho trước.
T2: Tìm giá trị gần đúng của một số với sai số ε.
Ví dụ 2 ( bài đọc thêm, sgk, trang 174): “Tính gần đúng giá trị của 2 với sai số 10-3
”.
- SGK đã lựa chọn hình vẽ minh họa hình học cho định lý và hệ quả điều cho thấy rằng nếu hàm số liên tục trên khoảng thì định lý vẫn đúng. Điều này cĩ thể làm cho học sinh khơng hiểu khơng hiểu được tại sao hàm số cần phải liên tục trên đoạn chứ khơng phải trên khoảng.
- SGK, SGV đã khơng đưa ra các hoạt động cũng khơng giải thích hayđưa ra những phản ví dụ nào giúp học sinh tìm hiểu điểm tinh tế của định lý là: hàm số liên tục trên đoạn [a;b] nhưng lại cĩ nghiệm thuộc khoảng (a;b). Tại sao nĩ phải liên tục trên đoạn [a;b]? Liên tục trên khoảng (a;b) cĩ đủ khơng ? Tại sao nĩ khơng cĩ nghiệm thuộc đoạn [a; b]?
- Từ phân tích trên câu hỏi đặt ra là: “Theo cách trình bày của SGK liệu học sinh cĩ thể hiểu được: tại sao hàm số cần phải liên tục trên đoạn chứ khơng phải trên khoảng khơng? Tại sao hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại cĩ nghiệm thuộc khoảng (a, b). Tại sao nĩ phải liên tục trên đoạn [a;b] ? Liên tục trên khoảng (a;b) cĩ đủ khơng ? Tại sao nĩ khơng cĩ nghiệm thuộc đoạn [a; b]? hay Hs chỉ biết áp dụng định lý một cách máy mĩc định lý để chứng minh tồn tại nghiệm phương trình”.
- Ngồi ra SGK chỉ cho HS thấy được rằng trong tốn học định lý và hệ quả này là dùng chứng minh tồn tại nghiệm phương trình nhưng khơng cho HS thấy được ứng dụng của định lý trong đời sống. Chẳng hạn, Định lý này ngụ ý rằng với bất kỳ vịng trịn lớn nào trên thế giới, bất kỳ nhiệt độ, áp suất, cao độ, nồng độ khí CO2nào, hoặc bất kỳ lượng giá trị tương tự nào biến đổi liên tục, ta cũng luơn luơn cĩ hai điểm đối xứng xuyên tâmcĩ cùng giá trị ứng với biến đĩ.
- Khi đề cập đến các tính chất của hàm liên tục trên đoạn, hầu hết các SGK tốn ở cấp THPT đều giới thiệu định lý Bolzano_ Cosi( Bolzano_ Cauchy) tức là
định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục. Một số ít SGK cịn giới thiệu thêm định lý một định lý quan trọng nữa, đĩ là định lý Vayơxtrat(Weierstrass): Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] thì:
a) Hàm số bị chặn trên đoạn [a;b]
b) Hàm số đạt được GTLN và GTNN trên đoạn này.
- Sách chỉnh lý hợp nhất đã giới thiệu cả 2 định lý, đã nêu và gộp chúng trong định lý 3 (trang 135). Hệ quả của định lý 3 ở trang 136 của SGK chỉnh lý hợp nhất thật ra chỉ là hệ quả của định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục. SGK này đã khơng đề cập đến định lý Vayơtrat. Lý do đơn giản các hàm số liên tục hay gặp thường cĩ đạo hàm trên 1 khoảng, cĩ thể trừ ra một số hữu hạn điểm, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng hoặc đoạn được xét cĩ thể tìm đựơc GTLN, GTNN (nếu cĩ) của hàm số trên khoảng đoạn đĩ.
*Phần bài tập: ( vị trí học sinh)
• Về các tổ chức tốn học gắn liền với định lý GTTG trong SGK Đại số & Giải tích 11 NC.
Trước hết, ta nhắc lại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến định lý GTTG ở cấp độ tri thức khoa học. Đĩ là các kiểu nhiệm vụ sau đây:
T: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a; b] với độ chính xác cho trước.
T1: Chứng minh tồn tại nghiệm phương trình f(x) = 0.
Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy kiểu nhiệm vụ T khơng được đề cập chính thức trong SGK, SBT mà chỉ được đưa vào trong bài đọc thêm. Ngồi ra, kiểu nhiệm vụ T1 khơng xuất hiện tường minh trong SGK Đại số & Giải tích 11 NC. Dấu vết của T1 được thể hiện qua các kiểu nhiệm vụ T’11, T’12
Dạng f(x) Phân tích thành tích Số m khoảng được yêu cầu. Khoảng (c;d) thỏa f(c).f(d)<0 Giá trị gần đúng của nghiệm, tính bằng MTBT Ví trí bài tốn x3 + x – 1. 1 (0;1) (0;1) X =0,682327803 Ví dụ x2cosx+xsinx+1 Khơng thể
1 (0;π) (0;π ) Khơng tính được Bài tập SGK
x3 +x+1 1 (-1;0) (-1;0) X1= -0,682327803
X2=0,341163901
Luyện tập
x4-3x2+5x-6 1 (1;2) (1;2) Khơng tính được Bài tập
SGK 3 1000 2 0,1 x + x + 1 (-∞; 0) (a ; 0) với lim ( ) x f x →−∞ = −∞ nên tồn tại một số âm a sao cho f(a)< 0 X = -1000 Bài tập SBT Nhận xét:
- Phân tích bảng trên và các lời giải trình bày trong sách bài tập cho phép rút ra nhiều nhận xét đáng chú ý sau đây. Chúng đặc trưng cho những ràng buộc của thể chế lên kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật tương ứng.
+ Phương trình luơn cĩ dạng f(x) = 0 (1)trong đĩ f(x) là một biểu thức giải tích. Chỉ cĩ trường hợp duy nhất là hàm số cho ở dạng f(x) = g(x)(2). Nhưng những phương trình cho ở dạng (2) đều cĩ thể chuyển về giống dạng (1) là h(x) = f(x) – g(x) để áp dụng định lý 3 để giải.
+ Biểu thức f(x) ở vế trái là các biểu thức lượng giác hay đa thức, xác định với mọi x thuộc R.Liên tục trên tập xác định R.
thành tích của các đa thức bằng các phép biến đổi đại số đơn giản, và như vậy khơng thể giải được bằng các biến đổi đại số thơng thường.
+ Hầu hết các phương trình đều cĩ nghiệm khơng nguyên và khoảng yêu cầu (a;b) chính là khoảng thỏa f(a).f(b) <0.
+ Số m trong các bài tập và ví dụ luơn là 1.
+ Các hàm số được chọn luơn xác định bởi biểu thức f(x) ở vế trái phương trình đã cho. Tất cả các hàm số này đều cĩ thể dùng chương trình grap để vẽ đồ thị và cĩ thể dựa vào đồ thị đĩ để thấy được rằng phương trình cĩ nghiệm trong khoảng đang xét hay khơng và cĩ bao nhiêu nghiệm trong khoảng đĩ.
+ Trong trường hợp khoảng được yêu cầu là (a; b), thay vì xét tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], thì người ta lại xét tính liên tục của nĩ trên R – tập xác định của f(x). Như vậy, một yếu tố cơng nghệ được sử dụng ngầm ẩn ở đây là: Nếu hàm số liên tục trên tập X thì nĩ cũng liên tục trên mọi khoảng, đoạn hay nửa khoảng là tập con của nĩ. Yếu tố cơng nghệ này khơng xuất hiện tường minh trong SGK, và như vậy nĩ ngầm được thỏa thuận giữa giáo viên và học sinh? Thỏa thuận ngầm ẩn này cịn làm nảy sinh câu hỏi: liệu học sinh cĩ chorằng nếu hàm số liênt ục trên tập X thì nĩ cũng liên tục trên mọi tập con A của X? cĩ phải họ kết luận điều này mà khơng cần một sự kiểm tra nào về tính liên thơng của A? kết quả này đã được kiểm chứng trong luận văn thạc sĩ của Trần Anh Dũng.
- Những phân tích trên dẫn chúng tơi tới những câu hỏi về ảnh hưởng của ràng buộc thể chế trên mối quan hệ của học sinh và giáo viên đối với định lý giá trị trung gian.
+ Giáo viên cĩ ngầm tuân thủ các ràng buộc thể chế này hay khơng? Nghĩa là họ cũng chỉ đề nghị học sinh giải những phương trình cĩ đặc trưng trên khơng?
+ Học sinh sẽ ứng xử như thế nào trước tình huống giải quyết kiểu nhiệm vụ này nhưng trong đĩ:
• Khoảng yêu cầu (a; b) nhưng f(a).f(b)>0, số c, d cần tìm thuộc khoảng [a; b ] khơng phải là số nguyên hoặc f(a) = 0 (hay f(b) = 0 ).
• Số m lớn hơn 1(cĩ ít nhất 2 nghiệm, 3 nghiệm,...).
ỵêu cầu trong đĩ phương trình khơng cĩ nghiệm trong một khoảng mà hai đầu mút khá gần 0.
• Đa thức cĩ bậc nhỏ hơn 4 và cĩ thể giải bằng máy tính bỏ túi. • Đa thức cĩ thể giải được bằng các biến đổi đại số thơng thường. • Đa thức cĩ tối đa là 4.
- Những phân tích trên làm chúng tơi nghĩ rằng tồn tại quy tắc ngầm ẩn ở đây của hợp đồng didactique gắn liền với kiểu nhiệm vụ trên:
RP1: Giáo viên chỉ yêu cầu học sinh những phương trình f(x) = 0 cĩ những đặc trưng sau đây:
+ Phương trình khơng giải được bằng các phép biến đổi đại số.
+ Phương trình khơng cĩ nghiệm nguyên trên khoảng đã cho.
+ Khoảng [a; b ] cĩ độ dài rất nhỏ và khá gần 0. + Khoảng yêu cầu (a;b) thì f(a).f(b) < 0
RE1: Đểchứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ m nghiệm trên một khoảng (a;b), học sinh cĩ trách nhiệm làm các phép thử chỉ với số nguyên a và b thỏa mãn f(a).f(b) < 0.
RP2: Giáo viên cĩ trách nhiệm cho những hàm số liên tục trên khoảng, đoạn mà bài tốn yêu cầu chứng minh phương trình cĩ nghiệm.
RE2: Bài tốn yêu cầu chứng minh cĩ nghiệm trên khoảng, đoạn nào đĩ thì trên đĩ hàm số luơn liên tục.
Kiểu nhiệm vụ T’11: Chứng minh phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất m nghiệm trong khoảng (a; b).